5.5 数学归纳法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

*5.5　数学归纳法

基础过关练

题组一　用数学归纳法证明等式

1.(2025广东东莞东华高级中学阶段检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+),则当第一步验证n=1时,左边应取的项是(　　)

A.1　　　

B.1+2

C.1+2+3　　　

D.1+2+3+4

2.用数学归纳法证明2+4+6+8+…+2n=2n-1+22n-2(n∈N+)的过程中,由n=k到n=k+1,等式左边增加的项数为(　　)

A.1　　　B.2k-1　　　C.2k　　　D.2k+1

3.(2025上海第六十中学月考)用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=(n∈N+)时,从k到k+1(k∈N+),等式左边需要增加的代数式是　　　　. 

4.用数学归纳法证明:

(1)1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+);

(2)cos·cos·cos·…·cos=(n∈N+).

 

 

题组二　用数学归纳法证明不等式

5.(2024辽宁沈阳二中月考)用数学归纳法证明不等式:++…+(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,不等式左边需要增加的项为(　　)

A.　　　      B.+

C.-　　　D.-

6.(2025陕西榆林期中)用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N+)时,由n=k到n=k+1,不等式左边增加了(　　)

A.(2k-1)项　　　B.2k项      C.k项　　　D.1项

7.用数学归纳法证明>对任意n>k(n,k∈N)的自然数都成立,则k的最小值为(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

8.(2025山东青岛即墨第一中学阶段检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=-3,S4=2(a5+1),数列{bn}的前n项和为Tn,且b1=-1,bn+1=TnTn+1(n∈N+).

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)记cn=,n∈N+,用数学归纳法证明:c1+c2+…+cn<n(2n+1).

 

 

 

9.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,且对任意正整数n恒满足2an+1=4an+2bn+1,2bn+1=2an+4bn-1.求证:

(1){an+bn}为等比数列,{an-bn}为等差数列;

(2)<+++…+<2n-2(n>1,n∈N+).

 

 

 

题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题

10.(2025四川凉山州民族中学月考)观察下列式子:1+<,1++<,1+++<,……,则可归纳出1+++…+(n∈N+)小于(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

11.(2024江苏盐城响水中学期中)正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N+,则a2 023的值是(　　)

A.+　　　B.+

C.-　　　D.-

12.已知数列{an}和{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=1+2+…+2n-1,当n∈N+时,试比较an与bn的大小,并用数学归纳法证明你的结论.