1.3.1 等比数列的概念及其通项公式（第2课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第3节 等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、会根据等比数列的通项判断单调性. 2、理解等比中项的概念． 3、掌握等比数列性质． 1、掌握等比数列的性质 . 2、理解等比中项的概念． 1、掌握等比数列的性质. 2、理解等比中项的概念． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、什么叫作等比数列？ 2、等比数列的通项公式是什么？ 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值 都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列. 称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1·qn-1 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 等比数列扩展的通项公式 an=amqn-m 证明： ∵ an=a1qn-1 am=a1qm-1 ∴ = = qn-m ∴ an=amqn-m 变形得： = qn-m 4 典 例 引 路 柯 西 例1、（1）在等比数列{an}中，a1=3,a7=81,，则a11=_____ 解:设等比数列{an}的公比为q． ∴ q6 = =27 ∴ q2 = 3 ∴a11 = a7q4 = 81×9 = 729 （2）在等比数列{an}中，a2=2,a6=8，则a8=________. 解:设等比数列{an}的公比为q． ∴ q4 = =4 ∴ q2 = 2 ∴a8 = a6q2 = 8×2 = 16 5 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、（1）在等比数列{an}中，a4=2,a8=8，则a10=____． 解:设等比数列{an}的公比为q． ∴ q4 = = 4 ∴ q2 = 2 ∴a10 = a8q2 = 8×2 = 16 （2）已知数列{an}是等比数列，若a1= ,a4=6，则a10=____. 解:设等比数列{an}的公比为q． ∴ q3 = = 4 ∴ q6 = 16 ∴a10 = a4q6 = 6×16 = 96 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 类比指数函数的性质，可得等比数列的单调性： 等比数列的通项公式an=a1qn-1=__________ ·qn 0＜q＜1 q＞1 q=1 a1＞0 a1＜0 an=·qn 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 常数列 常数列 7 典 例 引 路 皮 亚 诺 例2、若正项数列{an}是等比数列，则“a9＞a7”是“数列{an}为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：因为正项数列{an}是等比数列，所以an＞0,q＞0， 当a9＞a7时，a7q2＞a7，解得q＞1， 所以数列{an}为递增数列，满足充分性； 当数列{an}为递增数列时，a9＞a7，满足必要性， 所以“a9＞a7”是“数列{an}为递增数列”的充要条件. C 8 同 步 练 习 庞加莱 练2、若等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜”是“{an}是递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当 a1 = - ,q = 时，an=-()n， {an}是递增数列，充分性不成立 当 an = ()n时， {an}是递减数列，而 q = ＞ ,必要性不成立。 D 9 典 例 引 路 傅里叶 例3、在递增等比数列{an}中，a3a6=4a4，a4+a6=10，则公比q为(      ) A. B．2 C．3 D. 解：∵a3a6=4a4 ∴a1q2a1q5=4a1q3, ∴a1q4=4 ① ∴a1＞0 ∵a4+a6=10 ∴a1q3(1+q2)=10 ② ∴得 = ,解得q=2或q= 又∵{an}单调递增且a1＞0 ∴q=2 B 10 同 步 练 习 莱布尼兹 练3、等比数列{an}为递减数列，若a2a6=6，a3+a5=5，则 = ( ) A. B. C. D. 6 解：由{an}为等比数列，得a2a6=a3a5=6，又a3+a5=5， ∴ a3,a5为方程x2-5x+6=0的两个根， 解得a3=2,a5=3或a3=3,a5=2， 由{an}为递减数列得an＞an+1，∴a3=3,a5=2， ∴ = =q2 ∴ = = A 11 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a,G,b成等比数列，那么根据等比数列的定义，.我们称G为a,b的等比中项. 注意：1、 2、 在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项. 等比中项有两个. 12 典 例 引 路 牛 顿 例4、（1）2和4的等差中项为______，等比中项为_______． （2）2与8 的等差中项是_______，等比中项是_______ ; （3）647和895的等差中项是___；4和16的等比中项是____ . 解：2和4的等差中项为 = 3； 2和4的等比中项为 ± = ±2 解：设x是2与8的等差中项，则2x=2+8=10,x=5. 设y是2与8的等比中项，则y2=2×8=16,y=±4. 解：设x是647与895的等差中项，则2x=647+895,x=771. 设y是4与16的等比中项，则y2=4×16=64,y=±8. 13 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练4、（1）+2 与 -2 的等比中项为______． 解：设等比中项为G，则G2=(+2)(-2)=2 ∴ G = ± （2）实数 + 与 -的等比中项为______． 解：设等比中项为G，则G2=(+)(-)=11 ∴ G = ± （3）已知sin15º和cos15º的等比中项为B，则B = ______ 解：B2 = sin15ºcos15º = sin30º = ∴ B = ± 14 典 例 引 路 狄利克雷 例5、若log3x,log9(3x),log27(9x)成等比数列，则正数x的值为_____． 解：∵log3x,log9(3x),log27(9x)成等比数列 ∴log9(3x)是log3x与log27(9x)的等比中项 ∴[log9(3x)]2=log3x·log27(9x) ∴[(1+log3x)]2=log3x·(2+log3x) ∴log32x+2log3x-3=0 ∴log3x = -3 或 log3x = 1 ∴x = 或 x = 3 15 同 步 练 习 黎 曼 练5、若a,a+log23,a+log227成等比数列，则实数a=_________ 解：依题意得 （a+log23)2=a(a+log227) ∴ a2+2(log23)a+(log23)2=a2+3(log23)a ∴(log23)2=(log23)a ∴a=log23 16 学 习 新 知 拉格朗日 已知数列 是等比数列， 若m+n=s+t，其中m,n,s,t∈N+，则一定有am·an=as·at 注意：1、 2、 3、 等号两边都是两项。 特别的：当m+n=2t时，am·an=at2 设数列 的公比为q,则 qm-1 所以am·an= a1qm-1·a1qn-1=a12qm+n-2 as·at= a1qs-1·a1qt-1=a12qs+t-2 因为所以am·an=as·at 证明： 文字表述：下标之和相等，则项的乘积相等。 17 典 例 引 路 华罗庚 例6、（1）在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92=100，则a5+a9=__________. 解：∵100 = a52+2a6a8+a92 =（a5+a9)2 ∴a5+a9=±10 ∵an＞0 ∴a5+a9=10 （2）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=_____. 解：∵18 = a5a6+a4a7 = 2a5a6 ∴ a5a6=9 ∴log3a1+log3a2+…+log3a10 = log3(a1a2…a10) =log3[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)(a5a6)] =log3(a5a6)5 = log395 = log3310 =10 18 同 步 练 习 陈景润 练6、（1）在等比数列{an}中，a1a3+2a2a6+a5a7=16，则a2+a6=________． 解：∵ 16 = a1a3+2a2a6+a5a7 = a22+2a2a6+a62 = (a2+a6)2 ∴ a2+a6 = ±4 （2）等比数列{an}的各项为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7=__________. 解：12 = log3a1+log3a2+…+log3a12 = log3(a1a2·…·loga12) = log3[(a1a12)(a2a11)…(a6a7)] = log3[(a6a7)6] = 6log3(a6a7) ∴log3(a6a7)=2 ∴a6a7=9 19 学 习 新 知 集合论之父——康托 若q等比数列{an}的公比，则其子数列 ak,ak+m,ak+2m，…(k,m∈N+)也成等比数列. 即下标成等差数列的项构成等比数列 20 典 例 引 路 贝叶斯 例7、在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于（     ） A．4 B． C． D．2 解：∵ a3,a6,a9的下标成等差数列 ∴ a3,a6,a9是等比数列 ∴ a62=a3a9 即36=a3×9 ∴ a3=4 A 21 同 步 练 习 洛必达 练7、已知数列{an}是等比数列，且a5=12,a17=3，则a11=（    ） A．3 B．6 C．3或-3 D．6或-6 解：∵ a5,a11,a17的下标成等差数列 ∴ a5,a11,a17是等比数列 ∴ a112 = a5a17 = 36 ∴ a11=±6 又a11=a5·q6=12q6＞0 ∴a11=6 B 22 学 习 新 知 三数成等比数列，通常设为：,a,aq；(公差为q) 四数成等比数列，通常设为,,aq,aq3.(公差为q2) 布 丰 23 典 例 引 路 丘成桐 例8、三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和等于－3，求这三个数． 解：设这三个数为 , a ,aq ,则 解得：a=2,q = -2 或 a=2,q = - ∴这三个数分别为-1,2,-4或-4,2,-1 24 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（     ） A.±3或± B. 3或 C. 3 D.9或 解：设这三个数为 , a ,aq ,且q＞0则 解得：a=3,q = ±3 或 q = ± ∵ q＞0 ∴ q= 3 或 q = B 25 全 课 总 结 一、等比数列扩展的通项公式：an=amqn-m 二、等比数列的单调性 三、等比中项 四、若m+n=s+t，则am·an=as·at 五、等比数列中，下标成等差数列的项构成等比数列 六、三项、四项等比数列的常用设法 26 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 27 $