专题6.9 空间距离的计算（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦空间距离计算核心知识点，系统梳理点到平面、点到直线、异面直线的距离定义及公式推导，通过向量法将几何问题转化为代数运算，构建从定义到应用的学习支架。 资料以化归思想（线面、面面距转化为点面距）和数形结合为特色，设置典例与变式训练，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养。课中助力分层教学，课后即学即练帮助学生巩固提升，查漏补缺。

专题6.9 空间距离的计算 教学目标 1.了解各种距离的定义，能用空间向量法求点到平面的距离、点到直线的距离． 2. 能将两平行平面之间的距离和直线与其平行平面之间的距离转化为点到平面的距离． 3.利用空间向量的坐标表示把向量问题转化为代数运算，沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的思想；利用化归的方法将直线与其平行平面、两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，体现了数形结合、转化与化归的方法． 4.在借助具体几何体发现空间中的各种距离的过程中，提升数学抽象素养；在利用空间向量法求距离的过程中，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 各种距离的定义，点到平面的距离以及点到直线距离公式的推导和应用． 2.难点 点到平面的距离以及点到直线距离公式的推导与应用. 知识点01 点到平面的距离 点P到平面α的距离： 设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 如图： 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【即学即练】 1．在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 知识点02 点到直线的距离： 点P到直线 l 的距离： 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 如图： 【即学即练】 1．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（  ） A． B． C． D． 知识点03 异面直线的距离 异面直线的距离（线线距）： （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 【即学即练】 1．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A． B． C． D． 2．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（  ） A． B． C． D． 题型01 点到平面距离的向量求法 【典例1】在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（  ）    A．1 B． C． D． 求点到平面的距离的向量求法步骤： (1)建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系 (2)求向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量； (4)求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案 【变式1】已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 【变式3】在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 题型02 平行平面距离的向量求法 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解： 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【变式1】两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（  ） A． B． C． D． 【变式2】正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 【变式4】已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 题型03 点到直线距离的向量求法 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 点到直线的距离的求法： (1)在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2)计算直线上点与已知点对应的向量; (3)计算在直线上上的投影向量; (4)由公式求出距离. 【变式1】在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【变式4】如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 题型04 异面直线距离的向量求法 【典例1】在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 . 【变式1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为 . 题型05 利用空间向量研究与距离有关的探索性问题 【典例1】如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【变式2】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式3】如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式4】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 1．空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C． D．2 2．已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（  ） A． B． C． D． 3．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 4．在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（  ）    A． B． C． D． 5．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（  ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离为 D．平面与平面间的距离为 8．（多选）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 9.（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（  ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 10．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 .   11．已知长方体中，，点为侧面内任一点（含边界），且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为 ． 12．已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 13．如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．    (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 14．如图，在四棱锥中，平面平面 为棱的中点. (1)证明： 平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.9 空间距离的计算 教学目标 1.了解各种距离的定义，能用空间向量法求点到平面的距离、点到直线的距离． 2. 能将两平行平面之间的距离和直线与其平行平面之间的距离转化为点到平面的距离． 3.利用空间向量的坐标表示把向量问题转化为代数运算，沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的思想；利用化归的方法将直线与其平行平面、两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，体现了数形结合、转化与化归的方法． 4.在借助具体几何体发现空间中的各种距离的过程中，提升数学抽象素养；在利用空间向量法求距离的过程中，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 各种距离的定义，点到平面的距离以及点到直线距离公式的推导和应用． 2.难点 点到平面的距离以及点到直线距离公式的推导与应用. 知识点01 点到平面的距离 点P到平面α的距离： 设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 如图： 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【即学即练】 1．在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 2．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【解析】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 知识点02 点到直线的距离： 点P到直线 l 的距离： 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 如图： 【即学即练】 1．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【解析】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 2．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【解析】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 知识点03 异面直线的距离 异面直线的距离（线线距）： （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 【即学即练】 1．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【解析】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 2．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解析】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 题型01 点到平面距离的向量求法 【典例1】在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（  ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将则点到平面的距离表示出来即可求得最值. 【解析】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点到平面的距离为， 又，所以当时， 点到平面的距离取得最小值为． 故选：D． 求点到平面的距离的向量求法步骤： (1)建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系 (2)求向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量； (4)求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案 【变式1】已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图建系，写出相关点的坐标，求出相关向量，平面的法向量坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【解析】 如图，分别取圆柱上下底面的圆心为 因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 故点到平面的距离为. 故选：B. 【变式2】已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解. 【解析】由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，即， 点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 【变式3】在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【解析】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以，       设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 【变式4】如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【解析】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，.     设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以.     因为，     所以，又因为平面， 所以平面. （2）因为，，     设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以.     所以点到平面的距离. 题型02 平行平面距离的向量求法 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【解析】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解： 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【变式1】两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【解析】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 【变式2】正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 【变式3】若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【解析】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 【变式4】已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【解析】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 题型03 点到直线距离的向量求法 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可. 【解析】以题意，以点为原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，， 所以,, 设, 则, 而, 所以点到直线的投影数量的绝对值为 , 所以点到直线的距离为 ， 当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为， 故选：C. 点到直线的距离的求法： (1)在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2)计算直线上点与已知点对应的向量; (3)计算在直线上上的投影向量; (4)由公式求出距离. 【变式1】在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【解析】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 【变式2】已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案. 【解析】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 【变式3】如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【解析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 【变式4】如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【解析】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 题型04 异面直线距离的向量求法 【典例1】在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 . 【答案】 【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线与间的距离. 【解析】设，在菱形中，， 折起后，，， 由于二面角为直二面角，即平面平面， 平面平面，，平面，平面， 以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 在原菱形中，，，，， ，，，， 则，， 设，令，则. 令，则，，. 又，因此，与间的距离. 【变式1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最小值. 【解析】由正方形，得，而平面平面，平面， 得平面，又四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设与都垂直的向量，则，令，得， 所以的最小值为. 故选：B 【变式2】如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【解析】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 【变式3】如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，进而求出直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，进而通过空间向量求出在方向上的投影，进而得到答案. 【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，. 设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，， 得，令x=2，则z=6，y=-7，∴， 设直线BM与B1N之间的距离为d，则d===. 故答案为：. 题型05 利用空间向量研究与距离有关的探索性问题 【典例1】如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点 【分析】（1）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论； （2）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为，求出的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论. 【解析】（1）（1）过点作，交于点，连接， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 所以四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； （2）由异面直线与成角，即， ∵，，∴平面， ∵，过点作交于点， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 可得平面的一个法向量为， 由于二面角的余弦值为， 则，解得， 则， 假设线段上存在点，使得点到直线的距离为， 设， ∴， 则， ∴，， ∴点到直线的距离为， 解得或， 所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为. 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解 （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【解析】（1）如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面.    （2）因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得 【变式2】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在满足题意的点，此时 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （2）假设存在满足题意的点，，利用空间向量法求解点面距，建立关于a的方程，解之即可求解. 【解析】（1）由平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，有，故， 建立如图空间直角坐标系，   ，得， 易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， ，令，得，， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知，则，假设存在满足题意的点. 设，则， 得，即，所以， 故点到平面的距离为， 即，解得或（舍去）， 所以存在满足题意的点. 此时，所以 【变式3】如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)相交但不垂直，证明见解析；(2)；(3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可. 【解析】（1） 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则， 连接与交于N点，即直线与平面相交于N点， 则直线与平面的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值； （2）由上知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）设存在满足题意，不妨设， 则， 易知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 而， 所以点到平面的距离是，所以不存在. 【变式4】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【解析】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 1．空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【解析】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 2．已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点B到直线AC的距离为：即可求解. 【解析】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 3．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 4．在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【解析】由题意，构建如图示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，则点到平面的距离， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离，即直线到平面的距离，为.    故选：D 5．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【解析】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：C. 6．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 7．（多选）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离为 D．平面与平面间的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论. 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，所以． 对于A，设，则． 故到直线的距离，故A正确； 对于B，，因为平面，平面，所以， 又，,平面, 所以平面，平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，所以点到的距离， 故C错误； 对于D，． 设平面的法向量为，所以 令，得，所以， 所以点到平面的距离， 因为平面，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故D正确．    故选： ABD 8．（多选）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析. 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系： 则： ， ， 设 ， 则有： ， 又 ， 解得 ， ， ， ， 同理可得 ； 对于A， ， ， ，故A正确； 对于B， ， ， 即，又， 故是异面直线与的公垂线段，故B正确； 对于C，设 与 所成的角为 ，则 ， ，，故C错误； 对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，故D正确； 故选：ABD 9.（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（  ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断. 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 10．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    11．已知长方体中，，点为侧面内任一点（含边界），且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，若且，可得，再应用向量法求到面的距离的最大值，最后应用三棱锥的体积公式求最大体积. 【解析】由题意，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，， 若且，则，整理得， 由，，是面的一个法向量， 则，取，则， 又，则到面的距离， 综上，，故时， 显然是边长为的等边三角形，故， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 12．已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】建立空间直角坐标系，然后运用点到线，点到面，线线之间的距离公式求解即可. 【解析】（1）    如图根据正方体性质，可以如图建立空间直角坐标系，， 可以得到各点坐标．，，，，． ，，， 则点到直线的距离. （2），，， 设平面法向量为，则， 令，则，则. 则到平面的距离. （3），，， 设与的公垂线方向向量为.则， 解得，则. 则异面直线与的距离 13．如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．    (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【解析】（1）   因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为 14．如图，在四棱锥中，平面平面 为棱的中点. (1)证明： 平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）,（ii）存在， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【解析】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2） ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $