5.2.2等差数列的前n项和（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数 列 5.2 等差数列 5.2.2等差数列的前项和 学 习 目 标 1 2 经历问题探究，利用倒序相加法与分组相加法理解与掌握等差数列的前n项和公式，并能灵活运用其求解相关的实际问题（逻辑推理、数学运算•重点）. 经历问题探究，理解与掌握等差数列的前n项和与二次函数的关系，并能运用其求解相关的实际问题（逻辑推理、数学运算•难点）. （一）情景问题——剧场座位问题 一、等差数列前n项和公式 为了达到更好的音响和观赏效果,很多剧场的座位都是排成圆弧形的,如图所示. 如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子,而且剧场座位的排列规律是:第1排36个,以后每一排比前一排多6个,共有8排,你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗? 相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. （二）问题探究——钢管堆放问题 一、等差数列前n项和公式 如图所示,建筑工地上堆放着一些钢管,最上面一层有4根,下面每一层比上一层多放一根,共8层. (1)在不逐个相加的前提下,你能想办法算出这些钢管共有多少根吗? (2)你能得出一般等差数列前n项和的公式吗? 探究（1） 图中的这些钢管,从上到下每一层的数量构成一个等差数列,这个数列的首项为,公差，而且该数列共有8项,第8项为 . 设想在钢管旁边再放同样多数量的钢管,但是倒过来放置,如图所示.这时,每一层的钢管数是相同的,都是根, 因此图中钢管的总数为 . （二）问题探究——等差数列的前n项求和公式推导（倒序相加法） 一、等差数列前n项和公式 探究（2）——倒序相加法（等差数列的基本性质法） 由探究（1）可知一般等差数列前"项的和可以用类似的方式得到. 设等差数列的前n项和为,即 , ① 显然, , ② 又∵根据等差数列的基本性质有 ∴把①、②两边分别相加,可得 , 因此 这就是等差数列倒序相加法的前n项求和公式. 一、等差数列前n项和公式 探究（2）——倒序相加法（通项公式法） 倒序相加法求等差数列的前n项和也可以做如下推论 设等差数列的前n项和为,首项为，公差为，则 , 代通项公式可得 ① 显然, , 代通项公式可得 ② ② ∴把①、②两边分别相加,可得 , 因此 这就是等差数列倒序相加法的前n项求和公式. （二）问题探究——等差数列的前n项求和公式推导（倒序相加法） 思考：除了倒序相加法，你还有其他求等差数列的前n项和的方法吗？ 一、等差数列前n项和公式 探究（2）——分组相加法（高斯相加法） 设等差数列的前n项和为,首项为，公差为，则 , 代通项公式可得 ∴ ① 又∵ ∴①式中括号内每两个相加的和为 ，且有 组，则有 这就是等差数列分组相加法（高斯相加法）的前n项求和公式. （二）问题探究——等差数列的前n项求和公式推导（分组相加法） 一、等差数列前n项和公式 （三）等差数列的前n项求和公式 由上探究可得等差数列的前n项和公式为 1.倒序相加法公式 设等差数列的前n项和为，则 2.分组相加法（高斯相加法） 设等差数列的前n项和为,首项为，公差为，则 （三）实例运用 一、等差数列前n项和公式 例1 已知等差数列的公差为2，且，求这个等差数列前20项的和.   【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的基本量计算即可； 【详解】由等差数列的通项公式可得， 由此可解得. 因此倒序相加法公式可得.   （三）实例运用 一、等差数列前n项和公式 例2 求等差数列5，12，19，26，…，201，208的各项之和. 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】求出该数列的公差和项数，即可求出该等差数列的各项之和 【详解】由题意， 5，12，19，26，…，201，208是等差数列 ∴该数列公差为7， 设共有项， 则， 解得：. ∴据倒序相加法各项之和为：. （三）实例运用 一、等差数列前n项和公式 例3 已知数列的前项和公式为： (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值.   【知识点】由Sn求通项公式、等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】（1）根据计算，然后验证即可； （2）结合二次函数性质求解取得最小值时n的值. 【详解】（1）当时，有 . 当时，有 . 又因为， 所以时也成立， 因此数列的通项公式为：. 因为， 所以是公差为4的等差数列.   （三）实例运用 一、等差数列前n项和公式 例3 已知数列的前项和公式为： (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值.   （2）（方法一） 因为， 又因为n是正整数，所以当或8时，最小，最小值是.   （方法二）由可知数列是递增的等差数列， 而且首项. 令，可得， 解得，而且0. 由此可知，或8时，最小，最小值是. （四）达标检测 一、等差数列前n项和公式 为了达到更好的音响和观赏效果,很多剧场的座位都是排成圆弧形的,如图所示. 如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子,而且剧场座位的排列规律是:第1排36个,以后每一排比前一排多6个,共有8排,你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗? 【详解】由题意设剧场每排椅子数组成的数列为， 且数列是首项为36，公差为6的等差数列， ∴当时，据分组相加法公式可得 故这个公司共需要204个椅子 （一）问题探究 二、等差数列前n项和与二次函数的关系 1.问题一：等差数列中与的关系与以前学过的什么函数有关? 探究1： 设等差数列的前n项和为,首项为，公差为，则 ， 化简得 ， 故等差数列是关于项数的二次函数. （一）问题探究 二、等差数列前n项和与二次函数的关系 2.问题二： 如果数列的前n项和的公式是 , 其中都是常数,那么 一定是等差数到吗?为什么? 探究2：不一定，只有当常数 时， 才是等差数列，原因如下 (1)当 时, 当 时，； 当 时，, 此时 是关于 的一次函数， 是等差数列，公差为 . (2)当 时, 当时，； 当 时，. 此时不满足 时的通项公式， 不是等差数列（从第二项起才是等差数列）。 （二）等差数列前n项和与二次函数的关系 二、等差数列前n项和与二次函数的关系 关系1： 设等差数列的前n项和为,首项为，公差为，则 ， 化简得 ， 故等差数列是关于项数的二次函数. 关系2： 如果数列的前n项和的公式是,其中都是常数, 那么只有当常数 时， 才是等差数列 （三）实例运用 二、等差数列前n项和与二次函数的关系 例4 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从8月1号开始，每个月的1日都存人1000元，共存入3年. (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？ (2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？   （1）解：每1000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是元， 第1个1000元存36个月，得利息元； 第2个1000元存35个月，得利息元； ………… 第36个1000元存1个月，得利息元. 因此，3年后李先生获得利息 元. 所以本息和为元. （2）解：每1000元“零存整取”存一个月能得到的利息是元， 因此，若是“零存整取”，3年后李先生获得利息 元， 因此，李先生多收益元， 即李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益元. 三、提升演练 练习1 已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n．   【详解】（1）因为，，根据公式， 可得． （2）因为，，所以．根据公式， 可得． （3）把，，代入， 得． 整理，得． 解得，或（舍去）． 所以．   三、提升演练 练习2 等差数列中，，公差，令， 求数列的前项和．   【知识点】含绝对值的等差数列前n项和 【分析】确定数列的项的正负情况，讨论时和时，结合等差数列前n项和公式，即可求得答案. 【详解】由题意知等差数列中，，公差， 故， 令， 故当时，； 当时，， ， 故. 三、提升演练 练习3 已知为等差数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及对应的n值．   【知识点】利用定义求等差数列通项公式、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由题意可求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）结合（1）的结果求出的表达式，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】（1）记等差数列的公差为d， 由得， 又，解得， 所以． （2）因为， 所以当时，取最大值，． 三、提升演练 练习4 已知等差数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式． (2)求证： 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、放缩法 【详解】（1）等差数列中，设公差为， ， ， 所以，故； （2）， 当时，成立； 当时，， 所以成立. 今天我们都学习了什么知识？ 1.经历问题探究，利用倒序相加法与分组相加法理解与掌握了等差数列的前n项和公式，并能灵活运用其求解相关的实际问题. 2.经历问题探究，理解与掌握领了等差数列的前n项和与二次函数的关系，并能运用其求解相关的实际问题. 四、课堂小结 感谢聆听! $