1.3.1 第2课时 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

第2课时　等比数列的性质及实际应用 　 第一章　§3　3.1　等比数列的概念及其通项公式 学习目标 1.掌握等比中项的概念并会应用，培养数学抽象的核心素养.　 2.熟悉等比数列的有关性质，并能利用性质简化运算，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　 3.理解等比数列的单调性与a1，q的关系.　 4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的实际应用问题，提升数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　等比中项 1 任务二　等比数列的性质 2 任务三　等比数列的实际应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　等比中项 返回 问题1.我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝.如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ 提示：因为a，G，b成等比数列，所以＝＝q，即G＝±. 问题导思 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝______.我们称G为a，b的等比中项. 新知构建 ± (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.(2)只有同号的两个实数才有等比中项.(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 微提醒 (1)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为 A. B.4 C.2 D. √ 典例 1 因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，所以＝a1a7.设数列{an}的公差为d，d≠0，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，所以a3＝a1＋2d＝4d，所以数列{bn}的公比为＝＝2.故选C. (2)在和之间添加三个实数，使这五个数成等比数列，则添加的三个数的乘积等于 A.36 B.216 C.－216 D.216或－216 √ 设这三个数为a1，a2，a3，根据等比中项的性质得＝×＝36，所以a2＝6或a2＝－6，当a2＝6时，a1，a2，a3的乘积等于＝216；当a2＝ －6时，不存在实数a1，使，a1，－6成等比数列.故选B. 等比中项应用的关注点 1.只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个. 2.已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算量. 3.要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零. 规律方法 对点练1.(1)若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m＝ A.12 B.16 C.8 D.20 √ 3与13的等差中项为8，所以8是4与m的等比中项，所以82＝4m，解得m＝16.故选B. (2)若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为 A.5 B.－5 C.±5 D.－13 √ 设等比数列的公比为q，所以b＝(－1)·q2＜0，根据等比中项可知b2＝×＝25，解得b＝－5.故选B. 返回 任务二　等比数列的性质 返回 问题2.类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式与我们熟悉的哪一类函数有关. 提示：由an＝a1＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 问题3.在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示：在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq. 问题导思 1.等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q＜0时，数列{an}是摆动数列，当q＞0时，情况如下： 新知构建 a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1 {an}的单调性 ______ 常数列 ______ ______ 常数列 ______ 递减 递增 递增 递减 2.等比数列的常用性质 性质1：通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N＋). 性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝________. 性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{}，{an·bn}，仍是______数列. am·an 等比 已知数列{an}为等比数列. (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 解：根据等比数列的性质及已知，得 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝(a3＋a5)2＝25. 因为an＞0，所以a3＋a5＞0， 所以a3＋a5＝5. 典例 2 (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 变式探究 1.(变条件，变设问)在本例(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4， 又由典例2(1)知a3＋a5＝5， 解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1. 若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 2.(变条件)把本例(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)· q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10) ＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300(a1a2a3…a10)3＝3300， 所以a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 利用等比数列的性质解题的关注点 1.判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质. 2.充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a8＋a9＞a8a9＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列选项中正确的是 A.q＞1 B.a8＞1 C.T16＞1 D.T17＞1 √ √ 由a8＋a9＞a8a9＋1，得(a8－1)(1－a9)＞0，即a8，a9中一个大于1，另一个小于1.因为等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，即q＞0，所以数列{an}要么递增，要么递减，而a1＞1，所以综上可知，a8＞1＞a9，即数列{an}为递减数列且1＞q＞0.因为T16＝a1·a2·…·a16＝(a8a9)8，又a8a9＞1，所以T16＞1，而T17＝a1·a2·…·a17＝(a9)17＜1，故选BC. (2)在等比数列{an}中，a1a2a3＝2，an－1an＝4，且a1a2a3·…·an＝64，则数列{an}有_______项. 12 由题意及等比数列的性质得a1a2a3an－1an＝(a1an)3＝8，即a1an＝2，则a1a2a3·…·an＝64，即(a1an＝＝26，解得n＝12，故数列{an}有 12项. 返回 任务三　等比数列的实际应用 返回 (链教材P26例4)某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； 解：从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10％)，a3＝13.5(1－10％)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10％＝0.9， 所以an＝a1·＝13.5×0.9n－1，n∈N＋， 所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元. 典例 3 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(保留一位小数) 解：由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 等比数列应用题的关注点 1.常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等. 2.解题关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的 问题. 3.解题步骤： 构造数列→判断数列→寻找条件→建立方程→求解方程→正确解答 规律方法 对点练3.从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的体积分数是多少？ 解：由题意知开始时溶液的体积分数为1， 设第n次操作后溶液的体积分数为an，则第1次操作后溶液的体积分数为a1＝1－，第n＋1次操作后溶液的体积分数为an＋1＝an， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列， 所以an＝a1＝， 即第n次操作后溶液的体积分数是. (2)当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的体积分数低于10％？ 解：当a＝2时，由an＝＜，解得n≥4. 故至少操作4次后才能使溶液的体积分数低于10％. 返回 课堂小结 任务 再现 1.等比中项.2.等比数列的性质.3.等比数列的实际应用 方法 提炼 函数与方程思想、转化与化归思想、整体思想 易错 警示 不注重运用性质，使解题过程繁琐或者性质运用不正确而出错 随堂评价 返回 1.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 由于公比q＝－＜0，所以数列{an}是摆动数列.故选D. 2.－1与＋1的等差中项和等比中项分别是 A.，± B.， C.，－ D.，±2 √ －1与＋1的等差中项是＝，－1与＋1的等比中项是± ＝±.故选A. 3.在等比数列{an}中，a3a9＝4a4，则a8＝ A.16 B.8 C.4 D.2 √ 由题意可知，a3a9＝a8a4＝4a4，因为a4≠0，所以a8＝4.故选C. 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于_______平方厘米. 2 048 依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝＝[2×()9]2＝4×29＝2 048(平方厘米). 返回 课时分层评价 返回 1.已知a＝5＋2，c＝5－2，则使得a，b，c成等比数列的充要条件的b值为 A.1 B.±1 C.5 D.±2 √ 若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，即b＝±＝± ＝±1，当b＝±1时，满足b2＝ac，a，b，c成等比数列，故使得a，b，c成等比数列的充要条件的b值为±1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于 A.2 B.1 C. D. √ 由题意可得a3a5＝＝4(a4－1)，解得a4＝2，所以q3＝＝8，解得q＝2，故a2＝a1q＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝ A.9 B.3 C. D. √ 设等比数列{an}的公比为q，则由a3＝1，a2＋a4＝，得q＋＝，解得q＝或q＝3，且an＞0，又{an}单调递减，故q＝，a1＝＝9.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26 ℃时，该元件的电子数目接近 A.860个 B.1 730个 C.3 072个 D.3 900个 √ 由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且a1＝3，公比q＝2.由26－＝60，＝10，得a11＝3×210＝3 072.故 选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)已知数列{an}为等比数列，则 A.数列a2，a4，a8成等比数列 B.数列a1·a2，a3·a4，a5·a6成等比数列 C.数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列 D.数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 设等比数列{an}的公比为q，对于A，由等比数列的性质知＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；对于B，可知数列a1·a2，a3·a4，a5·a6每项都不为0，且＝＝q4，故B正确；对于C，当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；对于D，易知数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的每一项都不为0，且＝＝q3，故D正确.故选BD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A.f B.f C.f D.f √ 因为每一个单音与前一个单音的频率比为，所以第n个单音的频率an＝ an－1(n≥2，n∈N＋)，又a1＝f，则a8＝a1q7＝f()7＝f.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝_____. 1 法一：a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，所以a1＝，a5＝a1·24＝1. 法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4，a5＝＝＝1. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是______. 45 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝_______. 或 由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2.若a4＝2，a14＝3，则q10＝，故＝(q10)2＝；若a4＝3，a14＝2，则q10＝，故＝(q10)2＝.综上，＝. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6 000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20％，并从中拿出1 000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an元. (1)求证：数列{an－5 000}为等比数列； 解：证明：依题意，第1个月底的投资市值为 a1＝6 000(1＋20％)－1 000＝6 200， an＋1＝an(1＋20％)－1 000＝1.2an－1 000， 则＝＝1.2， 又a1－5 000＝1 200， 所以数列{an－5 000}是首项为1 200，公比为1.2的等比数列. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12 899元)，将一年后投资市值全部取出来是否足够？(1.211≈7.43，1.212≈8.92) 解：由(1)知an－5 000＝1 200×1.2n－1， 所以a12－5 000＝1 200×1.211≈8 916， 即a12≈8 916＋5 000＝13 916. 因为a12≈13 916＞12 899， 所以王同学将一年后投资市值全部取出来是足够的. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新定义)记等比数列{an}的前n项积为 n，若a4·a5＝2，则 8＝ A.256 B.81 C.16 D.1 √ 因为数列{an}为等比数列，且前n项积为 n，所以a4·a5＝a3·a6＝a2·a7＝a1·a8＝2，所以 8＝a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8＝···＝24＝16.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，则 A.S11＝11π B.sin ＝ C.a3＋a7＋a8＝3π D.b3＋b7≥4 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，所以a1＋a6＋a11＝3a6＝3π，即a6＝π，b1b5b9＝＝8，即b5＝2.对于A，S11＝＝11a6＝11π，故A正确；对于B，a2＋a10＝2a6＝2π，b4b6＝＝4，所以sin ＝sin ＝1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a7＋a8＝a6－3d＋a6＋d＋a6＋2d＝3a6＝3π，故C正确；对于D，由b5＝2，得b3，b7＞0，故b3＋b7≥2＝2＝4，当且仅当b3＝b7＝2时等号成立，故D正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为__________. a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 275或8 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8. a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)数列{an}中，a1＝1，an＋1(an－4)＝an－6. (1)设bn＝1－，求证：数列{bn}是等比数列； 解：证明：由an＋1(an－4)＝an－6， 得an＋1＝， 故an＋1－2＝－2＝－， 整理得＝－＝－1＋. 又＝1－bn，所以1－bn＋1＝－1＋2(1－bn)， 即bn＋1＝2bn. 又b1＝1－＝2， 故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)设数列的前n项积为Tn，求Tn取得最大值时n的取值. 解：由(1)得bn＝2n，设cn＝＝， 则cn＋1－cn＝－＝＝， 当n＝1，2时，cn＋1－cn＞0； 当n≥3时，cn＋1－cn＜0， 即c1＜c2＜c3＞c4＞c5＞…. 又c1＝，c2＝1，c3＝，c4＝1，c5＝， 故T1＝T2＝，T3＝T4＝. 当n≥5时，cn＜1，Tn＋1＜Tn. 综上，当n＝3或n＝4时，Tn取得最大值. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)在等比数列中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，则以下结论正确的是 A.0＜q＜1 B.a99·a101－1＜0 C.T100的值是Tn中最大的 D.使Tn＞1成立的最大自然数n等于197 √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为等比数列中，a99·a100＞1，所以a99与a100同号，所以q＞0；又＜0 ⇒ a99与a100一个大于1，一个小于1，再有a1＞1，所以a99＞1，a100＜1.所以数列是各项均为正数的递减的等比数列，所以0＜q＜1，故A正确；因为0＜a100＜1，所以a99·a101－1＝－1＜0，故B正确；因为T100＝T99·a100＜T99，故C错误；因为T198＝· ＝(a99·a100)99 ＞1，T199＝··a100 ＝＜1，所以使Tn＞1成立的最大自然数n等于198.故D错误.故选AB. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和. (1)求{an}的通项公式； 解：当n≥2时，an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，所以an＋1＝3an. 又a2＝2S1＋1＝3＝3a1， 所以对n∈N＋，有an＋1＝3an， 故数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为an＝3n－1. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)在an，an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由. 解：在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列. 理由如下： 由已知得dn＝＝＝， 假设在数列{dn}中存在dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则＝dmdp， 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 即＝×，化简得＝， 又因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k， 故上式可以化简为(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 则k＝m＝p，与已知矛盾. 故在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比 数列. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第2课时　等比数列的性质及实际应用 返回 $