精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题

2025-2026学年第二学期开学考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：燕广 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若某扇形的圆心角为，半径为20，则该扇形的弧长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式即可求解. 【详解】因为扇形的圆心角为，半径为20， 该扇形的弧长为. 故选：B 2. 某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率. 【详解】依题意从9款设计稿中任选3款的试验有个基本事件， 被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有个基本事件， 所以所求概率为. 故选：A 3. 高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（ ） A. B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布性质结合题设可得答案. 【详解】由题可知， 又，因此， 由正态分布性质可知 故选：B. 4. 已知，则m，n，p（ ） A. 成等差，但不成等比 B. 成等比，但不成等差 C. 既成等差，又成等比 D. 既不成等差，又不成等比 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的定义和运算公式可判断选项正误. 【详解】由题可得，，因此，可知m，n，p成等差； 由，但，可知m，n，p不成等比． 故选：A． 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 6. 已知集合，则（   ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合， 所以. 7. 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式系数和求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为所有的二项式系数之和为，所以，解得， 所以展开式的通项为（）， 令，解得， 所以， 所以展开式中含的项的系数为. 故选：D 8. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得的符号，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】因为，故，，即， 故，故，故，故BD错误， 而，故C正确； 取，则， ，但，故A错误， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的单调性和基本不等式得出答案. 【详解】已知是单调递增的函数，且; 因为 单调递增，因为，由基本不等式可得， 所以，即，选项A正确. ，而， 所以，选项D正确，C错误. 因为，所以，即，选项B正确. 故选：ABD 10. 下列各组函数能表示同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与（且） C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【详解】化简函数解析式，并求出其定义域，从函数相等的定义入手逐一分析即可. 【分析】对于选项A：，，对应关系不同， 故不能表示同一个函数，故A错误； 对于选项B：（且）的定义域为， （且）的定义域为， 即定义域不同，故不能表示同一个函数，故B错误； 对于选项C：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故C正确； 对于选项D：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故D正确. 故选：CD. 11 已知点，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算判断AB；求出投影向量坐标判断C；利用点到直线距离公式计算判断D. 【详解】由点，得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，因此在上的投影向量为，C错误； 对于D，点到直线的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的极小值点为，则的极小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据极小值点求得参数的值，从而可求函数的极小值. 【详解】， 因为函数的极小值点为，故即， 故， 当或时，；当时， 故仅在处取得极小值，故的极小值为. 故答案为：. 13. 若正方体内部有两个球，其中球与正方体的三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体的性质，作出辅助线，可利用三角形相似来求球的半径，从而可求面积比. 【详解】 设正方体的边长为，由球与正方体的六个面均相切，可知球的半径为1， 由球与正方体三个面相切且与球也相切，设球的半径为， 如图可知，，，所以， 根据，则有，解得：， 所以， 故答案为：. 14. 已知双曲线：，，分别为它的左右顶点，为上异于，的任意一点，且关于轴对称的点为，直线与交于点，则动点的轨迹方程是__________. 【答案】（且） 【解析】 【分析】利用斜率乘积为定值来求动点的轨迹，即可求解. 【详解】由题意知，，，三点共线，，，三点共线， 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 因，关于轴对称，所以， 所以， 设、坐标分别为、， 则，则，又，故， 由已知，， 所以， 所以，化简得：， 的轨迹为以为顶点的椭圆（去掉，两点）， 所以的轨迹方程为：（且）. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【小问1详解】 由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； 【小问2详解】 因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. （1）求m的值； （2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】（1） （2）4. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 即， 解得； 【小问2详解】 由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 17. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2），-25 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由通项公式求解. （2）求解的表达式，即可根据二次函数的性质求解最值. 【小问1详解】 设数列的公差为， 由题意可知，解得． 所以． 【小问2详解】 因为， 所以当时，取得最小值，最小值为． 18. 如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，结合线面平行的性质可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后结合空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 因，平面，平面， 则平面.又平面，平面平面， 则； 【小问2详解】 由题意，以为原点，以DA方向为轴，以DC方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系. 设. ， 由，且，可知， ， 则平面的法向量； ， 则平面的法向量； . 即平面与平面所成角的余弦值为. 19. 为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）关注“蒙超”赛事与性别有关 （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的概念，计算，判断假设是否成立即可； （2）根据超几何分布的概念和性质，计算分布列，进而求出期望. 【小问1详解】 零假设：关注“蒙超”赛事与性别无关， 经过计算. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能认为关注“蒙超”赛事与性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人， X的取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期开学考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：燕广 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若某扇形的圆心角为，半径为20，则该扇形的弧长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 2. 某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（ ） A. B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 4. 已知，则m，n，p（ ） A 成等差，但不成等比 B. 成等比，但不成等差 C. 既成等差，又成等比 D. 既不成等差，又不成等比 5. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 6. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，，则下列选项中正确的是（ ） A B. C. D. 10. 下列各组函数能表示同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与（且） C. 与 D. 与 11. 已知点，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的极小值点为，则的极小值为__________. 13. 若正方体内部有两个球，其中球与正方体三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________． 14. 已知双曲线：，，分别为它的左右顶点，为上异于，的任意一点，且关于轴对称的点为，直线与交于点，则动点的轨迹方程是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 16. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. （1）求m的值； （2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 17. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18. 如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $