精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题

2025-2026学年第二学期上学期开学考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若，则（ ） A 2 B. C. D. 2. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 样本数据的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 5.6 D. 6 6. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则（ ） A. B. C. D. 10 7. 若圆上到直线的距离为1的点恰有三个，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出关于满足 非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若任取，则是必然事件 B. 若任取，则是不可能事件 C. 若任取，则是随机事件 D. 若任取，则是必然事件 10. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________. 13. 设函数，若，则______． 14. 函数的定义域为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知关于方程的两个不等实根分别是和. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 18. 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； （2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 （1）求 （2）求直线的斜率的值； （3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期上学期开学考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】半径为2的扇形的圆心角为， 由扇形面积公式. 故选：B 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的定义求得，再根据复数模的公式求解. 【详解】，， . 故选：A. 4. 如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图与题设结合空间向量线性运算可判断选项正误. 【详解】由图可得： . 故选：A 5. 样本数据的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 5.6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的概念即可求解. 【详解】因为，所以这8个数的第70百分位数为6. 故选：D. 6. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为计算可得. 【详解】因为，所以， 曲线在处的切线的斜率， 又直线的斜率为， 依题意可得，解得． 故选：A 7. 若圆上到直线的距离为1的点恰有三个，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得点到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，圆心为，半径为， 因为圆上有3个点到直线距离为1， 所以点到直线的距离为， 即，解得. 故选：D 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出投影向量的坐标，结合向量的模长公式可得答案. 【详解】由题意可知在方向上的投影向量为 ， 故在方向上的投影向量的模为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若任取，则是必然事件 B. 若任取，则是不可能事件 C. 若任取，则是随机事件 D. 若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：因为 ，，所以，因此若任取，则是必然事件，真命题； 对于B：因为 ，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此若任取，则是随机事件，假命题； 对于C：因为 ，任取，有可能成立，也可能不成立， 因此任取，则是随机事件，真命题； 对于D：因为 ，，所以一定有，显然任取，则是必然事件，真命题． 故选：ACD 10. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差、可判断选项ABC；对于选项D举反例即可. 【详解】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为， 新数据为， 则新数据的极差为， 因此新数据与原数据的极差相同，故A正确； 原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确； 原数据的方差为， 新数据的方差为， ， 则新数据与原数据的方差相同，故C错误； 不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数， 新数据为，则新数据的中位数为2， 则新数据与原数据的中位数不同，故D错误. 故选：AB 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】列等式求出等差数列的公差d，首项，再据此逐一分析各项即可． 【详解】对于AB，设等差数列的公差为，由，得， 解得，所以， 则，故AB正确； 对于C，令，得，且，所以当或时，取最小值，故C错误； 对于D，因为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值. 【详解】因为，所以， 直线的斜率为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 设函数，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 14. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可. 【详解】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域． 函数的定义域需满足，解得：且， 所以函数的定义域是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知关于的方程的两个不等实根分别是和. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案. （2）化简得到原式，再根据题意计算得到答案. 【小问1详解】 因为关于的方程的两个不等实根分别是和 所以，即， ，， ， 从而， 则； 【小问2详解】 . 因为 ； 因为且，所以， 所以. 所以. 16 已知， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【小问1详解】 由于， 则； 【小问2详解】 由于， 则. 17. 已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）分两类情况第一种：直线垂直于轴，其方程为，与联立得方程，再结合可证明， 第二种：直线：.与联立得方程，得到韦达定理，再结合可证明， 【小问1详解】 由抛物线定义可知，P点轨迹为以为焦点， 以为准线的抛物线. 设的方程为：，则=1. 所以动点P的轨迹E的方程为. 【小问2详解】 证明：设， 分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得， 此时， 所以，是直角三角形， 第二种：直线：，与联立得： ， ， ，，所以， 又因为与异号，或不符合题意， 因为， 所以， 所以△为直角三角形， 18. 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； （2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 04 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关联； （2）0.28. 【解析】 【分析】（1）利用给定列联表中数据求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解. 【小问1详解】 零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 令使用无土栽培的单株番茄产量为，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为， 抽到的2株番茄总产量为，则， 则 ， 所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28. 19. 已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 （1）求 （2）求直线的斜率的值； （3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式直接求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，消去整理后，由，求的值； （3）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线的斜率，化简得的值. 【小问1详解】 解：由题知，在抛物线上， 所以，根据焦半径公式， 【小问2详解】 解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即，解得 【小问3详解】 解： 因为是轴上两个不同的动点，且满足， 所以直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为，与联立，消去x整理得， 所以，得，从而， 将换成，同理可得， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $