专题02 全等三角形的三大经典模型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题02 全等三角形的三大经典模型 题型一：一线三等角模型 题型二：手拉手模型 题型三：倍长中线型 题型01 一线三等角 “一线三等角”是一个常见的几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的几何图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。这个模型通常可以构造全等来证明图形之间的关系。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”,“三垂直”等，以下称为“一线三等角”。 【典例1】已知：如图，在中，∠B=∠C，点D、E、F分别在边上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．进而证明，即可得证． 【详解】证明： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】图中∠B=∠C=∠FDE属于典型的一线三等角. 【变式1】公路上、两车站相距5千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米．现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 【答案】报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，再证明，得出千米，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴千米，， ∴千米， ∴千米， ∴报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 【点睛】图中∠DAH=∠DHC=∠B=90属于典型的“一线三等角”，也称之为“一线三垂直”. 【变式2】如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 【答案】3或4 【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，解得：． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为4厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为3或4． 故答案为：3或4． 【变式3】如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据三角形外角的性质得出，证明，得出，，然后证明结果即可． 【详解】证明：， 即， 又， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】图中∠1=∠2=∠3属于典型的“一线三等角”. 【变式4】如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)， (2)，；， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 题型02 手拉手图形 “手拉手”模型是指两个等腰三角形共顶点且顶角相等的，如果把等腰三角形顶角看作“头”，左底角看作“左手”，右底角看作“右手”，则可以描述成：头对头，左手拉左手，右手拉右手，这也正是手拉手模型名称的由来。手拉手模型常利用旋转全等思想进行解题。 【典例1】如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、“手拉手”旋转全等等知识点； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 【点睛】本题属于两个等腰三角形手拉手，在手拉手图形中由八字模型能得到．即得到∠CFE＝∠EAC＝60. 【变式1】如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，由三角形的外角性质可知即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 由三角形的外角性质可知， ∴∠FMC=∠FAC=90 ． 【点睛】本题属于两个等腰直角三角形手拉手，在手拉手图形中由八字模型能得到，即得到∠FMC=∠FAC=90. 【变式2】如图，在与中，，∠ABC=∠ACB，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题属于两个等腰直角三角形手拉手. 【变式3】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，， ∵，， 又∵∠DAB=∠CAE=60， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵由外角性质可知∠ACD+∠EPC=∠AEB+∠CAE ∴∠EPC=∠CAE=60 ∴． 【点睛】本题属于两个等边三角形手拉手，在手拉手图形中由八字模型能得到∠ACD+∠EPC=∠AEB+∠CAE ∴∠EPC=∠CAE=60. 【变式4】如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形且∠BAC=∠DAE=60，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE， ∵∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． 【点睛】本题属于两个等边三角形手拉手. 题型03 倍长中线 “倍长中线”模型是指加倍延长三角形的中线，或延长以中点为端点的线段。通常会出现含有被中点平分的线段及延伸得到的对顶角组成的全等三角形，实现边或角的转化，倍长中线是平面几何里一种常用的辅助线. 【典例1】如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题思路是倍长中线构造旋转型全等三角形，实现等线段的转化. 【变式1】如图，在中，是中线，是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点C作于点F，过点B作，交的延长线于点G，先证明，可得，可证明，即可求证． 【详解】证明： 如图，过点C作于点F，过点B作，交的延长线于点G， ． 是的中线， ． 又， ， ． 在和中， ∠BGE=∠CFA ∠BED=∠DAC BG=CF ， ． 【点睛】倍长中线的本质是通过旋转构造了具有中心对称性质的全等三角形. 【变式2】如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若． (1)猜想BD=________BE； (2)完成（1）的证明过程． 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，易证，则有，由题意易得，，然后可证，则，进而问题可求证． 【详解】（1）解： ； (2)延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示： ∵BE是AC的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵，且，， ∴，， ∵， ∴（AAS）， ∴． 故答案为2； 【点睛】本题思路是倍长中线构造旋转型全等三角形，实现等线段、等角的转化. 【变式3】如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可； （2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如图， 判断： 证明如下： 延长至点，使得，连接 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵AD平分∠BAC ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键． 【变式4】阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析； 【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系， 【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△    EDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠EDB， AD=ED， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=6， ， ∵， ∴， ∴， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG， 由D为BC中点，BD=CD， 在△FDC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠FDC=∠GDB， FD=GD， ∴△FCD≌△GBD（SAS）， ∴FC=GB， ∵，DF=DG，DE=DE ∴△DFE≌△DGE ∴EF=EG， 在△BEG中EG<EB+BG，即. 【点睛】本题思路是倍长以“中点为端点的线段”构造旋转型全等三角形，实现等线段的转化. 1．如图，在△ABC    中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（      ） A．3<AD<13 B．1.5<AD<6.5 C．2.5<AD<7.5 D．10<AD<16 【答案】B 【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD． 在△ADC和△EDB中， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE． ∵AB-BE＜AE＜AB+BE， ∴AB-AC＜2AD＜AB+AC． ∵AB=8，AC=5， ∴1.5＜AD＜6.5． 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，且∠BAD=∠CAE=60,连结，若，BC=4,，则_______ 【答案】4 【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可． 【详解】解 ∵和均为等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE， ∵∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD， 即：∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴DE=BC=4， 3．三角形ABC中，AB=6，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围． 【答案】1＜AD＜5． 