9.1二次根式及其性质（第2课时二次根式的性质）（教学课件）数学新教材青岛版八年级下册

9.1二次根式及其性质 第2课时 二次根式的性质及应用 第九章 二次根式 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握二次根式的两个核心性质：()2=a(a≥0)和​=a(a≥0)。 能运用二次根式的性质进行简单的计算、化简，能利用性质在实数范围内分解因式。 明确两个性质的区别与联系，能准确辨析运算顺序和适用条件。 知识回顾 问题1：什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？ 形如(a≥0)的式子叫做二次根式；被开方数a必须是非负数，二次根式的值也是非负数。 问题2：算术平方根的定义是什么？ 若一个非负数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的算术平方根，记作x=(a≥0) 基础热身 计算： （1） （2） （3） 解：∵22=4 ∴=2 解：∵0.52=0.25 ∴=0.5 解：∵02=0 ∴=0 新知探究 探究1：观察与发现 —— 从特殊实例提炼规律 根据算术平方根的意义，完成教材 “观察与发现” 的填空，记录运算过程。 （1）（）2= ；（）2= ；（）2= ； （2）= ；（= ；= ； 3 0 3 0 新知探究 探究1：观察与发现 —— 从特殊实例提炼规律 思考1：计算 (1) 时，依据的核心知识点是什么？ 算术平方根的定义——是 3 的算术平方根，因此（）2=3 思考2：对比 (1) 和 (2) 的运算，运算顺序有何不同？结果有何共性？ (1) 是先开平方，再平方；(2) 是先平方，再开平方；两组运算的结果相等。 新知探究 探究2：思考与交流 —— 辨析形式与内涵差异 当a≥0时，(​)2和分别表示什么？二者有哪些差异？ 表达式 表示的意义 运算顺序 适用条件 核心知识点 (​)2 a的算术平方根的平方 a的平方的算术平方根 先开平方，后平方 先平方，后开平方 a≥0（二次根式有意义的条件） a≥0（本节课探究范围） 二次根式的定义、算术平方根的意义 平方运算的非负性、算术平方根的定义 两组运算都包含平方和开平方，为什么结果相等？ 平方与开平方互为逆运算，在a≥0的前提下，逆运算的结果还原为原数。 新知探究 探究3：概括与表达 —— 归纳二次根式的性质 概括与表达 二次根式的性质： (​)2=a（a≥0） ​=a（a≥0） 典例解析 例2 计算： （1）（-）2； （2）（3）2 解：原式 =（）2 =0.6 解：原式 =（3）2 =32×（）2 =9×2 =18 典例解析 例3 计算： （1）； （2） 解：原式 = =7 解：原式 = =2 数学思想：化归思想—— 将复杂的二次根式化简，化归为二次根式性质的直接应用。 典例解析 实数范围内因式分解 当a≥0时，将等式（）2=a的两边互换，可以得到a=（）2，即一个非负数可以写成另一个非负数平方的形式，例如 5=（）2 典例解析 试一试，在实数范围内因式分解： （1）x2-2 解：原式=x2-()2 =(x+)(x-) 二次根式的逆应用 平方差公式 （2）x2-2x+3 解：原式=x2-2∙x∙+（）2 =(x-)2 二次根式的逆应用 完全平方公式 新知进阶 1.计算：（1）（）2 （2）（-）2 （3）（2）2 =×= =（-）×（-）=0.3 =2×2××=12 新知进阶 2.计算：（1） （2） （3） =-π == =6 课堂练习 1. 计算：（ ）2＝ ； ＝ 　 　； （3 ）2＝ ⁠； ＝ 　 　. 2. 下列式子中，正确的有（　C　）. 3　 45　 　 C 4＝（± ）2；（－ ）2＝－3；（ ）2－（ ）2＝1；7＝（ ）2. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 　 课堂练习 3. 计算. （1） ； （2） ； （3）（5 ）2； （4） . （1） （2） （3）75 （4） 课堂练习 4. 计算： ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ 　 　. 5　 2　 100　 7　 　 5. 下列计算正确的是（　A　）. A. － ＝－8 B. （－ ）2＝64 C. ＝±25 D. ＝3 6. 若 ＝a－1，则a的取值范围是 ⁠. A a≥1　 课堂练习 7. 下列计算正确的是（　C　）. A. ＝±3 B. ＝9 C. ＝2 D. （ ）2＝25 8. 下列各式一定成立的是（　A　）. A. ＝a2＋1 B. ＝a＋b C. ＝a－1 D. ＝ab C A 课堂练习 9. 计算. （1） ； （2）－ ； （1）8 （2）－3 （3） ； （4） . （3） （4） 课堂练习 10. 下列各式中，一定能成立的是（　A　）. A. ＝（ ）2 B. ＝（ ）2 C. ＝x－1 D. ＝x＋3 A 11. 当x＞3时，化简： ＝ ；当x＜3时，化简： ＝ .. x－3　 3－x　 课堂总结 二次根式的性质： (​)2=a（a≥0） ​=a（a≥0） 知识层面： 方法层面： 经历 “观察 — 猜想 — 归纳 — 验证” 的探究方法；体会转化、化归、类比的数学思想。 感谢聆听! $