2026年山东淄博中考数学一轮复习--数与代数专题--函数部分--反比例函数与几何综合—综合测试基础卷

反比例函数与几何综合—综合测试基础卷 一、选择题 1．如图，是等腰直角三角形，直角顶点的坐标为，且垂直于轴于点．函数的图象与边、分列交于点D、点．若是边的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在上，点，均在反比例函数（）的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为（    ） A．6 B．9 C．8 D．10 4．已知P是反比例函数（）图象上一点，A是y轴正半轴上一点，且，，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接．若，则直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．如图，等腰直角和正方形上点B、D在函数的图象上，点A、C均在x轴上，则的长度为（　　） A． B． C． D．3 8．如图，平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在第二象限，，，连接交y轴于点P，若，则点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，为正方形的对称中心，，分别在轴和轴上，双曲线经过、两点，则正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．4 10．如图，菱形四边形的四个顶点分别在反比例函数，的图象上，若该菱形的面积为78，则这个菱形的边长为（    ）    A． B． C．13 D． 11．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为（   ）    A．或 B．或 C．或 D．或 12．如图所示，正方形的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图．象经过顶点和上的点E，且，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点，则的长为（    ） A． B．5 C． D．6 13．如图，直线分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线于点A，B，且，则下列结论错误的是（　　）    A．与相似 B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，，…是分别以，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，…均在反比例函数的图象上．则的值为（   ） A． B．6 C． D． 16．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，点C在以为圆心，以1为半径的上，已知当点C到直线OA的距离最大时，的面积为8，则该反比例函数的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 17．如图，四边形为平行四边形，A在x轴上，且，反比例函数在第一象限内过点C，且与交于点E．若E为的中点，且，则的长为_______ ． 18．如图在平面直角坐标系中，矩形的点在函数()的图象上，点在函数()的图象上，若点的横坐标为，则点的坐标为________． 19．如图所示，双曲线上有一动点A，连接，以O为直角顶点、为直角边，构造等腰直角三角形，则面积最小时点A坐标为________． 20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是7的正方形的两边分别相交于D，E两点，的面积为24，若动点P在x轴上，则的最小值是_______． 三、解答题 21．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为 (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； 22．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)求的值； (2)将这个菱形沿轴正方向平移，当顶点落在反比例函数的图象上时，求菱形平移的距离． 24．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 25．如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得，求k的值． 27．我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《反比例函数与几何综合—综合测试基础卷》参考答案： 1．C 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确表示出D、E的坐标，利用等腰三角形的性质求得k的值是解题的关键． 首先得到点D的纵坐标为1，点E的横坐标为2，，然后表示出，，得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵是等腰直角三角形，垂直于轴于点 ∴轴 ∵直角顶点的坐标为 ∴点D的纵坐标为1，点E的横坐标为2， ∵函数的图象与边、分列交于点D、点 ∴， ∴， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 2．C 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、线段问题(轴对称综合题) 【分析】先根据、两点在反比例函数上，求出、的坐标，然后过点作其关于轴的对称点，连接与轴交于点，此时的点即为所求，然后求出的解析式，从而求出的坐标． 【详解】解：∵点，都在双曲线上， ∴， 解得，， ∴，， 如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则， ∴， ∵的周长为， ∴当、、三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，轴对称，解题的关键在于明确周长最小的情况． 3．C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据正方形的性质求线段长 【分析】由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，设正方形的边长为，由此即可表示出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵点的坐标为，反比例函数的图象过点， ∴． 设正方形的边长为， 则点的坐标为． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的一元二次方程是解答本题的关键． 4．B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质．过点作轴，轴，证明，推出，设，， 进而得到，求出的值即可． 【详解】解：过点作轴，轴， 则：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵P是反比例函数（）图象上一点， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴， ∴； 故选B． 5．C 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点． 设，根据点D在反比例函数图象上表示出，再根据相似三角形对应边成比例列式求出，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答． 【详解】解：设， ∵点D在上， ， ， ， ， ∴点， ∵点B是的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数图象上， ， ， ， 解得，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， 所以，直线的解析式为． 故答案为：C． 6．C 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和点的坐标，即可确定出a的值． 【详解】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴，过点D作于点F， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 把C坐标代入反比例函数解析式得：， 反比例函数解析式为， 同理可证 ， ， 把代入反比例函数解析式，解得：，即， 则将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处， ， 故选：C． 【点睛】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键． 7．B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质以及等腰直角三角形的性质，利用数形结合是解题的关键．设点，将点代入解析式求出，设点的纵坐标为，得出横坐标为，代入解析式即可求出答案． 【详解】解：等腰直角， ， 设点，将点代入解析式， ， ， ， 正方形，设点的纵坐标为， ， ， 将点代入解析式， ， ． 故选B． 8．C 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，求得A点的坐标是解题的关键．根据题意求得，过B点做轴，过A点做轴，它们的交点为D，则，根据平行线分线段成比例定理求得，则，然后通过证得，得出，从而求得m的值，即可求得和 的长，从而求得B点的坐标． 【详解】解：过B点做轴，过A点做轴，它们的交点为D，则，如图：    ∵轴，轴， ∴， 设 ，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴或（舍去）， ∵， ， ∴，， ∴， 故选∶C． 9．C 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知两点坐标求两点距离、根据正方形的性质求线段长 【分析】过点C作CE⊥y轴于E，设点A的坐标为（m，0），点B的坐标为（0，n），先证明△BEC≌△AOB得到，，则点C的坐标为（n，m+n），从而求出点P的坐标为（），再由点C、P都在反比例函数上，得到，从而求出m、n的值，由此即可得到答案． 【详解】解：过点C作CE⊥y轴于E， 设点A的坐标为（m，0），点B的坐标为（0，n）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB，∠ABC=90°， ∴∠EBC+∠ABO=∠ABO+BAO=90°， ∴∠EBC=∠OAB， 又∵∠BEC=∠AOB=90°， ∴△BEC≌△AOB（AAS）， ∴，， ∴点C的坐标为（n，m+n） ∵点P是正方形ABCD的对称中心， ∴点P为AC的中点， ∴点P的坐标为（）， ∵点C、P都在反比例函数上， ∴， ∴或， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．B 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形的对角线与的交点即为原点．如图：作轴于，轴于．连接，．由，，，推出，可以假设，，根据菱形的面积公式构建方程即可解决问题． 【详解】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形， 菱形的对角线与的交点即为原点． 如图：作轴于，轴于．连接，．   ， ，， ， ， ， ，， ， 可以假设，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11．A 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】当点在直线上方时，作，利用垂径定理可得，由勾股定理易得，作轴交直线于点，由可得，设，则，易得，，因为点在反比例函数图像上，所以易得可得，易得点的坐标，当点在直线下方时，利用对称性可得点的另一坐标． 【详解】解：当点在直线上方时，连接，作，   ，而， ． 作轴交直线于点， ∵∠, ∴，， ∴， 设，则， ， ∵点是反比例函数图像上的一个动点， ， ，（负值舍去） ， 当点在直线下方时，由对称性可知． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、反比例函数与一次函数的交点、勾股定理等知识点，正确作出恰当的辅助线、利用勾股定理和垂径定理解得是解答此题的关键． 12．C 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、反比例函数与几何综合 【分析】表示出点E的坐标，然后根据点A和点E都在反比例函数图象上列出关于m的方程，解方程求出m的值，再用待定系数法求出直线的解析式，然后可求出的长． 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A和点E都在反比例函数图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴的长为5.4． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键． 13．D 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定，平行坐标轴上的两点间的距离，如图，过B作轴于点F，过A作轴于点E，利用等腰直角三角形的性质，反比例函数性质等计算即可，熟练掌握性质和判定是解题的关键 【详解】如图，过B作轴于点F，过A作轴于点E. 在一次函数中，令， 则； 令，则， ， ， ，和都是等腰直角三角形， . ， . 又， ，同理可得， ， 故选项A正确；   和都是等腰直角三角形， ， ，， 故选项B正确； ， ，即， 故选项C正确； 设，则，， ，即， 故选项D错误. 故选D. 14．A 【知识点】换元法解一元二次方程、反比例函数与几何综合 【分析】过点作轴于点，过点作 轴于点， 由点在双曲线 上， 可得 ，即得，根据的面积为，可得 即解得 然后计算得到即可求解． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作 轴于点， 点 在双曲线上， ， ， ， ， ， ，即 设，则 解得：或 (舍去) ， ， 轴，点，点在双曲线 图象上， ∴点，点 ， ， ， 故选： A. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义. 15．A 【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，解一元二次方程，过分别作x轴的垂线，垂足分别为，可证明，则；设，则，解得或（舍去），即；根据中点坐标公式可得，则；设，则，，，把代入反比例函数解析式中可得，同理，据此规律可得，据此计算求解即可． 【详解】解：过分别作x轴的垂线，垂足分别为， 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 解得或（舍去）， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴； 设，则，， ∴， 把代入中得， 解得或（舍去），即， 同理， ， …… ∴， 故选：A． 16．D 【知识点】反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题、点与圆上一点的最值问题 【分析】如图，过作于 延长交于，则此时最长，在轴上取点 过作轴交于点，则 证明求解再利用三角形的面积公式求解 设再利用勾股定理求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于 延长交于，则此时最长， 在轴上取点 过作轴交于点，则 设 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，圆的最长的弦是直径，掌握以上知识是解题的关键． 17． 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，过点C作轴于点D，过点E作轴于点F，根据平行四边形的性质可得，设，在和中表示出，再根据点C与点E都在反比例函数的图像上，得到，进而表示出，在利用平行四边形的面积与的面积关系得出关于t的方程，解方程得t，即可得解． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点E作轴于点F，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 设，则， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵点C与点E都在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 18． 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，构造字形相似，由面积比得出相似比为，从而得出点坐标与点坐标关系，而是矩形对角线交点，故是的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， 点在函数的图象上，点在函数的图象上， ，， 轴， ，， 在矩形中，， ， ， 又， ， ， ，， 设点的坐标为，则点的坐标为， 连接，交于点，则点为，的中点， 又∵点的横坐标为， ， 解得（不合题意，舍去）或， 点的坐标为． 故答案为：． 19． 【知识点】利用平方根解方程、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，求得取最小值时A的坐标是解题的关键．根据等腰直角三角形性质得出，先求得取最小值时的长，从而求得A的坐标． 【详解】解：∵由题意得是等腰直角三角形，， ∴， ∴取最小值时，面积的值最小， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时， 解得：或，经检验都是原方程的根； ∵， ∴，， ∴此时A的坐标为， 故答案为：． 20．10 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最短路线问题，勾股定理．由正方形的边长是7，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为7，求得，根据三角形的面积列方程得到，作D关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长是7， ∴点D的横坐标和点E的纵坐标为7， ∴， ∴， ∵的面积为24， ∴， ∴(舍去负值)， ∴， 作D关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长的最小值，    ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 21．(1) (2)D的坐标为或或或； 【知识点】化为最简二次根式、反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2））根据勾股定理得到，①当O为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶角的顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论； 【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ①当O为顶角的顶点时，， ∴或； ②当D为顶角的顶点时，， ∵四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴点D与C重合， ∴； ③当B为顶角的顶点时，，则， ∴， ∴； 综上所述：D的坐标为或或或. 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 22．(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标、利用相似求坐标 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 23．(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及菱形的性质， （1）根据点的坐标为，即可得出的长以及的长，即可得出点坐标，进而求出的值； （2）根据的长度即可得出点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点轴于点， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为：， 点，在反比例函数的图象上， ； （2）将菱形向右平移，当点落在反比例函数的图象上点， 过点作轴于点， ，， 点的纵坐标为， ， ， ， ∴菱形平移的距离为：． 24．(1) (2) (3)存在，点的坐标是 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用菱形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； （3）解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 25．(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)M点的坐标为：（0，） 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、已知两点坐标求两点距离、证明四边形是菱形 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由，，，利用勾股定理可求得，又由D为B点关于的对称点，可得，，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵为点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴D点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过D点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点， ∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点， ∵M点在y轴正半轴， ∴M点的横坐标为0， ∴即根据平移可知点的横坐标为3， 代入， 得，即N点坐标为， ∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：， ∴点的坐标为． 26．(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）把代入得，把代入得；把代入得； （2）设，由（1）知，，而，①当，为对角线时，，的中点重合，，②当，为对角线时，，的中点重合，，③当，为对角线时，，的中点重合，，分别解方程组可得答案； （3）设点，则点，根据，得，即：，解得：，（不合题意，舍去），求得点，再用待定系数法求出直线解析式为，又有且只有一点，则只有一个解，即有两个相等实数根，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 把点代入得，即：，则， 所以，， （2）解：设， 由（1）知，，而， ①当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ②当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ③当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ， 这种情况不符合题意； 综上所述，的坐标为或，的值为； （3）解：设点，则点， ∵ ∴，即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴点， 设直线解析式为， 将点、点代入， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵过两点的直线与双曲线有且只有一点， ∴，即：方程有且只有一个解， ∴，得． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，平行四边形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 27．（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、反比例函数与几何综合、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）由新定义即可求解； (2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解； （3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可． 【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”， 故答案为∶是； ②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16． 故答案为∶ 24，16； （2）存在， 理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”， 联立两个函数表达式得∶ ， 解得∶ 或 (舍去)， 即矩形的长为：； （3）①画出函数的图象， 由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即， 列表如下： 描点、连线，如下图所示： ②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则， 即， 在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点的横坐标为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的n倍契合矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $