9.1二次根式及其性质（第1课时二次根式的概念与有意义的条件）（教学课件）数学新教材青岛版八年级下册

9.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念与有意义的条件 第九章 二次根式 学 习 目 标 1 2 3 理解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式。 掌握二次根式有意义的条件，能求被开方数中字母的取值范围。 理解二次根式的非负性，并能进行简单应用。 知识回顾 提问：什么是算术平方根？ 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根，记为。 规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 回顾：算术平方根有什么性质？ 被开方数 a≥0； 算术平方根 ≥0（双重非负性）。 情景导入 根据上面的问题，列出了代数式、、、 思考：如何将一个平行四边形变形成正方形？ 学校向同学们征集一块矩形花坛的设计方案，小莹以正方形搭配圆形，设计了一个寓意 “天圆地方” 的图案（如图 9.1-1）。 若正方形部分的面积为 40m2，则其边长是 ​m； 若正方形部分的面积为 Sm2，则其边长是 ​m。 若圆形部分的面积为 18πm2，则其半径是 ​m； 若圆形部分的面积为 kπm2，则其半径是 ​m。 知识探究 探究1：二次根式的概念 问题 1：观察 ，这些代数式在形式上有什么共同点？ 都含有 “​” 这个符号； 被开方数都是非负数（40>0，S>0，18>0，k>0）。 问题 2：如果被开方数是负数，比如​，这个式子有意义吗？为什么？ 没有意义。因为任何实数的平方都不可能是负数，所以负数没有算术平方根。 知识探究 探究1：二次根式的概念 概括与表达 一般来说，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中 “​” 叫做二次根号，a 叫做被开方数。 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 知识探究 探究2：二次根式有意义的条件 问题 3：正数a的算术平方根是 ，0的算术平方根是 ， 正数 0 因此，是一个非负数，即 ≥0（a≥0） 归纳：式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是为二次根式的前提条件. 双重非负性 知识探究 探究2：二次根式有意义的条件 问题 4：如何求二次根式中字母的取值范围？ ≥0（a≥0） ,x的取值范围 转化为解不等式（组），使被开方数大于或等于 0 x-2≥0，得x≥2 典例解析 例1 当x为何值时，在实数范围内有意义？ 解： 在实数范围内，二次根式有意义的条件事2x-1≥0 解不等式，得x≥ 所以当x≥时，在实数范围内有意义。 典例解析 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 典例解析 例3： 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 新知进阶 1.当a为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）; ; 解：(1)在实数范围内，二次根式有意义的条件是a-5≥0 解不等式，得a≥ 所以当a≥时，在实数范围内有意义。 (2)在实数范围内，二次根式有意义的条件是≥0 解不等式，得a≥ 所以当a≥时，在实数范围内有意义。 新知进阶 （3）; ; 解：(3)在实数范围内，二次根式有意义的条件是≥0 解不等式，得a≤ 所以当a≤时，在实数范围内有意义。 (4)在实数范围内，二次根式有意义的条件是≥0，且a≠0 解不等式，得a＞ 所以当a＞时，在实数范围内有意义。 1.当a为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ 新知进阶 2.求代数式+1(a≥0)的取值范围。 解：∵≥0 ∴+1≥1 归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 课堂练习 1.(1)一个数的平方是16，则这个数是　 .  (2)7的平方根是　　　　　　； 13的算术平方根是　　　　　　.  2.下列各式中是二次根式的是(　　) A. B. C. D.(x＜0) ±4　 ± 　 C　 3.用代数式表示：面积为S的正方形的边长. 课堂练习 4.下列式子一定是二次根式的是( ) A. B. 　 C. 　 D. 5. 下列式子不一定是二次根式的是(　　) A. B. C. D. C A 课堂练习 6.代数式有意义时，x应满足的条件为(　　) A.x≠－1 B.x＞－1 C.x＜－1 D.x≤－1 B 7.若式子有意义，则实数x的值可以是(　　) A.0 B.1 C.2 D.5 A 课堂练习 7.先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得x(x-1)≥0， 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0. 即当x≥1 或x≤0时， 有意义. 课堂练习 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得 则 解得x≥2或x＜ ， 即当x≥2或x＜ 时， 有意义． 课堂总结 课堂总结 二次根式的概念： 形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。 二次根式有意义的条件： 被开方数 a≥0。 二次根式的非负性： ≥0（a≥0） 数学思想：转化思想（将 “有意义” 转化为不等式）、分类讨论思想（分析被开方数的符号）。 感谢聆听! $