专题03 阅读理解题（8题型1重难）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题03 阅读理解题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】材料方法迁移 【考点02】 实际情境阅读理解 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】有理数中的阅读理解 【题型02】代数式中的阅读理解 【题型03】线段中的阅读理解 【题型04】三角形中的阅读理解 【题型05】四边形或多边形中的阅读理解 【题型06】圆中的阅读理解 【题型07】函数中的阅读理解 【题型08】尺规作图中的阅读理解 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】阅读理解中高中数学定义 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 1.材料方法迁移 · 给一段解题过程（换元、配方、构造、整体代入） · 要求：看懂方法 → 模仿步骤 → 解决同类变式 2.实际情境阅读理解 · 图表信息、方案选择、函数 / 方程模型 · 考查：数学建模 + 信息提取 关键能力与思维瓶颈 1.关键能力 1. 信息提取能力快速抓：定义、规则、限制条件、例题结构。 2. 符号化翻译能力文字语言 → 数学式子 / 图形 / 关系。 3. 规则执行能力严格按题目给定逻辑，不凭经验。 4. 方法迁移能力会模仿、会类比、会推广。 5. 分类讨论与严谨推理不漏解、不超范围、逻辑闭环。 6. 数学表达能力步骤规范、书写清晰、因果完整。 2.学生典型思维瓶颈 1. 读不懂：只看数字不看定义忽略限制条件、范围、特殊情况。 2. 套不上：看懂例题不会迁移只会照抄，不会变式。 3. 推不出：规律只靠猜，不会归纳写不出 n 的表达式，不会验证。 4. 画不出：几何新定义无图无思路图形画错，条件标错。 5. 不分类：多解问题只写一解新定义 90% 带分类讨论。 6. 表达乱：因果不清、跳步严重会做但不得满分。 命题前瞻与备考策略 1.命题前瞻 阅读量增大，信息更隐蔽不再直白给公式，需要提炼模型。 更强调 “方法迁移”不考死记硬背，考现场学习能力。 分类讨论常态化一题多解、分段定义成为标配。 几何新定义比重上升与全等、相似、圆、函数综合。 真实情境增多贴近生活、图表、统计、决策类。 低起点、高落点第 (1) 问送分，第 (2)(3) 问拉开差距 2.高效备考策略 训练策略：三步走 · 第一步：读题训练只读题，不做题，圈画：定义、规则、范围、关键词。 · 第二步：模仿训练例题与变式步骤对齐，强制同结构书写。 · 第三步：迁移训练同一方法，换背景、换图形、换数据。 ◇考点 01 材料方法迁移 1.常考方法（全国高频） 换元法 复杂式子整体换元，降次、简化结构 方程、分式、二次根式、代数式求值 配方法 配成完全平方，求最值、判定正负、解方程 整体代入法 不求单个字母，直接整体代换求值 构造法 构造方程、构造函数、构造图形 数形结合法 式子→图形，利用几何意义解题 分类讨论法 按符号、范围、图形位置分类 2. 命题结构（固定三段式） ① 材料：给出定义 / 方法 / 例题② 应用：模仿步骤做一道简单题③ 拓展：迁移方法做一道变式 / 难题 ◇考点 02 实际情境阅读理解 常考模型（全国通用） 方程（组）模型：和差倍分、行程、工程、销售、增长率 不等式（组）模型：方案选择、至少 / 至多、不超过、不空不满 函数模型 一次函数：成本、利润、行程、分段计费 二次函数：面积、利润最值 统计 / 概率模型 图表：条形图、折线图、扇形图、频数分布 求样本估计总体、中位数、众数、平均数 几何模型 解直角三角形（仰角、俯角、坡度） 相似、方位角、最短路径 ◇题型 01 有理数中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏盐城·二模）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 【详解】（1）∵， ， ， ∴，． 故答案为：70，6； （2）∵2个数都在奇数位上， ∴设一个为m，另一个为． 由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∴时符合题意， ∴， ∴这两个数为3，2或8，7． ∵共有32个班级 ∴这两个数为3，2； （3）由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∵， ∴， ∵d是10的倍数， ∴， ∴该数字为2022000000000． 但不存在班级号、学号、考场号、座位号不可能为00， ∴不同意. 变｜式｜巩｜固 变式（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. ◇题型 02 代数式中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 典例2（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 【详解】（1）解：由材料可知，银票金额为1240两，则. 当时，. 对照汉字与数字对应关系得到这张银票的密押为“兴诚昌吉”，这与“兴忠仁吉”不符， 故该银票为假. （2）银票金额在50两以内， . 由汉字与数字对应关系得到“仁安仁昌”对应的数字为3732， . 解得． 由材料可知且为整数， 这张银票金额的末两位数为16. 银票金额在50两以内， 这张银票的金额是16两. （3）答案不唯一，例如，在密押中增加一个汉字确定银票金额是几位数. 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 【详解】（1）解：取六位数； 大数：这六个数字能构成的最大数为 小数：这六个数字能构成的最小数为； 差：大数与小数之差为； 故答案为：； （2）解：任取三位数； 大数：这三个数字能构成的最大数为：； 小数：这三个数字能构成的最小数为：； 差：大数与小数之差为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：， ∴这个数是， 故答案为：； （3）解：设一个三位数各数位上的数由组成，且， 则所组成的最大三位数为：，所组成的最小三位数为：， ∴最大数与最小数之差为 ， ∵为正整数， ∴最大数和最小数的差能被整除． 变式2（2025·广东佛山·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算： ； ． (2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 【详解】（1）解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； （2）证明：∵， ． 变式3（2025·安徽六安·一模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【详解】（1）解：当能被5整除时，即或5时，能被5整除，理由如下： ， 能被5整除， 当或5时，能被5整除； （2）解：当能被4整除时，能被4整除．理由： ， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． ◇题型 03 线段中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【详解】（）解：设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）解：延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （3）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 变｜式｜巩｜固 变式（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． ◇题型 04 三角形中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 【详解】（1）解：依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 依据：平行四边形的对边平行且相等； （2）点、分别是、的中点， ， ，点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ； （3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分；在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． 典例2（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是勤学小组探究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“倍角三角形”的探究报告 探究对象：倍角三角形． 探究思路：从特殊图形到一般图形进行探究． 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．显然，等腰直角三角形和含角的直角三角形都是特殊的“倍角三角形” 性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中分别表示，的对边． 当时，计算___________； 当时，计算___________． 性质猜想：之间的数量关系为___________． 性质证明： 如图2，延长到点，使． ． ． ． 又， ．．．．．． 任务： (1)将“性质探究”与“性质猜想”中横线部分的内容补充完整； (2)请补全上述证明过程； (3)已知是“倍角三角形”，，且它的三边长恰好是三个连续的正整数，请直接写出的长． 【详解】（1）解：性质探究：当时，则， ∴ ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 性质猜想：由性质探究可得： 之间的数量关系为：． 故答案为：2 ；1； （2）证明：如图2，延长到点，使． ． ． ， ， 又， ． ，即． ，即． （3）解：根据题意，可得． 是“倍角三角形”，， ． ， 解得（不合题意，舍去）． ． 的长为6． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： (1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形内角平分线性质定理可得，， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 设，， 则，解得， ， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，垂足分别为，如图4， 平分， ， ． ， ； （3）解：如图所示： 在中，由三角形内角平分线性质定理可得，； 在中，由三角形外角平分线性质定理可得，； ， ， ， ， 设， 则由可得，， 解得， ， ， 若是的平分线，是的外角的平分线， ， 是线段的中点， ． 变式2（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线新定义：我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： (1)解答过程中“依据”的内容是______． (2)请将解答过程补充完整． (3)如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 【详解】（1）解：解答过程中“依据”的内容是：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故答案为：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上； （2）是的角平分线， ， ，即． 线段，是的等角线； （3）如图：过点作于点，过点作于点， 为等腰直角三角形， ，． 又，线段，是的等角线． ， 平分， 又， ， ，，， ， ． ，， ， ， ． 变式3（2025·山西忻州·二模）阅读与思考 下面是勤学小组探究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“倍角三角形”的探究报告探究对象：倍角三角形． 探究思路：从特殊图形到一般图形进行探究． 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．显然，等腰直角三角形和含角的直角三角形都是特殊的“倍角三角形” 性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边． 当，时，计算_________，； 当，时，计算_________，． 性质猜想：，，之间的数量关系为__________． 性质证明： 如图2，延长到点，使． ． ． ，． 又， ．．．．．． 任务： (1)将“性质探究”与“性质猜想”中横线部分的内容补充完整； (2)请补全上述证明过程； (3)已知是“倍角三角形”，，且它的三边长，，恰好是三个连续的正整数，请直接写出的长． 【详解】（1）解：性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边． 当，时，，则，此时，，则，； 当，时，，则，此时，，则，． 性质猜想：，，之间的数量关系为． 故答案为：2；1；； （2）解：性质证明：如图2，延长到点，使． ． ． ， ． 又， ． ，即． ， 即； （3）解：是“倍角三角形”，， ， ∵三边长，，恰好是三个连续的正整数， ∴，， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， 的长为6． ◇题型 05 四边形或多边形中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山西长治·一模）阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点，连接，交于点，则四边形称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 分别是的中点， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， 同理， 四边形为平行四边形． （2）解：当平行四边形满足时，准中点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴准中点四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：连接，作直线，与交于点O，然后作，，然后连接、、、，如图所示，即为所求， 证明：矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 由作图得， ∴， ∴， ∴点F为的中点， 同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点． 典例2（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形． 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究． 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形． 证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形． 【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形． 证明：以为边作等边三角形，连接． …… 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两个即可）； A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系． 【详解】（1）解：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． A、如图所示： ， 矩形是勾股四边形，符合题意； B、如图所示： 等腰梯形的任意两条邻边都不垂直， 等腰梯形不是勾股四边形，不符合题意； C、如图所示： ， 直角梯形是勾股四边形，符合题意； D、如图所示： 平行四边形的任意两条邻边都不垂直， 平行四边形不是勾股四边形，不符合题意； 故选：AC； （2）解：补全一般研究中的探究过程如下： 证明：以为边作等边三角形，连接，如图所示： ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， 在和中， ， ， ， 由勾股四边形定义可知，邻边平方和等于对角线的平方，故四边形为勾股四边形； （3）解：以点为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示： ，， ，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，， ，则， ， 在和中， ， ， , ，即， 故线段的关系是． 变式2（2025·山西朔州·一模）阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： (1)材料中的“依据”指的内容是______； (2)在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） (3)请将勤奋小组的过程补充完整； (4)已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【详解】（1）解：由题意可得：材料中的“依据”指的内容是：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； （2）解：由题意可得：在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是菱形或正方形； （3）解：如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， ∴， 同理可得：， ∴ ； （4）解：如图，以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于， 以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于，交于，四边形即为所求， 由作图可得：，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴，， ∴，， ∴平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求； 如图4，以点为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，以为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，交于，则四边形即为所求； ， 由作图可得：平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求． 变式3（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下： 如图2，连接， ，分别为，的中点， ，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）， 同理可得，， ，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 同时可得，连接，同理可得， ． 故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 同理可证，， ． （3）解：连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ； 由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和， ； ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为20； 故答案为：20． 变式4（2025·山西吕梁·三模）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“泰森四边形”的研究报告荷兰气候学家A・H・Thiessen为了计算各个区域的平均降雨量，将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，这些垂直平分线围成一个多边形，这个多边形就是泰森多边形，其顶点是每个三角形外接圆的圆心．如图1，点是四边形内一点，，，，分别是，，，的外心，则四边形是四边形的泰森四边形，点叫做相关点． 如图2，当四边形对角线的交点是相关点时，其泰森四边形是平行四边形． 如图3，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是菱形．理由如下： 设与交于点，与交于点，与交于点，与交于点． 点，，，分别是，，，的外心， ． 又  ． 又四边形是平行四边形 四边形是菱形． 如图4，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是矩形．理由如下： ，… 学习任务： (1)在图1中，，，的数量关系是________； (2)请在图2中证明四边形是平行四边形； (3)当四边形对角线的交点是相关点时，矩形的泰森四边形是________，菱形的泰森四边形是________．（填“矩形”“菱形”或“正方形”） (4)如图5，在四边形和中，，，分别垂直平分，，．在平面内求作点，使四边形是四边形的泰森四边形，且点是相关点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法．） 【详解】（1）解：， 记与的交点为点N，与的交点为点M， 由题可知，垂直平分，垂直平分， 所以， 由四边形内角和可知，， 所以， 又因为在中，， 所以． （2）解：设与交于点，与交于点． ，，，分别是，，，的外心． ，分别为，的垂直平分线， ， ． 同理，． 四边形为平行四边形． （3）解：如图，四边形为矩形，四边形为其“泰森四边形”， 由题可知，垂直平方和，垂直平方和， 所以， 由（2）知四边形为平行四边形， 所以四边形为菱形； 如图，四边形为菱形，四边形为其“泰森四边形”， 因为四边形为菱形， 所以， 点，，，分别为所在四边的中点， 所以，， 所以， 所以四边形为矩形． （4）如图所示，点即为所求（答案不唯一）． 作法：以H为圆心，为半径画圆， 以G为圆心，为半径画圆， 两圆相交于靠外侧的一点即为点D． ◇题型 06 圆中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏苏州·二模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，，读数时，视线垂直于量筒壁（），与相切于点D，点O为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为．小华同学记录量筒上点A处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． (3)连接并延长交于点H，若，则长多少？ 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点M，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 的长为． （3） 由题意，可知，且， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 典例2（2025·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点． 任务： (1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数． (2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切， 判断是否为的“完美三角形”，并说明理由； 若，则的周长为________． 【详解】（1）解：以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”， 是等边三角形，是以为底边的等腰直角三角形， ，， 为半圆的直径， ， ； （2）解：是“完美三角形”，理由如下： 如下图所示，连接， 是的“沉毅三角形”， 是等边三角形， ， 与相切， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 与相切， 又与相切， 是的“完美三角形”； ②， 由可知，， 为半圆的直径，且， 在中，， 的周长为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 变式2（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，则为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ， ．．．．．． 任务一：请将上述过程补充完整． 任务二：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：． （2）若，则的长为___________． 【详解】任务一：解：， ， ， ， ， ， 同理， ， 为的中点． 任务二：（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式3（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 变式4（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指勾股定理，依据2是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：勾股定理；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：于点， ， ， 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则， ， 又， ， ， ． ， ， ， ， 即等于⊙O半径平方的4倍； （3）解：根据（2）中结论可得， ， 故答案为：． ◇题型 07 函数中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 典例2（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．    证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 【详解】（1）将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·江苏镇江·二模）【阅读材料】 材料1：驾驶员从发现前方危险到做出刹车或者变道反应需要一定的时间，称为反应时间，这个时间会因为多种因素而有所不同，一般在秒到秒之间．在这段时间内，车辆仍然会以原有速度行驶一段距离． 材料2：自动驾驶的汽车，在遇到前方有突发情况时，会紧急避障，紧急避障路径可以用一个函数来描述，但这个函数的具体形式会取决于所使用的避障算法和传感器数据． 【问题情景】 (1)情景1：一辆行驶的汽车，若发现正前方有障碍物，司机采取紧急刹车反应时间为1秒钟． ①若正前方障碍物在处，则该车采取积极刹车后______避免（填“能”或“不能”）撞上障碍物． ②若该汽车从开始刹车到完全停止的滑行距离为30米，在不考虑其他因素的情况下，该汽车与同车道行驶的前车至少要保持的安全车距为______米． (2)情景2：若一辆具有AI辅助驾驶功能的（具有紧急主动避障功能）小汽车在总宽为12m的单向车道上以向东行驶，已知汽车距离左侧路沿2m． ①如图1，汽车在点处雷达感应到在左侧路边前方20m处突然有一不明物体以一定的速度向正南方向移动，智能驾驶系统立即计算并改变了行驶轨迹，其行驶轨迹的函数（即汽车距离右侧道路的距离（米）与汽车向东水平前进的距离（米））的表达式为，当汽车向东水平前进的距离为时，不明物体向正南方向移动了，这辆小汽车此次避障算法是否安全可靠？ ②如图2，若该汽车继续行驶至某个时刻，汽车在距离左侧车道2米处的处感应到前方因为施工而设置的路障（点在左侧路边），此时汽车智能驾驶系统迅速根据收集的数据计算并设定了一条抛物线（顶点为点）的行驳路径（直至行驶到安全区域再向前直线行驶），并建立了如图所示的平面直角坐标系，通过汽车AI系统计算得到直线的表达式为．若汽车与路障最小安全距离为，为保证行驶安全，求汽车智能驾驶系统设定的抛物线中，的最大值是多少． 【详解】（1）解：（1）①根据题意得：， ∴该车采取积极刹车后不能避免撞上障碍物， 故答案为：不能； ②根据题意得：米， 故答案为：50； （2）①当汽车向东水平前进的距离为时， ， ∵不明物体向正南方向移动了， ∴米， ∴此时不明物体B在汽车正北方向2米， ∴此次避障算法安全可靠； ②∵直线的表达式为， ∴当时，，解得：， ∴， 设直线与x轴交于点F， ∴当，，解得：， ∴， ∴， ∴， 设平行于直线的直线的函数表达式为，且与x轴交于点E，过点E作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵汽车与路障最小安全距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得， ∴， 根据题意当抛物线与直线相切时，a的值最大， 设抛物线的解析式为， 令， 整理得：， ， 解得：， ∴a的最大值为． 变式2（2025·山东泰安·一模）阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图象上任取一点， 则点A关于原点的对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； (2)已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． (3)已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象关于y轴对称，                                       证明：在的图象上任取一点， 则点A关于y轴的对称点B坐标为， ∵把代入中，，即点B在的图象上， ∴的图象关于y轴对称， 故答案为：y轴； （2）解：∵点在函数的图象上，且， ， ， 或 故答案为：或； （3）解：如图： 结合函数图象与只交于部分， 此时联立， 解得，                                   经检验，是方程的解， ， ， ∵函数的图象在函数的图象的下方， ∴x的取值范围为：或． 变式3（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． 【详解】（1）解：小红的解题过程中体现的数学思想有：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） （2）解：小红的方法， 列表： …… 0 2 3 4 …… …… 3 1 …… 描点、连线得： 观察图象可得：时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值为3； 小明的方法： 通过推理可得：当，的最大值为， ∴当时，取得最大值为3； （3）解：， 令， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴由反比例函数的性质可得取得最小值为， ∴取得最小值为． 变式4（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 【详解】（1）解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质， 故答案为：轴对称的性质； （2）解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：B． （3）解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D， ∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c， 设点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴在直线上， ∴直线和直线关于直线对称； 方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于， ∴点的横坐标为， 把代入中得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴直线和直线关于直线对称． ◇题型 09 尺规作图中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山西太原·二模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 【详解】（1）解：∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 故答案为：；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （2）解：如图所示， 由作图可得，，点在的垂直平分线上， 与直线相切，， 经过直线外一点， 为点和直线关于点的等距圆， 点D和直线m关于点C的等距圆即为所求． （3）解：①如图所示， 由作图可得，， 又， 四边形是正方形， ， 与直线相切， 为点和直线关于点的等距圆， 和直线l上一点M即为所求． ②如图，作于点，则， 是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，且的半径为， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 由①中的结论得，， ． 故答案为：． 典例2（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二： ． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西长治·三模）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为．    黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： (1)如图2，在中，，．用尺规在边上求作一点，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）    (2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长．      【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；    ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的两个底角为，顶角为 ∴为黄金三角形； （2）∵正十边形的中心角，， ． ∵平分， ， ∴． 和是黄金三角形． ，． ， ． ． 变式2（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 背景：翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 任务： (1)如图2．如图3，已知四边形为等垂四边形，，． 在图2中，若，，则的度数为_______； 在图3中，若，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解： ； ，， ， ， ， ， 故答案为：； 四边形是等垂四边形， 理由如下： ， ， 分别平分，， ，， ， ， ，即． 又， 四边形是等垂四边形． （2）如图，四边形即为所求作的等垂四边形． 过A点，作，与交于D点． 变式3（2025·山西·一模）阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： (1)推理论证：请补全材料中的证明过程； (2)类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 点是半圆的圆心， ， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ； （2）解：如图，在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求； 证明：如图，连接， 设，，则， ∴， ∵点是半圆的圆心， ∴， ∴， ∴是边上的高， ∴， ∵在中，， ∴以为边的正方形的面积为， ∵在中，，是边上的高，， ∴， ∴的面积为， ∴以为边的正方形与的面积相等， ∴线段即为所求； （3）解：如图，连接，， 由（1）已知：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，即， ， 解得或 (不符合题意，舍去)， 又， 或(不符合题意，舍去)， ， ． 故答案为：． 变式4（2025·山东滨州·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形（依据：______）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点O作边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 【详解】（1）解：如图2， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 补全图形3如下： 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴． ∴D是边的中点，即是的垂直平分线． ∴． ∴； （3）解：如解图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ◇重难 01 阅读理解中高中数学定义 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 典例2（2025·山东潍坊·二模）【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点：①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 【详解】（1）解：由题中给出的前四项可知，这个“走法数”序列满足，， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和 ∴， 故答案为：，． （2），， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和 猜想， ∴，，，， ，，，， ； （3）设常数满足 ∴ ∴ 设是方程的两个根， ∴ （3）由（1）可得， 按““斐波那契数列”依次取 ，，，，，，，，， 这 段之和 ，再加一段 使总长 ， 共得到 段．则其中任意三小段都不能拼成三角形，， 故可得最大． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·福建漳州·三模）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值； (2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 【详解】（1）解：； （2）解： 如图，延长交于点， 由题意可得 米， 米 米 米 米； （3）解：延长交于点，作交于点，并使， 米 由（2）得：米， ， 米，. 米， 答：飞机再飞160米可使点看飞机的仰角为． 变式2（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积； (2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【详解】（1）解：由题意知：海里，海里， 由结论①知： ． ∴的面积为平方海里． （2）解：如图： 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴海里， 又∵， ∴， 由题意知， ∴， 由题意可得：， ∴海里． 变式3（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【详解】解：（1）根据题意得：等比数列的公比为3，第5项是； 故答案为：3，243； （2）根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为： （3）设①， 则②， 得， ． ∴． 变式4（2025·安徽合肥·一模）阅读与思考 下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求 （ 为正整数）方法 方法 1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除 2 ． 可得 ，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得 ， ． 我们列出特殊情况： ； ； ；．．． ． 两边分别相加可得， ． ． 试用这些方法和结果，可以解决问题． 任务1 计算： __________． 任务2 我们知道： ； ； ；．．． 则 __________． 任务3 若 ； 请仿写下去，并求 【详解】解：（1）根据方法1，， 同时， 相加得： 可得：， 故答案为：； （2）根据方法2:，有： ； ； ； ； 两边相加可得，， ∴； 故答案为：； （3）； ； ； ； 两边相加得： ． 变式5（2025·安徽蚌埠·模拟预测）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）． (1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______； (2)欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边都乘2，得②， 由，得， ，即的值为． 请根据以上解答过程，计算：． 【详解】（1）解：， ∵，，，，， ， （2）解：令，则， 两式相减，得， ，即． 变式6（2025·河南商丘·二模）在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为，，，锐角的面积记为，过点作于点，则， ， 同理可得，． 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以36海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． (1)求的面积； (2)若此时与恰好互相垂直，求乙船由处到达处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【详解】（1）解：由题意得，海里，，（海里）， 由结论①得，的面积为（平方海里） （2）解：如图， ，， ，海里 ，， 由结论②得，， 即， 海里 ◇测能力 1．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 2．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 类比分式方程的解法求解简单的分式不等式 我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试： 当时，不等式两边都乘，得，即 解得． 当时，不等式两边都乘，得，即 该不等式组无解． 综上所述，分式不等式的解集为． 总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集． 任务： (1)上面小论文中的尝试过程，主要运用的数学思想是 ．（从下列选项中选出两个即可） A．类比思想  B．统计思想  C．分类讨论思想  D．转化思想 (2)请根据论文中的思路方法解分式不等式． 【详解】（1）解：根据题意，问题解决中用到了类比思想，分类思想，转化思想把分式不等式转化为不等式组解答， 故任意选择两个，得到答案为（或或）， 故答案为：（或或）． （2）解：， 当时，不等式两边都乘，得， 即 该不等式组无解． 当时，不等式两边都乘，得， 即． 解得． 综上所述，分式不等式的解集为． 3．（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为； （2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴函数的“纵横极差”为； （3）解：∵， ∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为， 根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时， 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，符合条件； 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去， 综上所述，的值为． 4．（2025·山西晋城·三模）阅读与思考 下面是博学小组的一篇拓展性学习报告，请仔细阅读并完成相应的任务. 求任意两点之间的距离在平面直角坐标系中，两点在轴上，已知点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作，同样，两点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作．如果，是平面直角坐标系内任意两点，如何求两点之间的距离? 我们可以通过构造直角三角形来求两点之间的距离，如图，过点分别作轴、轴的垂线，两垂线的交点为，则点的坐标为， ，， （依据），即， 我们将此公式叫作平面直角坐标系内任意两点，之间的距离公式． 任务： (1)材料中的“依据”是指_____； (2)在平面直角坐标系中，已知，，则两点之间的距离_____； (3)在平面直角坐标系中，已知，，，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：根据阅读材料做法，， 材料中的“依据”是指勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）解：，， 由公式可得两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：是等腰直角三角形， 理由如下： ，，， ，，， ，且， 是等腰直角三角形． 5．（2025·四川达州·中考真题）项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： (1)请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是_______； (2)若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； (3)甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 【详解】（1）解：总人数为（人） 参加研学基地人数为（人） ∴参加研学基地人数为：（人） 补全统计图如图， 意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 故答案为：． （2）解：（人） 答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人； （3）列表如下： 甲乙 共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有种， ∴两位同学选择相同研学基地的概率为． 6．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 7.（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．    【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【详解】（1）解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等；                       故答案为：等角的补角相等； （2）解：是的外角，   ． 是的外角，            ．          ， ．                即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． ， 线段与线段是双关联线段． （3）解：答案不唯一，例如： 作法一：   作法二：   如图，线段即为所求． 8．（2025·山西大同·三模）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应的任务． 光的相对折射率 物理常识：如图1，光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生偏折的现象叫做光的折射．当光从甲介质射入乙介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比（，均为锐角），叫作乙介质相对甲介质的折射率，简称相对折射率，用符号n表示，即（注：法线m垂直于两种介质的分界线l） 概念理解：已知光从甲介质射入乙介质发生折射，若入射角，折射角，则乙介质相对甲介质的折射率n的值为______． 作法呈现：如图2，直线l是真空与某种介质的分界线，该介质相对于真空的折射率，点P表示点光源，是入射光线，直线m为法线．用尺规作出折射光线，作法如下：如图3， ①过点P作于点M；作的垂直平分线，交于点N； ②在直线l上截取，过点B作射线于点B； ③以点A为圆心、长为半径作弧，交射线于点Q，作射线． 射线即为所求作的折射光线． 数学思考：为解释上述作法的合理性，只需说明理由如下： 由作图及物理常识可知，． ∴在中，． ∵是的垂直平分线，且与交于点N， ． …… 任务： (1)上述材料中“概念理解”部分“______”处应填______； (2)补全材料中“数学思考”部分的说理过程； (3)如图4，直线l是真空与某种介质的分界线，该种介质相对于真空的折射率，是入射光线，点O是入射点，在介质中设置了光线投影面，且，折射光线与交于点Q，当入射角的正弦值（即）为时，直接写出的长． 【详解】（1）解：根据题意可得乙介质相对甲介质的折射率n的值为， 故答案为：； （2）解：由作图及物理常识可知，． ∴在中，． ∵是的垂直平分线，且与交于点N， ， 根据题意作图可得，， ， ， ； （3）解：如图，过点作， ，，入射角的正弦值（即）为， ，即， 设， 根据勾股定理可得， ， ， ， ，可得， 解答， ， 根据勾股定理可得． 9．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 【详解】解：（1）根据倍角三角形定义，可知， ∴，即：， ∵， ∴， ∴的取值范围：， 故答案为：； （2）∵，二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积， ∴，即：，解得：， 故答案为： ； （3）取的中点，连接， ∵点是的中点，点是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．   ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．    【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） （2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求    （3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和， 证明如下：∵点分别是边的中点， ∴． ∴． 同理． ∴四边形的周长． 即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和． 11．（2025·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小宇数学小论文的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 浅谈数学概念的学习 数学概念是构成数学定理、法则、公式的基础，正确掌握数学概念对于学习数学至关重要．同时，要结合具体的实例来加深对数学概念的理解． 下面以“等分积周线”概念学习为例，体会学习方法． 定义：如果一条直线把一个平面图形的面积和周长都分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条“等分积周线”． 实例：如图1，正方形的一条对角线所在的直线是正方形的一条“等分积周线”；如图2，经过圆心的任意一条直线都是圆的“等分积周线”． 特殊几何图形的“等分积周线”探索： 1．等腰三角形 …… 任务： (1)请再写出两个几何图形，每个图形至少有一条“等分积周线”． (2)如图3，在中，，且，请你在图3中作出的一条“等分积周线”．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在四边形中，，，，，垂直平分，垂足为N，交于点M，求证：直线为四边形的“等分积周线”． 【详解】（1）解：由题意得，菱形和矩形符合题意， ∵菱形和矩形既是轴对称图形也是中心对称图形， ∴菱形和矩形两条对角线所在的直线为“等分积周线”； （2）解：如图，直线即为所作： （3）证明：连接， ∵垂直平分， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴ ∴， 解得：， ∴四边形的周长为：， 四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长与四边形的周长相等； ∵垂直平分， ∴， ∴， 而，， ∴， ∵四边形的面积为：，四边形的面积为， ∴四边形的面积与四边形的面积相等， 故直线为四边形的“等分积周线”． 12．（2025·山西长治·二模）阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务． 问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图） 方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴…… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________ 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程． 任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明） 【详解】解：任务一： 证明：，． （平行线分线段成比例定理）， 故答案为：平行线分线段成比例定理； 任务二： 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 任务三： 解：如图，点即为所求： 13．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E． 则，且（依据1）， 又平分， （依据2），． 任务： (1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边； 故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边； （2）证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵中，是角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴． ◇提能力 1.（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 2．（2025·山西朔州·三模）阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，，是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则________． 【知识应用】（2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，以点为圆心，长为半径画圆交轴正半轴于点，平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点的坐标：________． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 【详解】解：（1）由平移的性质得：平移的距离， ∵，是线段的三等分点，， ∴， 即； 故答案为：2 （2）如图，即为所求； （3）∵点的坐标分别是，，     ∴，， ∴， ∴， ∴点， 若四边形或为平行四边形，此时轴，轴，且， ∴点； 若四边形为平行四边形，此时沿的方向平移至的位置， ∵点的坐标分别是，，   ∴点D先向左平移1个单位，再向下平移1单位到达点E， ∴点先向左平移1个单位，再向下平移1单位到达点， ∴； 综上所述，点G的坐标为或或． 3．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 下面是小逸同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 用“平移法”解答几何问题解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线的策略． 如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点． 求证：．        图 小逸在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点与点重合，构造全等三角形． 如图，平移线段至交于点， 由平移的性质得，        图 ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形（依据）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴（依据）， ∴． 方法二：如图，平移线段至交于点， 则四边形是矩形，        图 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， …        图 任务： (1)填空：材料中的依据是指___________________，依据________________． (2)补全材料中方法二的剩余证明过程． (3)如图，在正方形网格中，，，，为格点（网格线的交点），交于点．则_____________． 【详解】（1）解：材料中的依据是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，依据是：全等三角形的对应边相等， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等； （2）如图，平移线段至交于点，则四边形是矩形，      图 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，则由平移的性质可得， ∴， 设正方形网格的边长为，根据勾股定理可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山西晋中·二模）阅读与思考 三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点，满足，则点叫做的布洛卡点，叫做布洛卡角． 任务一： （1）若点是边长为3的等边的布洛卡点，则布洛卡角的度数为________，点到三个顶点的距离之和为________． 任务二：如图2，在中，，，点是内部一点，且． （2）求证：点是的布洛卡点． （3）求的值． 【详解】解：（1）由题意知：， 为等边三角形， ，， ∴， 即， ， ， ， ， ， 即布洛卡角的度数为， 同理可证出： ， ， ， 过点Q作于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点是的布洛卡点． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， ∴． 5．（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【详解】解：（1）①在中，当时，最短， 由三角形面积公式， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：； ②∵点为中点，， ∴， 线段绕点顺时针旋转，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．当，，三点共线且在线段上时，最小， 此时，由①知最小值为， ∴最小值为； 故答案为： （2）过点作轴，交直线于点， 由题意得，点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴，当时，取最小值为， 此时，取最小值，值为． （3）∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形周长为邻边之和的2倍， ∴平行四边形周长最小时，即是邻边之和最小． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，取最小值， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形周长最小值为20． 6．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： (1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 【详解】（1）解：经测量：； ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：图4：点C在圆的内部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 图5：点C在圆的外部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：即为所求； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵A，B，D三点在上， ∴A，B，C、D四点在上， ∵， ∴． 7．（2025·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为，，，．连接，，． 与，分别相切于点， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： (1)填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； (2)请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； (3)如图2，，是的两条弦，，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解：平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是正方形； 对角：双心四边形的对角互补； 的依据：圆的切线垂直于经过切点的半径； 的依据：； 故答案为：正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径；； （2）证明：连接． 与分别相切于点， ， ， ， ． ， 同理，． ， 即； ∴双心四边形两组对边之和相等； （3）解：以点C为圆心，为半径画弧交于点D，连接，则四边形为所画的双心四边形，如图， 其外接圆与内切圆圆心之间的距离为，理由： 连接，如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的内切圆的圆心P在上， 设与切于点M，与切于点N，连接， 则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 8．（2025·上海虹口·二模）阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图，在中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在中，如果，那么． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作． (1)如图①，过点作，垂足为． ①求证：； ②已知，如果经过点（如图②），求直线与直线夹角的正弦值； (2)已知与线段相交于点、，，如果，求的长． 【详解】（1）解：①如图 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴即； ②∵， ∴， ∴ ∴ 过点作于点，连接，如图， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ 过点作交于点，则四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线与直线夹角的正弦值为 （2）解：∵， ∴设 ①当在的左侧时，如图，连接，，过点作于点， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∵ ∴ ∴在，中， ∴ 解得： ∴ ②如图，当在的右侧时， ∴ ∴ 同理可得， ∴ 同理得， 解得： ∴ 综上所述，或． 9．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图2， ①分别以点A，点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点和点， ②连接．结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明：四边形是平行四边形， ．即． 由作图痕迹可知：． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形．（依据1） 善思小组的作法：如图3， ①连接，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． ②作直线分别交于点，点和点． ③连接． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明：由作图可知：直线垂直平分． ．（依据2） …… 任务一：请补充上面证明过程中的“依据1”，“依据2”． （1）依据1：___________；依据2：___________； 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：（1）依据1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 （2）证明过程补充如下： ，， ， ∵，， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形 ， 平行四边形是菱形 （3）如图：作的角平分线交于E，再以E为圆心，以为半径画弧交于F，再连接，得到四边形是菱形． 10．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小华同学的一篇数学反思，请仔细阅读，并完成相应的任务． 巧用“对称”作图 问题：已知：如图1，点E是的边上的一点． 求作：矩形，使点F，G，H在的边上，且对角线交点与的对角线交点重合． 分析：所求作的矩形的一个顶点E是已知的，且在的边上，并且矩形对角线交点与的对角线交点重合．矩形与平行四边形都是中心对称图形，所以点E与点G一定关于对角线交点中心对称，这样就可以确定点G了，对角线也随之确定，然后根据矩形对角线的性质可以确定顶点F，H． 作法：1．连接，交于点O． 2．连接并延长交边于点G． 3．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交边于点F． 4．连接并延长交边于点H． 5．依次连接点E，F，G，H． 四边形就是所求作的矩形（如图2）． 反思：以上作图中关键利用了图形的对称性．由此想到这种方法可以迁移到其它对称图形的作图中． 任务： (1)根据以上作法，求证：四边形是矩形， (2)若将上面材料中所求作的矩形改为菱形，其它条件不变，请用尺规在图3中作出符合条件的菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (3)图2中，若的边，则线段的长为______． 【详解】（1）解：在中， ， ∵， ， ， ， 同理：， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为矩形； （2）解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴以点为圆心，大于长为半径作圆，并以点为圆心，大于长为半径作圆，两圆交于两点，连接两点，得到菱形，如图即为所求： ； （3）解：过点C作，交于点N， ， ∵，是平行四边形， ∴，， ∴， ∴在中：由勾股定理，得： ∵， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ， 故答案为：． 11．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务： (1)直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． (2)在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论． (3)如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 【详解】（1）解：每个外角均等于，等角准正六边形的每个内角均等于， 故答案为：； （2）解：，，． 证明：方法一：连接，如图： 六边形是等角准正六边形， ． ， ． ， ． ． 同理可证． 方法二：延长交于点，如图： 六边形是等角准正六边形， ． ． ． ． ． 同理． （3）解：（方法不唯一）延长，与的延长线交于点，延长，与的延长线交于点，如图： ， ． ． ， ． ． ． 同理． ． 又，且， 八边形是等角准正八边形． 12．（2025·山西·三模）阅读与思考 “算两次”原理 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解． 方式一：． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． …… 任务： (1)例1中得到的乘法公式是 （用含，的式子表示）． (2)请将例2中的剩余过程补充完整． (3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接．若，则点到的距离为 ． 【详解】（1）解：将其看成一个大正方形则面积为， 将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，面积为， ； 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ， 解得， 正方形的边长为． （3）解：作于点，作于点，如图所示， 四边形是平行四边形，，， ，， 将纸片沿折叠，点的对应点为点， ，， ， 为等腰三角形，， ， ， ， 在中，， ， ， 又在中，， ， ， 又，， ，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，， 设点到的距离为， ， ． 故答案为：． 13．（2025·广西·一模）【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 【详解】解：（1）如图， ∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋， ∴，， ∴，， ∵误差在范围内符合题意， ∴选择范围为：， ∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果； （2）∵在黄金矩形中，长， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）∵由对折可得：四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （4）∵正方形，， ∴正方形的面积为， ∵矩形，， ∴， ∴矩形为， ∴． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 阅读理解题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】材料方法迁移 【考点02】 实际情境阅读理解 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】有理数中的阅读理解 【题型02】代数式中的阅读理解 【题型03】线段中的阅读理解 【题型04】三角形中的阅读理解 【题型05】四边形或多边形中的阅读理解 【题型06】圆中的阅读理解 【题型07】函数中的阅读理解 【题型08】尺规作图中的阅读理解 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】阅读理解中高中数学定义 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 1.材料方法迁移 · 给一段解题过程（换元、配方、构造、整体代入） · 要求：看懂方法 → 模仿步骤 → 解决同类变式 2.实际情境阅读理解 · 图表信息、方案选择、函数 / 方程模型 · 考查：数学建模 + 信息提取 关键能力与思维瓶颈 1.关键能力 1. 信息提取能力快速抓：定义、规则、限制条件、例题结构。 2. 符号化翻译能力文字语言 → 数学式子 / 图形 / 关系。 3. 规则执行能力严格按题目给定逻辑，不凭经验。 4. 方法迁移能力会模仿、会类比、会推广。 5. 分类讨论与严谨推理不漏解、不超范围、逻辑闭环。 6. 数学表达能力步骤规范、书写清晰、因果完整。 2.学生典型思维瓶颈 1. 读不懂：只看数字不看定义忽略限制条件、范围、特殊情况。 2. 套不上：看懂例题不会迁移只会照抄，不会变式。 3. 推不出：规律只靠猜，不会归纳写不出 n 的表达式，不会验证。 4. 画不出：几何新定义无图无思路图形画错，条件标错。 5. 不分类：多解问题只写一解新定义 90% 带分类讨论。 6. 表达乱：因果不清、跳步严重会做但不得满分。 命题前瞻与备考策略 1.命题前瞻 阅读量增大，信息更隐蔽不再直白给公式，需要提炼模型。 更强调 “方法迁移”不考死记硬背，考现场学习能力。 分类讨论常态化一题多解、分段定义成为标配。 几何新定义比重上升与全等、相似、圆、函数综合。 真实情境增多贴近生活、图表、统计、决策类。 低起点、高落点第 (1) 问送分，第 (2)(3) 问拉开差距 2.高效备考策略 训练策略：三步走 · 第一步：读题训练只读题，不做题，圈画：定义、规则、范围、关键词。 · 第二步：模仿训练例题与变式步骤对齐，强制同结构书写。 · 第三步：迁移训练同一方法，换背景、换图形、换数据。 ◇考点 01 材料方法迁移 1.常考方法（全国高频） 换元法 复杂式子整体换元，降次、简化结构 方程、分式、二次根式、代数式求值 配方法 配成完全平方，求最值、判定正负、解方程 整体代入法 不求单个字母，直接整体代换求值 构造法 构造方程、构造函数、构造图形 数形结合法 式子→图形，利用几何意义解题 分类讨论法 按符号、范围、图形位置分类 2. 命题结构（固定三段式） ① 材料：给出定义 / 方法 / 例题② 应用：模仿步骤做一道简单题③ 拓展：迁移方法做一道变式 / 难题 ◇考点 02 实际情境阅读理解 常考模型（全国通用） 方程（组）模型：和差倍分、行程、工程、销售、增长率 不等式（组）模型：方案选择、至少 / 至多、不超过、不空不满 函数模型 一次函数：成本、利润、行程、分段计费 二次函数：面积、利润最值 统计 / 概率模型 图表：条形图、折线图、扇形图、频数分布 求样本估计总体、中位数、众数、平均数 几何模型 解直角三角形（仰角、俯角、坡度） 相似、方位角、最短路径 ◇题型 01 有理数中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏盐城·二模）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 变式（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． ◇题型 02 代数式中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 典例2（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 变式2（2025·广东佛山·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算： ； ． (2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 变式3（2025·安徽六安·一模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． ◇题型 03 线段中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 变｜式｜巩｜固 变式（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． ◇题型 04 三角形中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 典例2（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是勤学小组探究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“倍角三角形”的探究报告 探究对象：倍角三角形． 探究思路：从特殊图形到一般图形进行探究． 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．显然，等腰直角三角形和含角的直角三角形都是特殊的“倍角三角形” 性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中分别表示，的对边． 当时，计算___________； 当时，计算___________． 性质猜想：之间的数量关系为___________． 性质证明： 如图2，延长到点，使． ． ． ． 又， ．．．．．． 任务： (1)将“性质探究”与“性质猜想”中横线部分的内容补充完整； (2)请补全上述证明过程； (3)已知是“倍角三角形”，，且它的三边长恰好是三个连续的正整数，请直接写出的长． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： (1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 变式2（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线新定义：我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： (1)解答过程中“依据”的内容是______． (2)请将解答过程补充完整． (3)如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 变式3（2025·山西忻州·二模）阅读与思考 下面是勤学小组探究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“倍角三角形”的探究报告探究对象：倍角三角形． 探究思路：从特殊图形到一般图形进行探究． 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．显然，等腰直角三角形和含角的直角三角形都是特殊的“倍角三角形” 性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边． 当，时，计算_________，； 当，时，计算_________，． 性质猜想：，，之间的数量关系为__________． 性质证明： 如图2，延长到点，使． ． ． ，． 又， ．．．．．． 任务： (1)将“性质探究”与“性质猜想”中横线部分的内容补充完整； (2)请补全上述证明过程； (3)已知是“倍角三角形”，，且它的三边长，，恰好是三个连续的正整数，请直接写出的长． ◇题型 05 四边形或多边形中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山西长治·一模）阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点，连接，交于点，则四边形称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 典例2（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形． 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究． 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形． 证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形． 【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形． 证明：以为边作等边三角形，连接． …… 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两个即可）； A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系． 变式2（2025·山西朔州·一模）阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： (1)材料中的“依据”指的内容是______； (2)在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） (3)请将勤奋小组的过程补充完整； (4)已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 变式3（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 变式4（2025·山西吕梁·三模）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“泰森四边形”的研究报告荷兰气候学家A・H・Thiessen为了计算各个区域的平均降雨量，将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，这些垂直平分线围成一个多边形，这个多边形就是泰森多边形，其顶点是每个三角形外接圆的圆心．如图1，点是四边形内一点，，，，分别是，，，的外心，则四边形是四边形的泰森四边形，点叫做相关点． 如图2，当四边形对角线的交点是相关点时，其泰森四边形是平行四边形． 如图3，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是菱形．理由如下： 设与交于点，与交于点，与交于点，与交于点． 点，，，分别是，，，的外心， ． 又  ． 又四边形是平行四边形 四边形是菱形． 如图4，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是矩形．理由如下： ，… 学习任务： (1)在图1中，，，的数量关系是________； (2)请在图2中证明四边形是平行四边形； (3)当四边形对角线的交点是相关点时，矩形的泰森四边形是________，菱形的泰森四边形是________．（填“矩形”“菱形”或“正方形”） (4)如图5，在四边形和中，，，分别垂直平分，，．在平面内求作点，使四边形是四边形的泰森四边形，且点是相关点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法．） ◇题型 06 圆中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏苏州·二模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，，读数时，视线垂直于量筒壁（），与相切于点D，点O为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为．小华同学记录量筒上点A处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． (3)连接并延长交于点H，若，则长多少？ 典例2（2025·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点． 任务： (1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数． (2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切， 判断是否为的“完美三角形”，并说明理由； 若，则的周长为________． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 变式2（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，则为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ， ．．．．．． 任务一：请将上述过程补充完整． 任务二：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：． （2）若，则的长为___________． 变式3（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 变式4（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． ◇题型 07 函数中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 典例2（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．    证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·江苏镇江·二模）【阅读材料】 材料1：驾驶员从发现前方危险到做出刹车或者变道反应需要一定的时间，称为反应时间，这个时间会因为多种因素而有所不同，一般在秒到秒之间．在这段时间内，车辆仍然会以原有速度行驶一段距离． 材料2：自动驾驶的汽车，在遇到前方有突发情况时，会紧急避障，紧急避障路径可以用一个函数来描述，但这个函数的具体形式会取决于所使用的避障算法和传感器数据． 【问题情景】 (1)情景1：一辆行驶的汽车，若发现正前方有障碍物，司机采取紧急刹车反应时间为1秒钟． ①若正前方障碍物在处，则该车采取积极刹车后______避免（填“能”或“不能”）撞上障碍物． ②若该汽车从开始刹车到完全停止的滑行距离为30米，在不考虑其他因素的情况下，该汽车与同车道行驶的前车至少要保持的安全车距为______米． (2)情景2：若一辆具有AI辅助驾驶功能的（具有紧急主动避障功能）小汽车在总宽为12m的单向车道上以向东行驶，已知汽车距离左侧路沿2m． ①如图1，汽车在点处雷达感应到在左侧路边前方20m处突然有一不明物体以一定的速度向正南方向移动，智能驾驶系统立即计算并改变了行驶轨迹，其行驶轨迹的函数（即汽车距离右侧道路的距离（米）与汽车向东水平前进的距离（米））的表达式为，当汽车向东水平前进的距离为时，不明物体向正南方向移动了，这辆小汽车此次避障算法是否安全可靠？ ②如图2，若该汽车继续行驶至某个时刻，汽车在距离左侧车道2米处的处感应到前方因为施工而设置的路障（点在左侧路边），此时汽车智能驾驶系统迅速根据收集的数据计算并设定了一条抛物线（顶点为点）的行驳路径（直至行驶到安全区域再向前直线行驶），并建立了如图所示的平面直角坐标系，通过汽车AI系统计算得到直线的表达式为．若汽车与路障最小安全距离为，为保证行驶安全，求汽车智能驾驶系统设定的抛物线中，的最大值是多少． 变式2（2025·山东泰安·一模）阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图象上任取一点， 则点A关于原点的对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； (2)已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． (3)已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 变式3（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． …… 0 2 3 4 …… …… 3 1 …… 变式4（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． ◇题型 09 尺规作图中的阅读理解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·山西太原·二模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 典例2（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西长治·三模）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为．    黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： (1)如图2，在中，，．用尺规在边上求作一点，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）    (2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长．      变式2（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 背景：翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 任务： (1)如图2．如图3，已知四边形为等垂四边形，，． 在图2中，若，，则的度数为_______； 在图3中，若，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 变式3（2025·山西·一模）阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： (1)推理论证：请补全材料中的证明过程； (2)类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 变式4（2025·山东滨州·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形（依据：______）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点O作边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． ◇重难 01 阅读理解中高中数学定义 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 典例2（2025·山东潍坊·二模）【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点：①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·福建漳州·三模）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值； (2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 变式2（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积； (2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 变式3（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 变式4（2025·安徽合肥·一模）阅读与思考 下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求 （ 为正整数）方法 方法 1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除 2 ． 可得 ，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得 ， ． 我们列出特殊情况： ； ； ；．．． ． 两边分别相加可得， ． ． 试用这些方法和结果，可以解决问题． 任务1 计算： __________． 任务2 我们知道： ； ； ；．．． 则 __________． 任务3 若 ； 请仿写下去，并求 变式5（2025·安徽蚌埠·模拟预测）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）． (1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______； (2)欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边都乘2，得②， 由，得， ，即的值为． 请根据以上解答过程，计算：． 变式6（2025·河南商丘·二模）在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为，，，锐角的面积记为，过点作于点，则， ， 同理可得，． 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以36海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． (1)求的面积； (2)若此时与恰好互相垂直，求乙船由处到达处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） ◇测能力 1．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 2．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 类比分式方程的解法求解简单的分式不等式 我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试： 当时，不等式两边都乘，得，即 解得． 当时，不等式两边都乘，得，即 该不等式组无解． 综上所述，分式不等式的解集为． 总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集． 任务： (1)上面小论文中的尝试过程，主要运用的数学思想是 ．（从下列选项中选出两个即可） A．类比思想  B．统计思想  C．分类讨论思想  D．转化思想 (2)请根据论文中的思路方法解分式不等式． 3．（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 4．（2025·山西晋城·三模）阅读与思考 下面是博学小组的一篇拓展性学习报告，请仔细阅读并完成相应的任务. 求任意两点之间的距离在平面直角坐标系中，两点在轴上，已知点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作，同样，两点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作．如果，是平面直角坐标系内任意两点，如何求两点之间的距离? 我们可以通过构造直角三角形来求两点之间的距离，如图，过点分别作轴、轴的垂线，两垂线的交点为，则点的坐标为， ，， （依据），即， 我们将此公式叫作平面直角坐标系内任意两点，之间的距离公式． 任务： (1)材料中的“依据”是指_____； (2)在平面直角坐标系中，已知，，则两点之间的距离_____； (3)在平面直角坐标系中，已知，，，试判断的形状，并说明理由． 5．（2025·四川达州·中考真题）项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： (1)请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是_______； (2)若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； (3)甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 6．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 7.（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．    【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 8．（2025·山西大同·三模）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应的任务． 光的相对折射率 物理常识：如图1，光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生偏折的现象叫做光的折射．当光从甲介质射入乙介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比（，均为锐角），叫作乙介质相对甲介质的折射率，简称相对折射率，用符号n表示，即（注：法线m垂直于两种介质的分界线l） 概念理解：已知光从甲介质射入乙介质发生折射，若入射角，折射角，则乙介质相对甲介质的折射率n的值为______． 作法呈现：如图2，直线l是真空与某种介质的分界线，该介质相对于真空的折射率，点P表示点光源，是入射光线，直线m为法线．用尺规作出折射光线，作法如下：如图3， ①过点P作于点M；作的垂直平分线，交于点N； ②在直线l上截取，过点B作射线于点B； ③以点A为圆心、长为半径作弧，交射线于点Q，作射线． 射线即为所求作的折射光线． 数学思考：为解释上述作法的合理性，只需说明理由如下： 由作图及物理常识可知，． ∴在中，． ∵是的垂直平分线，且与交于点N， ． …… 任务： (1)上述材料中“概念理解”部分“______”处应填______； (2)补全材料中“数学思考”部分的说理过程； (3)如图4，直线l是真空与某种介质的分界线，该种介质相对于真空的折射率，是入射光线，点O是入射点，在介质中设置了光线投影面，且，折射光线与交于点Q，当入射角的正弦值（即）为时，直接写出的长． 9．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 10．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．   ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．    11．（2025·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小宇数学小论文的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 浅谈数学概念的学习 数学概念是构成数学定理、法则、公式的基础，正确掌握数学概念对于学习数学至关重要．同时，要结合具体的实例来加深对数学概念的理解． 下面以“等分积周线”概念学习为例，体会学习方法． 定义：如果一条直线把一个平面图形的面积和周长都分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条“等分积周线”． 实例：如图1，正方形的一条对角线所在的直线是正方形的一条“等分积周线”；如图2，经过圆心的任意一条直线都是圆的“等分积周线”． 特殊几何图形的“等分积周线”探索： 1．等腰三角形 …… 任务： (1)请再写出两个几何图形，每个图形至少有一条“等分积周线”． (2)如图3，在中，，且，请你在图3中作出的一条“等分积周线”．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在四边形中，，，，，垂直平分，垂足为N，交于点M，求证：直线为四边形的“等分积周线”． 12．（2025·山西长治·二模）阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务． 问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图） 方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴…… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________ 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程． 任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明） 13．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E． 则，且（依据1）， 又平分， （依据2），． 任务： (1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． ◇提能力 1.（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 2．（2025·山西朔州·三模）阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，，是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则________． 【知识应用】（2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，以点为圆心，长为半径画圆交轴正半轴于点，平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点的坐标：________． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 3．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 下面是小逸同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 用“平移法”解答几何问题解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线的策略． 如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点． 求证：．        图 小逸在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点与点重合，构造全等三角形． 如图，平移线段至交于点， 由平移的性质得，        图 ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形（依据）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴（依据）， ∴． 方法二：如图，平移线段至交于点， 则四边形是矩形，        图 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， …        图 任务： (1)填空：材料中的依据是指___________________，依据________________． (2)补全材料中方法二的剩余证明过程． (3)如图，在正方形网格中，，，，为格点（网格线的交点），交于点．则_____________． 4．（2025·山西晋中·二模）阅读与思考 三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点，满足，则点叫做的布洛卡点，叫做布洛卡角． 任务一： （1）若点是边长为3的等边的布洛卡点，则布洛卡角的度数为________，点到三个顶点的距离之和为________． 任务二：如图2，在中，，，点是内部一点，且． （2）求证：点是的布洛卡点． （3）求的值． 5．（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 6．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： (1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 7．（2025·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为，，，．连接，，． 与，分别相切于点， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： (1)填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； (2)请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； (3)如图2，，是的两条弦，，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 8．（2025·上海虹口·二模）阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图，在中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在中，如果，那么． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作． (1)如图①，过点作，垂足为． ①求证：； ②已知，如果经过点（如图②），求直线与直线夹角的正弦值； (2)已知与线段相交于点、，，如果，求的长． 9．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图2， ①分别以点A，点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点和点， ②连接．结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明：四边形是平行四边形， ．即． 由作图痕迹可知：． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形．（依据1） 善思小组的作法：如图3， ①连接，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． ②作直线分别交于点，点和点． ③连接． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明：由作图可知：直线垂直平分． ．（依据2） …… 任务一：请补充上面证明过程中的“依据1”，“依据2”． （1）依据1：___________；依据2：___________； 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 10．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小华同学的一篇数学反思，请仔细阅读，并完成相应的任务． 巧用“对称”作图 问题：已知：如图1，点E是的边上的一点． 求作：矩形，使点F，G，H在的边上，且对角线交点与的对角线交点重合． 分析：所求作的矩形的一个顶点E是已知的，且在的边上，并且矩形对角线交点与的对角线交点重合．矩形与平行四边形都是中心对称图形，所以点E与点G一定关于对角线交点中心对称，这样就可以确定点G了，对角线也随之确定，然后根据矩形对角线的性质可以确定顶点F，H． 作法：1．连接，交于点O． 2．连接并延长交边于点G． 3．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交边于点F． 4．连接并延长交边于点H． 5．依次连接点E，F，G，H． 四边形就是所求作的矩形（如图2）． 反思：以上作图中关键利用了图形的对称性．由此想到这种方法可以迁移到其它对称图形的作图中． 任务： (1)根据以上作法，求证：四边形是矩形， (2)若将上面材料中所求作的矩形改为菱形，其它条件不变，请用尺规在图3中作出符合条件的菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (3)图2中，若的边，则线段的长为______． 11．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务： (1)直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． (2)在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论． (3)如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 12．（2025·山西·三模）阅读与思考 “算两次”原理 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解． 方式一：． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． …… 任务： (1)例1中得到的乘法公式是 （用含，的式子表示）． (2)请将例2中的剩余过程补充完整． (3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接．若，则点到的距离为 ． 13．（2025·广西·一模）【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 6 / 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