【详解】试题分析：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可． 试题解析：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵AD=DE，∠ADC=∠EDB，DC=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为1＜AD＜5． 4．如图所示，为的角平分线，分别在上，，若． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】延长FD,过点E作EG⏊AD于G，过点C作CH⏊AD于点H，先证△EDG≌△CDH，再证△EFG≌△CAH即可. 【详解】证明：延长FD,过点E作EG⏊AD于G，过点C作CH⏊AD于点H，， ∴∠EGD=∠CHD=90 ∵DC=DE，∠EDG=∠CDH ∴△DCH≌△DEG， ∴EG=HC ， ， 又， ∴∠EFG=CAD， ∴△EFG≌△CAH . 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是先证△EDG≌△CDH，再证△EFG≌△CAH. 5．如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论． 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点， ∴DE=CE， ∵ ∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中 ∴△ADE≌△MCE ∴AD=MC，AE=ME ∵ ∴MC＋BC=AB ∴BM=AB 在△BAE和△BME中 ∴△BAE≌△BME ∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180° ∴∠BEA=∠BEM=90° ∴ 【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键． 6．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证推出，进而即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即； ∵ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 利用判定，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 8．如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，且∠ABC=∠EBD=，连接AE，CD．求证：AE＝CD． 【答案】见解析 【分析】证明△ABE≌△CBD即可解决． 【详解】∵△ABC和△EBD都是等边三角形， ∴AB＝CB，BE＝BD， ∵∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD， 即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这两部分知识是关键． 9．如图，若和都是等边三角形，且∠CAE=∠DAB=，求的度数． 【答案】120°． 【分析】利用等边三角形的性质可得AD＝AB，AC＝AE，利用SAS即可证明△DAC≌△BAE，从而得出∠ABE＝∠ADC，设AB与CD交于点F，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出∠BOF，利用平角的定义即可求出结论． 【详解】证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∵∠DAC＝∠BAC＋60°，∠BAE＝∠BAC＋60°， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADC 设AB与CD交于点F， ∵∠BFO=∠DFA ∴∠BOF=180°－∠ABE－∠BFO=180°－∠ADC－∠DFA=∠DAB=60° ∴∠BOC=180°－∠BOF=120°． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质，利用SAS证出△DAC≌△BAE是解题关键． 10．如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由题意可证≌，可得，再根据三角形内角和即可得． 【详解】证明：如图， 在和中， ， ≌， ， ，,， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 11．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）∠AEB=90°． 【答案】见解析； 【分析】（1）直接证明，即可得出结论； （2）由（1）可进一步推出为直角三角形，即可． 【详解】（1）△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°， , 在与中， ， ； （2） ∵△ACD≌△BCE ∴∠CAD=∠CBE 由三角形外角性质可知∠CAD+∠ACB=∠CBE+∠AEB ∴∠AEB=∠ACB=90. 12．如图，在中，∠B=∠C，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等．证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ， ∵， ∴， ． 13．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【答案】全等，理由见解析 【分析】首先证明，即可证明，即可解题． 【详解】全等，理由如下： ，， ∴，． ∴； 在和中， ∴． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形的三大经典模型 题型一：一线三等角模型 题型二：手拉手模型 题型三：倍长中线型 题型01 一线三等角 “一线三等角”是一个常见的几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的几何图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。这个模型通常可以构造全等来证明图形之间的关系。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”,“三垂直”等，以下称为“一线三等角”。 【典例1】已知：如图，在中，∠B=∠C，点D、E、F分别在边上，且，．求证：． 【变式1】公路上、两车站相距5千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米．现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 【变式2】如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 【变式3】如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【变式4】如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 题型02 手拉手图形 “手拉手”模型是指两个等腰三角形共顶点且顶角相等的，如果把等腰三角形顶角看作“头”，左底角看作“左手”，右底角看作“右手”，则可以描述成：头对头，左手拉左手，右手拉右手，这也正是手拉手模型名称的由来。 【典例1】如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【变式1】如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2】如图，在与中，，∠ABC=∠ACB，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【变式3】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【变式4】如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形且∠BAC=∠DAE=60，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； 题型03 倍长中线 “倍长中线”模型是指加倍延长三角形的中线，或延长以中点为端点的线段。通常会出现含有被中点平分的线段及延伸得到的对顶角组成的全等三角形，实现边或角的转化，倍长中线是平面几何里一种常用的辅助线. 【典例1】如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【变式1】如图，在中，是中线，是上一点，且．求证：． 【变式2】如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若． (1)猜想BD=________BE； (2)完成（1）的证明过程． 【变式3】如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【变式4】阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 1．如图，在△ABC    中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（      ） A．3<AD<13 B．1.5<AD<6.5 C．2.5<AD<7.5 D．10<AD<16 2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，且∠BAD=∠CAE=60,连结，若，BC=4,，则_______ 3．三角形ABC中，AB=6，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围． 4．如图所示，为的角平分线，分别在上，，若． 求证：． 5．如图，已知，点是的中点，且，求证：． 6．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 7．如图，已知，，，求证：． 8．如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，且∠ABC=∠EBD=，连接AE，CD．求证：AE＝CD． 9．如图，若和都是等边三角形，且∠CAE=∠DAB=，求的度数． 10．如图，，，．求证：． 11．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）∠AEB=90°． 12．如图，在中，∠B=∠C，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 13．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 14．如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $