专题01 全等三角形的基本模型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题01 全等的基本模型 题型一：平移型 题型二：翻折型 题型三：旋转型 平移型 翻折型 沿一条边翻折 沿一条边的中垂线翻折 沿着一条角平分线翻折 旋转型 题型01 平移型 【典例1】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解． 【详解】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC＝EF， ∵BF＝10，BC＝6， ∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4， ∴EC＝EF﹣CF＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键． 【变式1】如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE． 求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见解析 【分析】因为AB⊥BE，DE⊥BE，所以∠B=∠E，又因为BF=CE，所以BC=FE，又因为AB=DE，则可根据SAS判定△ABC≌△DEF． 【详解】解：证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠B=∠E， ∵BF=CE， ∴BC=FE， ∵AB=DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点睛】此本题可以理解成先翻折后平移 【变式3】如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解(2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质 （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）证明△CEB≌△ECD即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2）， ． 又， ∴∠DCE=∠BCE ∵EC=EC △CEB≌△ECD ∴DE=CB=8 【变式4】已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 题型02 翻折型 【典例1】如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 【变式1】如图，，请你添加一个适当的条件，使得：______（只需填写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），根据已有条件结合定理添加合适条件． 已知，可得，且为公共边，根据全等三角形判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件即可． 【详解】，而， ． 同时，是和的公共边，即， ①添加（SAS判定）： 在和中， ， ； ②添加（AAS判定）： 在和中， ， ； ③添加（ASA判定）： 在和中， ． 可添加的条件为（或或等，答案不唯一），这里以为例． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】如图，已知，如果，，那么________． 【答案】75 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，再证明，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知：如图，分别平分，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）根据角平分线的定义结合，即可推出，进而可得，再根据角边角即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，可得，然后根据三角形的内角和定理结合对顶角相等可得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵分别平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴． 【变式4】如图，已知：，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，得出，再证明即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型03 旋转型 【典例1】1．如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的对应角相等的外角性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，若，则与相等的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式2】在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【变式4】如图，在中，AB=AC=BC，∠BAC=，点E、F分别在边上，且，连接和相交于点G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据可得，，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 则在中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 1.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 2．如图，，，要使，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，根据，可得，添加，根据“”可证． 【详解】解：若添加，则和条件重复； 若添加，则“”不能证明全等； 若添加，则与条件重复； 故A、B、D不能证明全等； 应添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 3．如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 4．如图，已知，，，那么______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，由平行线的性质可得，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，，在边上，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 7．如图，点E、F在上，，，、相交于点G，要使得，则还需添加的条件为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，，，，．根据全等三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：添加， ∵，，根据证明． 添加， ∵，，根据证明． 故答案为：．（答案不唯一） 8．如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于___________． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键．根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 由题意可得，， 又∵ ∴ 故答案为； 9．已知：如图，已知点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．根据平行得到，再通过得到，就可以证明，由全等三角形的性质得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 10．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 11．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 12．如图，已知，，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 13．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 14．如图，已知：是的中线，和都垂直于直线，垂足分别为点、．求证：． 证明：是的中线， ___________． ，， ___________，___________． _____________________． （请完成后面的证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，由垂线的定义可得，证明即可得证． 【详解】证明：是的中线， ． ，， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，已知：，，，且、、三点在同一直线上．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：， ______________________． ______________________． 在和中， （___________）． （___________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由得出，再证明即可得解． 【详解】证明：， ． ． 在和中， ， （全等三角形对应角相等）． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 专题01全等的基本模型 题型归纳 题型一：平移型 题型二：翻折型 题型三：旋转型 平移型 E B 沿一条边翻折 沿一条边的中垂线翻折 C 翻折型 B D 旋转型 题型专练 题型01平移型 【典例1】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE,AB=DE, EC= 1/10 上好每一堂课 D A B E F 沿着一条角平分线翻折 E B A D C D A B E ∠A=∠D,BF=10,BC=6,则 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E 【变式I】如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,AB∥DE,BE=CF,AC与DE交 于点G. D C (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠B=50°，∠F=70°，求∠EGC的度数. 【变式2】已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE, 垂足为E,且AB=DE,BF=CE. 求证：△ABC≌△DEF. D G C 【变式3】如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CD∥BE, D E C (1)求证：△DAC≌△ECB; (2)连接DE,若AB=16,求DE的长. 2/10 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4】已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF,AE=BF· 若 ,则AB=CD. E B 请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并 说明理由. 题型02翻折型 【典例1】如图，AB=AC,添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是() E B A.∠B=∠C B.∠AEB=∠ADCC.AE=AD D.BE=DC 【变式1】如图，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使得△ADC≌△ADB: (只需填写一个). 【变式2】如图，已知△AEC≌△ADB,如果∠2=25°，∠AGE=80°，那么∠D=°. E D G 3/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】已知：如图LABC=LDCB,BD、AC分别平分∠ABC,∠DCB. 0 (1)求证：△AB0≌△DC0; (2)求证：AD∥BC, 【变式4】如图，己知：AB=DC,BM=CM,AC=DB.求证：AM=DM· A D B M 题型03 旋转型 【典例1】如图，如果△ABC≌△AED,且点D在BC上，那么下列说法错误的是() B D A.∠E=∠B B.ZBDE=ZEAB C.ZADC=ZC D.∠BAD=∠DAC 【变式1】如图，若Rt ABC≌Rt DBE,则与∠E相等的角是() D C B A.∠ACB B.∠ABC C.∠DBE D.∠CAB 4/10 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】在ABC中，AD、CE是高，AD、CE相交于F,AF=BC,连接DE,AE=3BE,ABC的 面积为7.则△AFC的面积等于· B 【变式3】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD,AC=AE,BC=DE,若∠1+∠2+∠3=94°， 则∠3= E 【变式4】如图，在ABC中，AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠C=60°，点E、F分别在边AC、BC上，且 AE=CF,连接AF和BE相交于点G. B (1)求证： ABE≌CAF; (2)求∠BGF的度数， 5/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型强练 1据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明.人 们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如下图所示的“风筝“图案中，AB=AD、 ∠B=∠D、BC=DE,则可以直接判定() A.△AEG≌AABC B.△AEG≌△ACF C.△ABF≌△ADG D.△ABC≌△ADE 2.如图，BE=DF,AB∥DC,要使△ABF≌△CDE,应添加的条件是（) D B A.BF=DE B.AF=CE C.AB=DC D.∠ABD=∠CDB 3.如图，已知AB=CD,如果要利用“SAS”证明△ABC≌△DCB成立，那么还需增加一个条件」 4.如图，已知AABC≌△ABC,AA'∥BC,LABC=65°，那么∠CBC'= 6/10 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.如图，在ABC中，D是边AB的中点，E是边AC上一点，过点B作BF∥AC,交ED的延长线于点 F,如果AC=12,BF=9,那么CE的长为 A D E B 6.如图，△ABC≌△ADE,D在BC边上，LE=35°，LDAC=30°，则∠BDA的度数为· 7.如图，点E、F在BC上，AB=CD,∠AFB=∠DEC,AF、DE相交于点G,要使得△ABF≌△DCE, 则还需添加的条件为】 D 8.如图，已知△ABC≌△DEF≌aGHI,并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 B 3 D 7/10 6学科网·上好课 www zxxk com 9.已知：如图，己知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE, AB=DE. 10.如图，AB=DE,BC=EF,AF=CD. B D (1)求证：△ABC≌△DEF: (2)若LA=30,∠E=75°，求∠BCF的度数. 11.如图，四边形ABCD中，AB=CD,AE=CF,BF=DE, D E B (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)求证：∠DAE=LBCF; 12.如图，己知AB=AD,AC=AE,AB⊥AD,AC⊥AE,求证： 8/10 上好每一堂课 LACE=∠DFB,BF=EC.求证： △ABC≌△ADE 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D 13.如图，△ABC≌△DEB,顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边AB上，边DE与边AC相交于点 F. D E (1)若DE=10,BC=4,求线段AE的长； (2)若∠D=20°，∠C=60°，求∠DBC的度数 14.如图，已知：AD是ABC的中线，BE和CF都垂直于直线AD,垂足分别为点E、F,求证： BE=CF 证明：：AD是ABC的中线， BE⊥AD,CF⊥AD, .∠ =90°，∠ =90°. ∠ =∠ (请完成后面的证明过程) 9/10 学科网·上好课 15.如图，己知：∠1=∠2，AB=AC, 把以下证明过程补充完整. 证明：：∠1=∠2， .∠1+∠ =∠2+∠ ∠」 =∠ 在△ABD和△ACE中， AB=AC =∠ △ABD≌△ACE LB=∠ACE A www Zxx k.com AD=AE,且B、C、D三点在同 10/10 上好每一堂课 直线上，求证：∠B=∠ACE.