1.5角平分线题型突破同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册（八大题型）

1.5角平分线题型突破2025-2026学年北师大版 八年级下册（七大题型） 题型一：作已知角的角平分线 1.在△ABC中，∠BAC为钝角，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使∠BAP＝∠CAP（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在Rt△ABC中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BAD＝∠CAD B．∠ADE＝∠BAC C．DE⊥AB D．∠ADC＝∠B+∠CAD 3.如图，AB∥CD，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP交CD于点E．若∠AEC＝55°，则∠C的大小为（　　） A．70° B．75° C．80° D．60° 4.如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 5.如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 题型二：角平分线的性质的应用 1.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，△ABC的面积为30，AB＝8，DE＝4，则AC的长为（　　） A．4 B．8 C．7 D． 3.如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD：DB＝3：5，BC＝16cm，则点D到AB的距离为　 　cm． 5．如图，在四边形中，E是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．    题型三：角平分线的性质与等积法 1.如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　） A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　． 4．如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则 ． 5.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 题型四：角平分线的性质与全等 1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 2.如图，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于F，连接CF． （1）求证：AE＝BD； （2）求证：CF平分∠AFD． 3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 题型五：角平分线的判定 1.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 2.如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC． 3.如图，BE，CE分别为△ABC的两个外角的角平分线，EP⊥AM于点P，EQ⊥AN于点Q，ED⊥BC于点D，求证：点E在∠NAM的角平分线上． 题型六：角平分线的性质与判定综合 1.如图，，是的中点，平分，求证： (1)是的平分线； (2)； (3)． 2.如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． (1)求证：平分． (2)若的面积为，，求的长． 3.如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 4.如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 题型七：角平分线的实际应用 1．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 2.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 3.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处 D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 4.如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 5.在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． (1)求证：点E到AC和BD的距离相等； (2)连接ED，求∠CED的度数． 【答案】 1.5角平分线题型突破2025-2026学年北师大版 八年级下册（七大题型） 题型一：作已知角的角平分线 1.在△ABC中，∠BAC为钝角，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使∠BAP＝∠CAP（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，在Rt△ABC中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BAD＝∠CAD B．∠ADE＝∠BAC C．DE⊥AB D．∠ADC＝∠B+∠CAD 【答案】B 3.如图，AB∥CD，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP交CD于点E．若∠AEC＝55°，则∠C的大小为（　　） A．70° B．75° C．80° D．60° 【答案】A 4.如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 【答案】 【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求； （2）解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 5.如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：过点作，垂足为． 由（1）得平分， 又， ，即到的距离为3． 题型二：角平分线的性质的应用 1.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，△ABC的面积为30，AB＝8，DE＝4，则AC的长为（　　） A．4 B．8 C．7 D． 【答案】C 3.如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 【答案】6 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD：DB＝3：5，BC＝16cm，则点D到AB的距离为　 　cm． 【答案】6。 5．如图，在四边形中，E是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．    【答案】 题型三：角平分线的性质与等积法 1.如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　） A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2 【答案】A。 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　． 【答案】4 4．如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则 ． 【答案】3.5 5.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 题型四：角平分线的性质与全等 1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO． 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE． （2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE， ∴∠BAO=∠CAO， 即AO平分∠BAC． 2.如图，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于F，连接CF． （1）求证：AE＝BD； （2）求证：CF平分∠AFD． 【答案】（1）证明：在△ACE与△BCD中， ∵， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD； （2）证明：过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H， ∵由（1）知，△ACE≌△BCD， ∴∠CAG＝∠CBH，AC＝BC． 在△ACG与△BCH中， ∵， ∴△ACG≌△BCH（AAS）， ∴CG＝CH， ∴CF平分∠AFD． 3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 【答案】 （1）证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， 设BE＝x，则CF＝x， ∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF， ∴5﹣x＝3+x， 解得：x＝1， ∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4． 题型五：角平分线的判定 1.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【答案】 证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∴∠B＝90°，AE平分∠BAD， ∴BE⊥AB， ∴BE＝EF． ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CE＝EF． 又∵∠C＝90°， ∴EC⊥DC． ∵EF⊥AD， ∴DE是∠ADC的平分线． 2.如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC． 【答案】 证明：如图，∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD． 又∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴在Rt△BDE与Rt△CDF中，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF． ∴AD平分∠BAC． 3.如图，BE，CE分别为△ABC的两个外角的角平分线，EP⊥AM于点P，EQ⊥AN于点Q，ED⊥BC于点D，求证：点E在∠NAM的角平分线上． 【答案】证明：∵BE、CE分别为△ABC的两个外角∠CBM、∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P，ED⊥BC于点D，EQ⊥AN于点Q， ∴EP＝ED，EQ＝ED， ∴EP＝EQ， 又∵EP⊥AM，EQ⊥AN， ∴点E在∠NAM的平分线上． 题型六：角平分线的性质与判定综合 1.如图，，是的中点，平分，求证： (1)是的平分线； (2)； (3)． 【答案】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：∵平分，平分； ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即； （3）证明：， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 2.如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． (1)求证：平分． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】（1）证明：是的中点， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：， ， ， ，且， ， 由（1）得， ， 解得， 的长为． 3.如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4.如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七：角平分线的实际应用 1．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 【答案】D 2.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D。 3.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处 D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 【答案】C。 4.如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【答案】 解：如图，点P为所作． 5.在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． (1)求证：点E到AC和BD的距离相等； (2)连接ED，求∠CED的度数． 【答案】解：(1)延长CB至点M． ∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，∠ABM＝∠ABD， ∴点E到CM和BD得距离相等， 又∵CE平分平分∠ACB， ∴E点到AC和BC的距离相等， ∴点E到AC和BD的距离相等； (2)连接ED． ∵点E到AC和BD的距离相等， ∴∠EDB＝∠EDA设∠EDB＝∠EDA＝α，∠ACE＝∠BCE＝β， 又∵在△BDC中，2α＝2β+40°， ∴α﹣β＝20°， 在△EDC中，α＝β+∠DEC 则∠CED＝α﹣β＝20°． 学科网（北京）股份有限公司 $