18.2 等腰三角形的判定（三大题型提分练）（题型专练）数学新教材沪教版七年级下册

18.2 等腰三角形的判定 题型一 根据等角对等边证明等腰三角形 1．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 题型二 根据等角对等边证明边相等 1．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）如图，在中，平分，B、C、G在同一直线上，平分，交于点D，求证：．    2．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，平分，点E，F分别在边，上，，延长，交于点G，    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．（2025·陕西西安·二模）如图，在与中，，，，求证：． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，和中，点在上，．求证：． 题型三 等腰三角形的性质和判定综合应用 1．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点C在上，平分交于点D，点F是线段的中点，连结，请说明的理由． 解：因为平分（已知） 所以______（角平分线的意义） 因为（已知） 所以______（等式性质） 而______（    ） 所以（等量代换） 所以（______） 又因为（线段中点的意义） 所以（______）． 1．（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 2．（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 4．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是______，位置关系是______； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，由“三角形的三边关系”可求得边上的中线的取值范围是______； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2 等腰三角形的判定 题型一 根据等角对等边证明等腰三角形 1．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 【答案】理由见解析 【分析】由角平分线的定义得∠ABF＝∠DBF，再根据三角形内角和与三角形的外角，可得∠AEF＝∠AFE，进而可判定△AEF是等腰三角形． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠DBF， 又∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴， ∴∠AFE＝∠DEB， 又∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和，三角形的外角，等腰三角形的判定等知识，解题的关键在于明确角度的数量关系． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴为等腰三角形． 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质，等量代换得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 题型二 根据等角对等边证明边相等 1．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）如图，在中，平分，B、C、G在同一直线上，平分，交于点D，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据角平分线得到，，利用平行线的性质得到，则，根据等角对等边得到，根据等量代换即可得到结论． 【详解】证明：∵平分，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了等角对等边、角平分线的定义、平行线的性质等知识，证明是解答本题的关键． 2．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，平分，点E，F分别在边，上，，延长，交于点G，    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用角平分线的定义得到，加上，则，于是根据平行线的判定方法得到，再根据平行线的性质有，，然后利用等量代换即可得到，根据等角对等边即可证明； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，结合（1）中结论即可得解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，， ， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 3．（2025·陕西西安·二模）如图，在与中，，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，结合，运用证明，则，最后运用等角对等边，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，和中，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到． 【详解】证明： 在与中， ． 题型三 等腰三角形的性质和判定综合应用 1．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质得到得到，根据等腰三角形的三线合一证明． 【详解】解：． 如图，延长交于点． 、分别平分和（已知） ，（角平分线定义） ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） （等式性质） （等角对等边） （等腰三角形三线合一）． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 【答案】；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键． 由角平分线的定义得，由等式的性质得，结合外角的性质可得，从而，然后利用三线合一即可求解． 【详解】解：结论： 理由： 因为平分（已知），所以（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）， 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）． 故答案为：；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一． 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和判定，由等腰三角形性质和三角形内角和、外角的性质证明角相等是解题关键． （1）根据等腰三角形性质求出，再由直角三角形两锐角互余即可求出． （2）先根据等边对等角证明，等腰三角形三线合一和同角的余角相等证明，进而由，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 4．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点C在上，平分交于点D，点F是线段的中点，连结，请说明的理由． 解：因为平分（已知） 所以______（角平分线的意义） 因为（已知） 所以______（等式性质） 而______（    ） 所以（等量代换） 所以（______） 又因为（线段中点的意义） 所以（______）． 【答案】；；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；等角对等边；等腰三角形的三线合一 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质、角平分线的定义．直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：因为平分（已知） 所以（角平分线的意义） 因为（已知） 所以（等式性质） 而（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） 所以（等量代换） 所以（等角对等边） 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）． 1．（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 【答案】（1）；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）延长到点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可； （2）延长交延长线于点F，利用平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到：，，，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得，则，再利用解答即可； （3）延长至点F，使得，连接、、，通过证明和，利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长交延长线于点F， ， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，， ∵P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴； （3）证明：延长至点F，使得，连接、、，如图， 由（1）同理易证：， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，本题是阅读型题目，掌握倍长中线的方法，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 【答案】(1)B (2) (3)8 (4)见解析 【分析】（1）利用证明； （2）利用三角形的三边关系进行求解即可； （3）延长到M，使，连接，证明，推出为等腰三角形，得到，即可得解； （4）延长到点G，使，连接，易得，证明，得到，在中，，即可得出结论． 【详解】（1）解：在和中 ， ∴， 故选：B； （2）由（1）得：， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案是：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解： 延长到点G，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴， 又 ∴， ，， ∵， ∴， ， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是______，位置关系是______； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，由“三角形的三边关系”可求得边上的中线的取值范围是______； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【答案】（1），，（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：在和中 ， ， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故答案为：． （3）解：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， 即． ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$