精品解析：贵州遵义市南白中学2025-2026学年第二学期第一次测试高一数学试卷

遵义市南白中学2025-2026学年度第二学期第一次测试 高一年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码 2．所有题目答案均写在答题卡上，填写在试卷、草稿纸上无效 3．选择题、判断题用2B铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题；在规定区域以外的答题不给分 4．考试结束后，请将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 7. 已知函数，若关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动.如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 甲同学阅读时间更加稳定 B. 乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间的极差为20 D. 甲同学阅读时间的75%分位数为25 11. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 13. 已知，，则用a、b表示对数_______. 14. 设函数，其中，，若恒成立，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 16. 已知函数过定点，函数的定义域为. （Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性； （Ⅲ）解不等式. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 18. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. 19. 已知函数的图象与函数（，且）的图象关于对称，且. （1）求函数的解析式； （2）设m，n是方程的两个实数根（其中，，且，），求的值. （3）是否存在实数，使得函数只有一个零点，如果存在，求出t的取值范围，如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2025-2026学年度第二学期第一次测试 高一年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码 2．所有题目答案均写在答题卡上，填写在试卷、草稿纸上无效 3．选择题、判断题用2B铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题；在规定区域以外的答题不给分 4．考试结束后，请将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由于全集，集合，所以， 又因为集合，所以. 故选：B. 2. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式可得或，其解集为； 解不等式可得或，其解集为； 显然是的真子集， 因此“”是“”的必要不充分条件. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断； 【详解】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选：D. 5. 函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用对数函数的性质，复合函数的单调性，可得的不等式组，由此求得的范围． 【详解】解：由函数在上为减函数， 可得函数在上大于零，且为减函数，且， 故有，求得， 故选：． 【点睛】易错点睛：该题考查了复合函数单调性相关知识，同时也考查了对数函数定义域的要求，而同学们在做题时常常丢掉定义域的限制条件，属于易错题型．考虑复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单调减，作为对数的底，所以有，所以内层函数单调减，所以外层函数必须单调增，故，还需保证真数在定义域上恒大与0，只需保证正数部分最小值大于0即可． 6. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为且， 所以或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上可得的值为. 故选：B 7. 已知函数，若关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围． 【详解】作函数的图象，如图： 关于的方程有个不等的实数根， 结合图象可知，关于的方程有两不等实根，记为，且， 因为，，所以， 又因为，，即， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：D． 【点睛】方法点睛：零点问题，我们一般先画出内函数的图像，再根据内函数图像特征，结合外函数的图像特征，转化为外函数的根的分布问题，特别要注意空心点实心点问题． 8. 已知，，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】对两个已知方程进行变形，构造出同一个函数的形式，再利用函数的单调性求解. 【详解】由，，得，即， 所以. 令，则为单调递增函数. 又， 则，得，. 所以，即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法可判断A选项，利用不等式的性质可判断CD选项，利用特殊值法可判断B选项. 【详解】对于A选项，因为，则、不能同时为零， 所以，， 若，则且，此时，，矛盾， 故，故，A对； 对于B选项，因为，且，，不妨取，，此时，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，，则，C对； 对于D选项，因为，则，可得， 由不等式的性质可得，即，D对. 故选：ACD. 10. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动.如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 甲同学阅读时间更加稳定 B. 乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间的极差为20 D. 甲同学阅读时间的75%分位数为25 【答案】BD 【解析】 【详解】甲同学阅读时间从小到大排列为， 乙同学阅读时间从小到大排列为， 则甲同学的平均阅读时间为， 乙同学的平均阅读时间为， 故乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间，B正确； 甲同学的阅读时间的方差为 乙同学的阅读时间的方差为， 因为，所以乙同学阅读时间更加稳定，故A错误； 乙同学阅读时间的极差为，故C错误； 因为，所以甲同学阅读时间的75%分位数为第个数，故D正确. 11. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得， 所以0是集合的聚点，A选项正确； 对于集合，对于某个实数，比如， 此时对任意的，都有， 也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误； 对于集合，对任意的，都存在，即， 使，所以0是集合的聚点，C选项正确； 对于集合，，随着n增大而增大， 的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 13. 已知，，则用a、b表示对数_______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解即可． 【详解】， 故答案为：. 14. 设函数，其中，，若恒成立，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的单调性，结合条件，分析可得的关系，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】由题意的定义域为，且， 因为与均为单调递增函数，且， 所以或， 解得或， 因为恒成立，所以，则，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）直接写出样本空间即可； （2）先计算出事件A，B，C发生的概率，进而得到事件A，B，C均没有发生的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 事件为，包含6个基本事件， 由（1）知，样本空间中共12个基本事件，故， 事件为，包含3个基本事件，故； 事件为，包含4个基本事件，故， 事件A，B，C均没有发生的概率为， 故事件A，B，C中至少有一个发生的概率为. 16. 已知函数过定点，函数的定义域为. （Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性； （Ⅲ）解不等式. 【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证； （Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性； （Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为， ，定义域为， . 函数为奇函数. （Ⅱ）在上单调递增. 证明：任取，且， 则. ，， ，， ，即， 函数在区间上是增函数. （Ⅲ），即， 函数为奇函数 在上为单调递增函数， ， ，解得：. 故不等式的解集为： 【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），平均数约为74 （2）6人 （3），36 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 18. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由对数型函数的单调性直接求解即可； （2）由在上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的， 由化简后可得，利用均值不等式及等号成立条件即可得证. 【小问1详解】 当时，，由可得， 解得，即， 故不等式的解为. 【小问2详解】 因为与均为增函数， 所以在上单调递增， 当时，， ， 所以存在唯一的，使得， 即函数有唯一零点， 所以，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当与时等号成立. 当时，由知，即，所以等号不成立， 所以. 19. 已知函数的图象与函数（，且）的图象关于对称，且. （1）求函数的解析式； （2）设m，n是方程的两个实数根（其中，，且，），求的值. （3）是否存在实数，使得函数只有一个零点，如果存在，求出t的取值范围，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）56； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由反函数性质结合题意可得答案； （2）由（1）可得等价于，然后由韦达定理结合题意可得答案； （3）问题等价于方程只有1个根，令，则方程化为 ，然后通过分析方程二次项系数与判别式可得答案. 【小问1详解】 由反函数定义可得：，又， 则，从而 【小问2详解】 由（1），等价于，则， 因为方程两根，设， 由韦达定理，，. ，注意到. 则； 【小问3详解】 由题可得， 只有1个零点，则方程只有1个根， 因在上单调递增， 则. 令，则. 即方程只有一个正根，可满足题意. 若，则，不满足题意； 若，此时方程为二次方程. 当 或. 当，化为:，满足题意； 当，化为:，不满足题意； 当，由上分析可得或且. 当，注意到两根之和为，两根之积为，则此时方程有2个正根，不满足题意； 当且时，为使方程只有一个正根，需满足两根之积. 综上，为使只有1个零点，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $