专题03 函数与导数（8大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题03 函数与导数 8大考点概览 考点01指对幂函数 考点02抽象函数问题 考点03比较大小问题 考点04导数切线问题 考点05利用导数研究单调性、极值、最值问题 考点06导数证明问题 考点07导数与三角函数交汇问题 考点08导数与数列交汇问题 指对幂函数 考点1 1．（2026·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林白山·一模）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=_______. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 抽象函数问题 考点2 1．（2026·黑龙江哈九中·一模）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁大连·一模）已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·三省三校·一模）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026·吉林长春·一模）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）定义在上的函数满足下列条件： （1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（    ） A． B．的一个周期为8 C． D．的图象关于对称 比较大小问题 考点3 1．（2026·吉林白山·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁辽阳·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁大连·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 导数切线问题 考点4 1．（2026·辽宁辽阳·一模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________． 3．（2026黑龙江哈九中·一模）若直线是曲线的一条切线，则________． 4．（2026·辽宁大连·一模）已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为__________. 5．（2026·黑龙江研远联合·一模）若直线与函数的图象相切，则______． 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 利用导数研究单调性、极值、最值问题 考点5 1．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）（多选）已知函数，则（      ） A．为奇函数 B．的单调递增区间为 C．的极小值为3 D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 2．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数是上的增函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林长春·一模）若函数，且恒成立，则实数____________. 5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. 8．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知函数（a为常数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 9．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线斜率为1，求的值； (2)讨论的零点个数； (3)若时，不等式恒成立，求的最小值． 导数证明问题 考点6 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 2．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 3．（2026·三省三校·一模）已知函数． (1)若函数过原点的切线为，求实数的值； (2)若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为． （i）当时，求实数取值范围； （ii）当时，证明：． 4．（2026·吉林白山·一模）已知函数，为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围. 导数与三角函数交汇问题 考点7 1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)设，函数有四个零点，且. （i）当时，证明：； （ii）证明：. 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； (3)在（2）的条件下，证明：． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)，成立，求实数a的取值范围； (3)若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. 导数数列交汇问题 考点8 1．（2026·吉林长春·一模）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明：. 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数与导数 8大考点概览 考点01指对幂函数 考点02抽象函数问题 考点03比较大小问题 考点04导数切线问题 考点05利用导数研究单调性、极值、最值问题 考点06导数证明问题 考点07导数与三角函数交汇问题 考点08导数与数列交汇问题 指对幂函数 考点1 1．（2026·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质由外到内计算可得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 3．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 4．（2026·吉林白山·一模）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=_______. 【答案】； 【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式，分别代入不同的时间或质量比值来求解相应的结果. 【详解】已知公式，当时，将其代入公式可得： ，所以. 已知，即，两边同时除以可得. 因为，所以. 根据指数的性质，可得，解得. 故答案为：；. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果. 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 抽象函数问题 考点2 1．（2026·黑龙江哈九中·一模）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 2．（2026·辽宁大连·一模）已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用函数的周期性，奇函数性质赋值计算即可. 【详解】由可知， 是一个周期为4的周期函数， 所以， 将代入，得， 又因为是定义在上的奇函数，故 所以， 所以， 所以. 故选：B. 3．（2026·三省三校·一模）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解. 【详解】由是奇函数，则，故关于中心对称， 由，令，则，即， 由，令，则， 故，则， 故，即有，故以为周期， 由，则， ，， ，， 则 . 4．（2026·吉林长春·一模）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 用替换，则， 即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 故选：D 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数的周期，结合函数的性质逐一分析选项求解. 【详解】选项A，的图像向左平移个单位得到， 又关于中心对称， 关于中心对称，， 将式子中的用代替，得到， 是定义在上的偶函数，， ，将此式子中的用代替，得到， 则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误； 选项B，关于中心对称，的定义域为，， 是定义在上的偶函数，，故选项B正确； 选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误； 选项D，是一个以为周期的周期函数， ，， ，，， ， ，， ， 仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误. 6． （2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）定义在上的函数满足下列条件： （1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 【答案】AD 【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、累乘法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A，由， 取，得，故A项正确； 对于选项B，任取，则，依题意，， 而， 则，即， 即在上是增函数， 因为，所以， 得当时，， 而，得当时，，故B项错误； 对于选项C，由，取，因为， 故，即，故C项错误； 对于选项D，由， 取，可得， 整理得，， 因为，所以且， 故，即， ， 故D项正确. 故选：AD. 7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（    ） A． B．的一个周期为8 C． D．的图象关于对称 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 令，可得，解得，A错误； 因为是偶函数，则，且， 用代替可得，即. 又，则，所以，从而有， 所以的一个周期为8，B正确； 因为是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，所以，C正确； 由，两边同时对求导得， 即，所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：BCD 比较大小问题 考点3 1．（2026·吉林白山·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定的取值范围，再将转化为同指数的幂函数形式，结合幂函数与指数函数的单调性，比较、的大小，进而确定三者的大小关系. 【详解】由，得，即. 由，因幂函数在时单调递增，故，即. 又单调递增，，故，结合，得. 故选：A. 2．（2026·辽宁辽阳·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 又由对数函数的性质，可得，，所以， 所以. 故选：A. 3．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，， ，所以. 故选：A. 4．（2026·辽宁大连·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对勾函数性质可得，令，求导，根据导数可得在区间上恒成立，进而可判断的大小关系. 【详解】由题意得， 令，由对勾函数可知， 函数在上单调递增， 则， 而，， 令， 因为，所以， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 因为，所以，所以， 令， 可得 所以函数在上单调递增， 故，即，所以， 所以存在实数，使得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，，，， 所以在区间上恒成立，故， 综上，故A正确. 故选：A 导数切线问题 考点4 1．（2026·辽宁辽阳·一模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求导得到切线的斜率，根据点斜式可得切线的方程. 【详解】由得， 所以，即所求切线的斜率为4， 由点斜式可得所求切线方程为，即. 故选：B. 2．（2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 3．（2026黑龙江哈九中·一模）若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】e 【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论. 【详解】设直线与曲线相切于点． 因为，所以且， 解得，． 故答案为. 4．（2026·辽宁大连·一模）已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为__________. 【答案】 【分析】设，利用导数的几何意义建立方程计算即可. 【详解】易知，设， 所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意可知，解之得或， 当时，，此时切点在x轴上，不合题意；当时，； 所以. 故答案为： 5．（2026·黑龙江研远联合·一模）若直线与函数的图象相切，则______． 【答案】 【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线与曲线相切，从而可得切点坐标，代入，可求得的值． 【详解】设直线与函数图象的切点为， ， ， ，， ， ，又在直线上， ，． 故答案为：． 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可. 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 利用导数研究单调性、极值、最值问题 考点5 1．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）（多选）已知函数，则（      ） A．为奇函数 B．的单调递增区间为 C．的极小值为3 D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D. 【详解】对于A，，故，又其定义域为R， 故为奇函数，故A正确； 对于B，，所以在上，，单调递减； 在和上，，单调递增，故B错误； 对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误； 对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解， 且在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以，即，故D正确. 故选：AD 2．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求导，利用基本不等式求出，从而得到单调递增，得到，根据函数单调性得到ABD选项，C选项可以举出反例. 【详解】定义域为， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以恒成立，所以单调递增， 因为，所以， A选项，因为单调递增，所以，A正确； B选项，因为单调递增，所以，B正确； C选项，，但与大小不确定，例如，， 此时满足，但，此时，C错误； D选项，因为，画出函数图象，如下图：    可知单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数是上的增函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得恒成立，进而分两种情况讨论求解即可. 【详解】由，得， 所以， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则，即，则， 设，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值是. 故选：B. 4．（2026·吉林长春·一模）若函数，且恒成立，则实数____________. 【答案】 【分析】求出代入，分与分别求出参数的取值范围，则可写出答案. 【详解】因为，所以， 所以恒成立等价于恒成立， 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 综上所述：. 故答案为：. 5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， ，的对称轴为，，， 所以函数的值域为， 又，且，在上单调递减， 要使方程有唯一解，则的取值集合为， 所以，记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. 7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据确定的值，此时不等式可化为，设，分析函数的单调性，求函数的极小值，即可得不等式的解集. （2）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性确定函数的极值情况，可得参数的取值范围. 【详解】（1）由. 所以. 由. 设，. 则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立. 即不等式的解集为. （2）因为，. 所以. 当即时，在上恒成立， 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在上只有极小值，无极大值； 当即时， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 当即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，无极值； 当即时， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当时，函数在上存在极大值. 8．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知函数（a为常数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义求解， （2）根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域，得到答案. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为． （2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根， 从而得到，即， 又，故，且 令，则， ， 所以在上单调递减， 所以，即的值域为， 所以的范围是. 9．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线斜率为1，求的值； (2)讨论的零点个数； (3)若时，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可； （2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数； （3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值. 【详解】（1）， 依题意，，解得． （2）的零点的根． 设， ①当时，没有零点； ②当时，，所以在内是增函数． 取，取， 所以在上有且仅有一个零点； ③当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而． 当时，没有零点； 当时，在上有且仅有一个零点； 当时，， 取，取， 所以在上有两个零点． 综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点． （3） ， 构造函数，则． 而， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时． 因为当时，单调递减，故， 两边取对数得，，所以， 令，则， 令得，，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故a的最小值是． 导数证明问题 考点6 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数分和两类讨论函数的单调性； （2）（i）构造，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明； （ⅱ）法一：利用函数的单调性，先证得，结合（2）的不等式放缩得到，结合推出，得得证； 法二：构造，根据单调性得到，进而得到的单调性，后同法一； 法三：构造，根据单调性得，根据基本不等式得，进而证明结论； 【详解】（1）， ①当时，，在单调递增， ②当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）设， 则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当且仅当时取等， 所以，即，当且仅当，时取等； （ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以， 由（2）可知，，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以 法二： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，，易知在上单调递增， 所以当时，，即， 上式整理得，即 设，，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以 所以（同法一） 法三： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，， 所以，所以在上单调递增， 显然，所以，即， 因为，所以，所以，即， 根据基本不等式，，所以， 所以， 所以 2．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 3．（2026·三省三校·一模）已知函数． (1)若函数过原点的切线为，求实数的值； (2)若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为． （i）当时，求实数取值范围； （ii）当时，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析； 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）法一：设，分析的单调性，求出的范围； 法二：，通过分析的单调性与零点，结合的取值范围，求出的范围； （ⅱ）将参数化为圆上的点，代入得，利用三角恒等式得，构造分析单调性，证得，从而推出的取值范围. 【详解】（1）设切点为，，所以，所以， 所以函数在处的切线为， 将代入得，解得， （2）（ⅰ）当时，原问题有两个不等实根． 法一：设， 则 ∴当时，，当时， 在递减，递增， ，，， 法二： ，令， 则，在上递增， ，使得，当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增， ， 又， 设，则 当时，，当时，， ，． （ⅱ）设，，不妨设 则，即， 令， 则，是方程两个根． 又 欲证，只需证 设 则 ∴当时，；当时，； 在递减，递增， 设 下面证明 ， 设，，则 故． 在递增，， ，， 又在递减，，故． 4．（2026·吉林白山·一模）已知函数，为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导函数符号判断单调性； （2）构造函数，证明，再证明； （3）令，结合（1）中结论，讨论满足不等式的的取值范围. 【详解】（1）由题，， 令， 则对，， 所以在单调递减，即在单调递减. （2）令， 则对，， 所以在单调递减， 所以，即， 因为，所以， 即得证. （3）令，则， 若，则. 因为，由（1）在单调递减， 可知在单调递减，所以， 若，因为，时，， 所以，. 所以当时，，单调递增， 所以，矛盾； 若，则由在单调递减，可得， 所以在单调递减，，满足条件. 综上，的取值范围是. 导数与三角函数交汇问题 考点7 1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)设，函数有四个零点，且. （i）当时，证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间. (2)证明见解析. 【分析】（1）对求导，根据符号判断单调区间； （2）（i）分析可得为偶函数且在单调递减，根据，结合 题干可得，构造函数，根据单调性即可求解； （ii）根据为偶函数，可得，将问题转化为证明 ，构造函数，分析函数单调性，可得即可证明. 【详解】（1）函数定义域为， (当且仅当时取等号)， 所以的单调递减区间为,无单调递增区间. （2）证明： 因为， 所以是偶函数. 因为有四个零点,且， 所以. 令，则或，其中， 当时，， 因为（当且仅当时取等号）， 所以在单调递减， 因为，和各有一解，且， 所以，即得， 因为 即， 因为，且在单调递减， 所以，即 （i）因为，， 所以， 又因为在单调递减，即得， 所以. 设，则， 所以在单调递减，则，即，得证. （ii）因为为偶函数，所以. ， 因为，且，所以， 所以，即， 设，（当且仅当时取等号） 所以在上单调递增. 因为， 所以， 所以， 又因为 所以. 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； (3)在（2）的条件下，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程； （2）先求导，结合正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性和极值，进而证明结论； （3）对不等式进行变形处理，结合（2）的条件，并借助进行放缩构造函数，从而证明结论． 【详解】（1）若，则，求导得， ， 又，所求的切线方程为． （2）函数求导得：． 当时，，，又，所以． 当时，令，则， ，则在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，且，， 存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增． ， 又，存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 在上存在唯一极（小）值点． ，又， 存在，使得， 在上存在唯一零点，得证． （3），， ，得，， ，等价于． 结合（2）的分析，，， ，即， 同理， ． 在区间上单调递减，要证，只需证． 又在上单调递增，只需证． ， 借助，可得， 令，则恒成立， 在上单调递增，，即成立，得证． 不等式成立． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)，成立，求实数a的取值范围； (3)若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，令，得到，分和，两种情况讨论，结合导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）令，求得，令，求得，结合指数函数与三角函数的性质，求得单调递增，且，再分和，两种情况讨论，即可求解； （3）分，和，利用导数，结合零点的存在性定理，求得函数在上递增，在上递减，在上递增，求得的取值范围，即可得证. 【详解】（1）解：当时，可得，可得， 令，可得， 当时，，可得， 即，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 则，即，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）解：令， 可得，令， 则， 当时，，，，故， 当时，，，故， 所以当时，可得，单调递增，即单调递增，， 当时，，则，在上单调递增， 所以，所以成立，满足题意； 当时，存在，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，，不满足题意， 综上可得，实数的取值范围为. （3）解：当时，，可得， 设，可得， 设，可得， 设，可得， 当时，，可得， 则在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 所以存在唯一的，使得， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 又由 ， 因为，，可得，， 可得，，所以， 则存在唯一，使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，，，则在上单调递增， 则，则存在唯一，使得， 当时，，当时，， 当时，，可得， 在上单调递增，，， 综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使得与的图像有三个交点， 则， ，则， 又因为，则，则， 所以，得证. 导数数列交汇问题 考点8 1．（2026·吉林长春·一模）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，由导数几何意义和直线点斜式即可得解； （2）设，即在上恒成立，利用导数分、、三种情况分析即可； （3）利用放缩公式，代入，累加即可计算求解. 【详解】（1），所以且， 则在处的切线方程为； （2）即 . 设，则， 令，则且，. （i）当，时，显然中的，，则恒成立. （ii），时，，则单调递增. ，则在上单调递增，，所以恒成立. （iii）当，时，，则单调递增， ，又，则存在唯一的， 使得，且当时，，单调递减，此时不满足恒成立条件， 综上所述，； （3）证明：由（2）得，即， 取，，所以，即， 当时，； 当时，； 当时，； …… 当时，. 累加可得，，即. 2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明：. 【答案】(1)1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解； （2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解； （3）令，求导确定单调性，得到，再通过，分别令和，即可证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1，即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以 在中，令，得当且仅当时，等号成立， 当时，， 所以当且仅当时，，中等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，在中，令， 得， 所以， 所以当时， ， 当时，成立， 所以，综上得证. 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数与导数 考点1 指对幂函数 1.C 2.C 3.D 4.AC. 1 5.4;8595 6.D 考点2 抽象函数问题 1.C. 2.B. 3.A 4.D 5.B 6.AD 7.BCD 考点3 比较大小问题 1.A. 2.A. 3.A 4.A 考点4 导数切线问题 1.B. 7x-2y-4=0 2. 3.e 1/23 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 5.-1. 6.B 考点5 利用导数研究单调性、极值、最值问题 1.AD 2.ABD 3.B. 5.B 6.B 元【e1由用-名分a= 3 2→a=21 所以f到--2x+n 由1时s-x12r-2xhg-1 →x-lnx-1≥0 设8到)=x-nx-1,x>0 则8(x=1-1=x-1 xx’x>01 由8>0今x>1,由8<0→0<x<1 所以8在0,1上单调递减，在山，+)上单调递增 又80=0，所以8到≥0在0+W)上恒成立 即不等式≤号2-x-l的解集为0，w小 (2因为=2-x+a-n,x>0 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以f八利=x-a+a-m+a-_x-[x-a-明 当a-1≤0即a≤1时，x-(a-l>0在0，+切上恒成立， 由>0→x>1:由f<00<x<1 所以函数小在Q小上单调递减，在山+四)上单调递瑞 故函数f在0+o)上只有极小值，无极大值： 当0<a-1<1即1<a<2时， 由>0→0<x<a-1或>l:由f()<0-a-1<x<1 所以函数刊在0，a-和山+切)上单调递增，在a-山上单调递减 所以函数在x=Q-1处取得极大值，在x=1处取得极小值： 当112-2.00树上省股 所以函数在0，+切)上单调递增，无极值 当a-1>1即a>2时， 由f川>0→0<x<1或x>a-1:由'<0→1<x<a-1 所以函数在0，和a-+网上单调递增，在La-上单调递减 所以函数八刊在x=1处取得极大值，在=a-1处取得极小值。 综上，当aG1,2U2,+w时，函数在0，+上存在极大值。 8。【详解】()当a=1时，f)=2-2+nx,f=x-2+} 所以川=，f0=0, 3/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 故曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程为y= 2· (2若孔问在定义接内有两个级值点。则5是方程/八=-2a+0即2-241.0的两个不相 等的正根， △=4a2-4>0 从而得到x+5=2a>0 xx2=1>0 a>1 又0<<，故>1， 2ax2=x+1 ,且 f八s)=2-2匹+n -6+a 2-1+n3 令1=对>1，则fs=g1=支-1+， g0=+-1+1<0. 22t2t 所以8在山+切上单调递减， 所以s-之.即的值板为（引 防以田个》 9.【详解】(1)"(y=alnx+1)+2x 依题意，f(=a+2=1 解得a=-1 (2)f)=anx+的零点台anx+x=0的根。 4/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设8到=ahx+xei0+国g国-l, 0当a=0时，g=xx0,+,8没有零点： ②当a>0时，g>0,所以8（在0+切内是增函数. 取=e8e-1+e0,取=l=>0 所以8刊在0，+0)上有且仅有一个零点： @当00时，当0<<-”时，8列<0，当>0时，g国>0 所以8刊在0，-上单调递减，在-a,+四)上单调递增， 从而8(nm=s(-a=aln(-a-a 当e<a<0时，8(=ah-@-a>08没有零点 当a=-e时，g=aln(-a-a=08小在0，+四)上有且仅有一个零点： 当a<-e时，8(xm=alh(-aj-a<0 1 取x=e,8ea归-1+e>0,取=l,g0=1>0, 所以8刊在0，+w上有两个零点. 综上，当e<a≤0时，f没有零点：当a=-e或a>0时，f刊有且仅有一个零点：当a<-e时， 八x有两个零点· (a)f+>r"nx+r+>x 1 台x+ >-aln=xenx空n>rnx 5/23 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 构适函数刊=x-血x>0,则eAr) 而=1一。，令>0，解得xe,四，此时单调递婚。 令)<0， 得(<0，此时)单调递减， 而当x1时，0.1，与1的大小不定，自当实数。是小时，只需考忘其为负数的指况，此时 0<x<1 1 因为当0<x<1时，(x单调递减，故。<x, 两边取对数得，-x<alnx(x>),所以a>nx, 令n则p- (Inx)2, 令p>0得，1<x<e,令p()<0得，>， 所以（东0，e) (e,+o) 在 单调递增，在 单调递减， 所以 (x)≤p(e)=-e 故a的最小值是e. 考点6 导数证明问题 1.【详解】(1) f'(x)=ae+2 ①当a≥0时， f'(x)≥0f(x)（-0,+0) 在 单调递增， @当a<0,令)-0，解袋5=1+n(引 与1》w0.当：.0. 6/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以f(x)在 综上，当a≥0时，f(x)在(-0，+o)单调递增： 2 当a<0时，f(x)在 上单调递增， 在〔+》上单调毫成 (2)设8()=e+2x-3-3nr 则8)=e1+2-3 t, 因为8)在0，+切)上单调递增，80=0， 所以当x∈(0,1)时，g()<0,g(x)单调递减： 当e+w）t.g)>0g) 时， 单调递增； 所以g(x)≥g()=0,当且仅当x=1时取等， 所以f)-3血x=8(到≥0，即f之3hx,当且仅当a=1,x=1时取等： (i)法一：由(1)已知，当a=时，f0在0，+∞ 在 单调递增； 因为m+n>1,所以f(m+m)>f)=0, 由(2)可知，f(m)>3lnm, fm>3m--3nm 所以f(m+ >3nm+(-3lnm=0, 因为+f=0所以日》m, 所以m>,即mn< 所以f(nm)<f)=0, 所以f(mn):f(m+n)<0 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 法二： 由(1)已知，当=1时，f0在0，∞ 在 单调递增； 因为m+n>1,所以f(m+n)>f()=0;(同法一) 设)=e+2列，re(0,+o),易知0)在0，+m)上单调递增， 所以当e0所..即e+a宁+2 上式整理得 42-亡+20，ror0 设 x∈(0,1)，所以h(x)在(0,1)上单调递减， 所以hm>h=0'目 +/0， 因为fom)+fm)）=0' 所以f ，所以品>，即n< 所以f(mn)<f(I)=0 所以f(m)f(m+m)<0(同法一) 法三： 由(1)已知，当=1时，0在0，+w) 在 单调递增； 因为m+n>1,所以f(m+)>f()=0;(同法一) 设h(t)=f(1+t)+f(1-t),te(0,1), 所以0=f+)-f0-0=d-e>0,所以在0)上单调递增， 显然0<1-m<1,所以h1-m)>h(0)=0,即f(m)+f(2-m)>0, 因为f(m)+f(n)=0,所以f(2-m)>f(n),所以2-m>n,即m+n<2, 根据基本不等式，2mm<m+n<2,所以mm<1, 所以f(mn)<f)=0, 所以f(mn)f(m+n)<0 8/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.【详解】(1)由题意可知，函数f=ax+P+x+nr,(aeR的定义域为0，+)， 导数f(x)=x+(2ax+1 x>0 当a≥0时，x∈(0，+o)f"(x>0 综上，当a≥0时，函数冈在区间0，+W)上单调递增： 当，<0时，函数在区间0-a 上单调递增，在区间 上单调递减. (2)由(1)可知，当2≤a<0时， 压数在区同0动)上华满迷特，在同六小.上单调递减， 所a=云+n同a-右-2刘， 要八≤24石1，需证a-1右h-24≤24右1. 即需证0右+la-2刘≥0分0<0恒成立， 1 令8ai-a右-n-2a,a0, 142-2a+≥0 则g(a=l+4a+2a4a 10 所以函数8a在区间2)单调递增， 所以a右+-2山20，a<0恒成立， 所以当a<0时，时s2a。1, 9123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.【详解】)设切点为e）,f八=e,所以fx)=ee,所以-a=l, 所以函数在=式处的切线为-e=e一(x-)】 将0,0代入得0-e=e(0-,解得-1，a=0 （2)(1）当=5时，原问题分+e0=2有两个不等实根 法：设时2(<回， 则12-2-斗2-2+ e2 当2<x<-l时，“(<0，当1<x<2时，>0 u在v5,-递减，v2递增， u川xt=川-=-e2,42=0,e0∈-e,0,a>-1 法=：8（刘=+e2r20-2反<x<2) g'(x=2x+2e2r-2a ，令m(=2x+2e2-20 则(=2+4e>0,m在R上递增， 3,∈R,使得()=0，当x<时，g<0,当>时，g>0 8在-0，上单调递减，在，+)上单调递增， 8(x)极小值=gxo)=x-x-2<0→-1<x,<V2 又-e2a=2 e26 设。(1kx②，则-2 当-1<x<时，时>0，当<2时，f<0 10/23