5.3.1 等比数列（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 基础过关练 题组一　等比数列的定义及其应用 1.(2025北京怡海中学期中)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边不在坐标轴上,则下列一定成等比数列的是(　　) A.sin α,cos α,tan α　　　 B.sin α,tan α,cos α C.sin2α,cos α,tan2α　　　 D.cos2α,sin α,tan2α 2.(2024江苏南通期初)数列{an}满足a1=1,an+1=tan+t(n∈N+,t≠0),则“t=”是“数列{an}是等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选题)(2025河南南阳六校联考)已知数列{an},{bn}都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是(　　) A.{anbn}　　　 B.{an+bn}　　　 C.　　　 D.{an-bn} 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,nan+1=(n+2)Sn. (1)证明:数列是等比数列; (2)求Sn与an. 题组二　等比数列的通项公式及其应用 5.(2025江苏淮安淮阴中学期中)若在1和81之间插入3个数,使这5个数成等比数列,则该等比数列的公比为(　　) A.3　　　B.-3　　　C.±3　　　D.±9 6.在等比数列{an}中,已知a1>0,则“a2>a3”是“a3>a6”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2025江苏镇江期中)已知等比数列{an}的各项均为正数,若a1+a2+a3=7,a4=a3+2a2,则a7+a8+a9=(　　) A.588　　　B.448　　　 C.896　　　D.224 8.在数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1=1 024,m,n,k∈N+,则k=(　　) A.10　　　B.9　　　 C.11　　　D.8 9. 下图给出了一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为ai,j(i, j∈N+),则a5,3=(　　) 　 　　 　 …… A.　　　B.　　　C.　　　D. 10.(2024江西抚州乐安第二中学开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,∀n∈N+,都有Sn=an-,若1<Sk<9,k∈N+,则k=　　　　.  11.(2024山东青岛期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn+2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<. 题组三　等比数列的性质及其应用 12.(2024福建厦门期末)已知等比数列{an}满足a3=,a7=3,则a5=(　　) A.-2　　　B.-3　　　C.3　　　D.2 13.(2024吉林通化辉南第六中学月考)已知正项等比数列{an}中,a4,3a3,a5成等差数列,若数列{an}中存在两项am,an,使得a1为它们的等比中项,则+的最小值为(　　) A.1　　　B.3　　　 C.6　　　D.9 14.(2025四川成都田家炳中学期中)在等比数列{an}中,a4=1,a1a3+2a3a5+a5a7=12,则a2+a6=(　　) A.2　　　B.-2　　　 C.±2　　　D.12 15.(2024辽宁沈阳新民高级中学月考)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a7+a9=,且b2b6b10=8,则=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 16.(2024山东烟台期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-5,a3,a4-1,a5+1成等比数列,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+2=2bn(n∈N+). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-2.1]=-3,[1.2]=1,设cn=,求数列{bncn}的前7项和. 能力提升练 题组一　等比数列的通项公式及其应用 1.(2024辽宁大连八中期中)已知等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为(　　) A.32　　　B.16　　　C.128　　　D.64 2.已知数列{an}满足a1=1,a2=,=,则a5=(　　) A.2-12　　　B.2-10　　　C.2-9　　　D.2-8 3.(多选题)(2025山东青岛教学质量检测)已知等比数列{an}的首项a1=1,公比q=3,在{an}的每相邻两项之间都插入k(k∈N+)个正数,使它们和原数列的项构成一个新的等比数列{bn},则(　　) A.an=3n-1 B.当k=2时,bn= C.当k=2时,b19不是{an}中的项 D.若b8是数列{an}中的项,则k=6 4.(2025广东江门调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n,设bn=(n-λ)log2(an+2),λ∈R,若数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,3)　　　B.(-∞,4) C.(3,+∞)　　　D.(4,+∞) 5.(2024江苏南通期末)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网.如图,它是由无数个正方形环绕而成的,每一个正方形(从由外向内的第二个正方形开始)的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的一个三等分点上.设外围第一个正方形A1B1C1D1的面积为a1=1,往里第二个正方形A2B2C2D2的面积为a2,……,往里第n个正方形AnBnCnDn的面积为an,则数列{an}的通项公式为　　　　;已知{bn}满足++…+=2n2-n(n∈N+),则数列{bn}的最大项的值为　　　.  6.(2025江苏苏州期中)已知数列{an},{bn}满足且a1=,b1=-1. (1)求a3; (2)证明数列是等比数列,并求an. 题组二　等比数列的性质及其应用 7.(2024黑龙江哈尔滨第三中学校月考)已知数列{an}为正项递增等比数列,a1+a2+a3=,++=,则{an}的公比q=(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 8.(多选题)(2024辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知等比数列{an}的公比为q(q>0),前n项积为Tn,若a9>1,a9a10<1,则(　　) A.0<q<1　　 　B.q>1 C.T17>1>T18　　　D.T18>1>T19 9.已知数列{an}是等比数列,且公比q∈(1,2),若(a4+ma7)·a8=(a6-a9)2,则实数m的取值范围为(　　) A.(1,9)　　　B.(2,10)　　　 C.(1,8)　　　D.(-1,6) 10.已知等比数列{an}中,an>0,若a2a3a4=a2+a3+9a4,则a3的最小值为　　　　.  题组三　等比数列的综合应用 11.(多选题)已知{an}是公比为q的等比数列,且a1=1,曲线Cn:+=1,n∈N+,则下列说法中正确的是(　　) A.若q>0且q≠1,则Cn是椭圆 B.若存在n∈N+,使得Cn是离心率为的椭圆,则q= C.若存在n∈N+,使得Cn是渐近线方程为x±2y=0的双曲线,则q=- D.若q=-2,bn为双曲线Cn的实轴长,则b1+b2+…+b10=186 12.若正项等比数列{an}满足a6+a5+a4-a3-a2-a1=49,则a9+a8+a7的最小值为　　　　.  13.(2024北京外国语大学附属中学期末)已知数列{an}的首项a1=1,且满足(an+1-an-1)·(an+1-2an)=0对任意n∈N+都成立,则能使am=2 023成立的正整数m的最小值为　　　　.  14.设同时满足条件:①≥bn+1;②bn≤M(n∈N+,M是常数)的无穷数列{bn}叫作P数列.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值,并证明数列为P数列. 15.(2025江苏镇江期中)已知数列{an}满足a1+a2+…+an=2n-an(n∈N+). (1)求a1+a2+a3的值; (2)求证:数列{log4|an-2|}是等差数列; (3)令bn=(2n-1)(2-an)(n∈N+),若对任意n∈N+,都有bn+t≤,求实数t的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　因为角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边不在坐标轴上,所以cos α≠0,sin α≠0,tan α≠0. 对于A,B,令α=,得sin α=,cos α=,tan α=1, 显然cos2α≠sin αtan α,tan2α≠sin αcos α,故A,B不符合题意. 对于C,令α=,得sin2α==,cos α=,tan2α==,显然cos2α≠sin2αtan2α,故C不符合题意. 对于D,易知sin α=cos αtan α,所以sin2α=cos2αtan2α,故D符合题意. 2.C　当t=时,an+1=an+,由a1=1,得a2=+=1,a3=+=1,……,an=1,所以{an}是等比数列,充分性成立; 若{an}是等比数列,易知a2=ta1+t=2t,a3=ta2+t=2t2+t,则=a1a3,即4t2=2t2+t,即2t2-t=0,又t≠0,所以t=,此时an=1(n∈N+),满足题意,必要性成立. 综上,“t=”是“数列{an}是等比数列”的充要条件. 3.AC　设数列{an},{bn}的公比分别为q1,q2(q1,q2≠0).对于A,==q1q2,故数列{anbn}为等比数列,A满足条件.对于B,不妨取an=(-1)n,bn=(-1)n+1,满足{an},{bn}都是等比数列,但an+bn=(-1)n+(-1)n+1=(-1)n-(-1)n=0,故数列{an+bn}不一定是等比数列,B不满足条件.对于C,÷==,故为等比数列,C满足条件.对于D,不妨取an=(-2)n,bn=2n,满足数列{an},{bn}都是等比数列,当n=2k,k∈N+时,an-bn=(-2)n-2n=(-2)2k-22k=4k-4k=0,故数列{an-bn}不一定是等比数列,D不满足条件. 4.解析　(1)证明:∵nan+1=(n+2)Sn,∴an+1=Sn, ∴Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=Sn,故=2×, 又a1=1,∴=1, ∴数列是首项为1,公比为2的等比数列. (2)由(1)可得=2n-1,即Sn=n·2n-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n·2n-1-(n-1)·2n-2=(n+1)·2n-2,当n=1时,a1=1符合an=(n+1)·2n-2, ∴an=(n+1)·2n-2(n∈N+). 5.C　设这5个数组成的等比数列为{an},公比为q,则a1=1,a5=81.∵a5=a1·q4,∴81=1×q4,解得q=±3. 6.A　设等比数列{an}的公比为q, 则a2>a3⇔a1q>a1q2⇔q>q2⇔0<q<1; a3>a6⇔a1q2>a1q5⇔q3<1⇔q<1. 所以“a2>a3”是“a3>a6”的充分不必要条件. 7.B　设{an}的公比为q(q>0),因为等比数列{an}的各项均为正数,且a4=a3+2a2, 所以q2=q+2,解得q=2或q=-1(舍去), 所以a7+a8+a9=(a1+a2+a3)q6=7×26=448. 8.B　令m=1,得an+1=a1an=2an,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2×2n-1=2n,由ak+1=2k+1=1 024=210得k=9. 9.C　第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a5,1=+(5-1)×=. 又因为从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a5,3=×=. 10.答案　4 解析　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1), 即an=-2an-1,又a1=S1=a1-,所以a1=-1, 所以{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列, 则an=-(-2)n-1,故Sn=an-=, 因为1<Sk<9,所以1<<9,即4<(-2)k<28,又k∈N+,所以k=4. 11.解析　(1)由an+1=Sn+2,可得当n≥2时,an=Sn-1+2,两式相减可得an+1-an=Sn-Sn-1=an,则an+1=2an(n≥2), 当n=1时,a2=S1+2=a1+2=4,则a2=2a1, 所以an+1=2an,故{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以{an}的通项公式为an=2n. (2)证明:由(1)得bn===,则Tn=++…++==-+<. 12.C　因为数列{an}是等比数列,所以=a3·a7=×3=9,所以a5=3或a5=-3,因为a3>0,a7>0,所以a5=3. 易错警示　等比数列中所有的奇数项同号,所有的偶数项也同号. 13.B　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由a4,3a3,a5成等差数列,得6a3=a4+a5,即6a3=a3q+a3q2,又a3>0,所以q2+q-6=0,所以q=2, 若数列{an}中存在两项am,an,使得a1为它们的等比中项,则(a1)2=am·an,即2=a1·2m-1·a1·2n-1,得2m+n-2=2,则m+n=3, 故+=(m+n)==3,当且仅当=,即m=1,n=2时等号成立,所以+的最小值为3. 14.A　由等比数列的性质知a1a3+2a3a5+a5a7=+2a2a6+=12,所以(a2+a6)2=12. 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则a6=q2a4=q4a2,所以a2,a4,a6同号,又a4=1,所以a2+a6=2. 15.D　因为数列{an}是等差数列,所以a7+a9=2a8=,所以a8=,所以a3+a8+a13=3a8=2π. 因为数列{bn}是等比数列,所以b2b6b10==8, 所以b6=2,所以b4b8-1=-1=4-1=3, 所以=. 16.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a3,a4-1,a5+1成等比数列,所以(a4-1)2=a3(a5+1),即(3d-6)2=(2d-5)(4d-4), 整理可得d2-8d+16=0,所以d=4, 故an=a1+(n-1)d=-5+4(n-1)=4n-9. 由已知得Tn=2bn-2①, 当n≥2时,Tn-1=2bn-1-2②, ①-②可得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1(n≥2), 当n=1时,b1+2=2b1,所以b1=2, 所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,故bn=2·2n-1=2n. (2)由(1)知an=4n-9,则cn=, 易得c1=c2=-1,c3=c4=0,c5=c6=c7=1, 则数列{bncn}的前7项和为-1×(21+22)+0×(23+24)+1×(25+26+27)=218. 能力提升练 1.D　设等比数列{an}的公比为q.由题意得=q==,从而a1+a3=a1+a1q2=a1=10,解得a1=8, 故an=a1qn-1=24-n,则数列{an}是递减数列, 令an≥1,得n≤4,故(a1a2…an)max=a1a2a3a4=23×22×21×20=23+2+1+0=64. 2.D　由题意得数列=,公比为4的等比数列,∴=×4n-1=, 当n≥2时,an=·a1=×4n-4×4n-5×…× 4-2×1==, ∵n=1时,21-8+7=1=a1,∴an=,故a5=225-40+7=2-8. 3.ABD　对于A,易知an=1×3n-1=3n-1,故A正确; 对于B,C,当k=2时,设数列{bn}的公比为q',易知b1=1,b4=3,所以3=q'3,所以q'=,所以bn=1×()n-1=,所以b19==36=a7,故B正确,C错误; 对于D,易知b1=1,bk+2=3,设数列{bn}的公比为q1,则=3,则q1=,所以bn=1×()n-1=,所以b8=,因为b8是数列{an}中的项,所以∈N+,又k∈N+,所以k=6,故D正确. 4.B　因为Sn=2an-2n,所以当n=1时,S1=a1=2a1-2,解得a1=2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2n-[2an-1-2(n-1)]=2an-2an-1-2,所以an+2=2(an-1+2)(n≥2), 所以{an+2}是以a1+2=4为首项,2为公比的等比数列,所以an+2=4×2n-1,所以an=2n+1-2,所以bn=(n-λ)log2(an+2)=(n-λ)(n+1)=n2+(1-λ)n-λ, 若数列{bn}是递增数列,则bn+1>bn, 所以bn+1-bn=(n+1)2+(1-λ)(n+1)-λ-[n2+(1-λ)n-λ]=2n+2-λ>0,所以λ<(2n+2)min=4, 所以实数λ的取值范围是(-∞,4). 5.答案　an=; 解析　设第n个正方形的边长为cn,则c1=1, 因为每一个正方形(从由外向内的第二个正方形开始)的四个顶点都恰好在它的外边最近正方形的四条边的一个三等分点上,所以A2B1=c1,B1B2=c1,又∠A2B1B2=90°,所以A2B2===c1,即c2=c1,同理可得cn+1=cn,即数列{cn}是首项为1,公比为的等比数列,所以cn=,所以第n个正方形的面积为an==. 因为{bn}满足++…+=2n2-n(n∈N+), 所以=2(n+1)2-(n+1)-(2n2-n)=4n+1=4(n+1)-3,所以=4n-3(n∈N+),则bn=(4n-3)·,所以bn+1-bn=(4n+1)-(4n-3)·=×, 所以b1<b2=b3,b3>b4>b5>…>bn>…, 所以数列{bn}的最大项为b2=b3=. 6.解析　(1)当n=1时, 当n=2时,a3=a2-b2+4=. (2)∵ ∴由①×2+②得2an+1+bn+1=4n+4,∴2an+bn=4n(n∈N+), 则bn=4n-2an,代入①得an+1=an-(4n-2an)+2n, 则an+1=3an-2n, ∴an+1-(n+1)-=3,且a1-1-=1, ∴数列是以1为首项,3为公比的等比数列, ∴an-n-=3n-1,∴an=3n-1+n+. 7.A　由题意得a1>0,q>1, 由a1+a2+a3=,++==+=,得=,所以a2=3(a2=-3舍去), 所以a1+a3=+3q=-3=, 整理得2q2-5q+2=0,解得q=2. 8.AC　由已知得a9a10=a9a9q=q<1,又a9>1,q>0, 所以0<q<1,0<a10<1,A正确,B错误; T17=(a1a17)(a2a16)(a3a15)…(a8a10)·a9=()8·a9=>1, T18=(a1a18)(a2a17)(a3a16)…(a8a11)·(a9a10)=(a9a10)9<1, 所以T17>1>T18,C正确,D错误. 9.D　原式可变形为a4·a8+ma7·a8=-2a6·a9+, 由等比数列的性质可得(m+2)a6·a9=, 易知a9≠0,所以m+2==q3.因为q∈(1,2),所以q3∈(1,8),则m∈(-1,6). 10.答案　 解析　因为{an}是各项均为正数的等比数列,且a2a3a4=a2+a3+9a4,所以-a3=a2+9a4≥2=6a3(当且仅当a2=9a4时取等号),即(-7)a3≥0,即≥7,所以a3≥,所以a3的最小值为. 11.ACD　对于A,因为a1=1>0,q>0且q≠1,所以an>0,an+1>0,an+1≠an,所以Cn是椭圆,A正确. 对于B,当Cn是椭圆时,易知q>0且q≠1,若q>1,则an+1>an,椭圆的离心率e===,得q=;若0<q<1,则an+1<an,椭圆的离心率e===,得q=,所以q的值为,B错误. 对于C,当Cn是双曲线时,显然q<0,故双曲线Cn的一条渐近线方程为y=x=x,令=,得q=-,C正确. 对于D,当n为偶数时,an<0,an+1>0,双曲线Cn的焦点在y轴上,则bn=2,当n为奇数时,an>0,an+1<0, 双曲线Cn的焦点在x轴上,则bn=2,所以b1+b2+…+b10=2+4(+++)+2=2+4×(+++)+2=2+4×(2+22+23+24)+2×25=2+4×30+64=186,D正确. 易错警示　本题中若等比数列的公比q=1,则有an+1=an,此时曲线Cn为圆. 12.答案　196 解析　设等比数列{an}的公比为q,q>0, 由a6+a5+a4-a3-a2-a1=49得a3q3+a2q3+a1q3-(a3+a2+a1)=49,即(a3+a2+a1)(q3-1)=49, 因为数列{an}是正项等比数列, 所以a3+a2+a1=,且q>1, 所以a9+a8+a7=a3q6+a2q6+a1q6=q6(a3+a2+a1)=·q6, 令q3-1=t(t>0)⇒q3=t+1, 所以a9+a8+a7=·q6=49≥49×=196,当且仅当t=,即t=1时取等号,此时q=,所以a9+a8+a7的最小值为196. 13.答案　19 解析　根据(an+1-an-1)(an+1-2an)=0可知an+1=an+1或an+1=2an. 当an+1=an+1时,数列{an}是以a1=1为首项,1为公差的等差数列,所以an=1+(n-1)×1=n, 则am=m=2 023,可得m=2 023. 当an+1=2an时,数列{an}是以a1=1为首项,2为公比的等比数列,所以an=1×2n-1=2n-1,则am=2m-1=2 023,解得m=1+log22 023,不合题意,舍去. 由a1=1得a2=2,若数列{an}为等差和等比交叉的数列,要使m的值最小, 则am=1+2 022,am-1=2 022,am-2=1 011,am-3=1 010,am-4=505,am-5=504,am-6=252,am-7=126,am-8=63,am-9=62,am-10=31,am-11=30,am-12=15,am-13=14,am-14=7,am-15=6,am-16=3,am-17=2,又a2=2,所以m-17=2,即m=19. 故正整数m的最小值为19. 14.解析　(1)当n=1时,a1=S1=(a1-1),∴a1=a. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1), 整理得=a, ∴数列{an}是以a为首项,a为公比的等比数列, ∴an=a·an-1=an. (2)由(1)知,bn=+1=,(*) 由数列{bn}是等比数列,得=b1b3,又b1=+1=3,故=3×, 即=3×,解得a=, 再将a=代入(*)式,得bn=3n. ∴=>==,满足条件①,又=,∴存在M≥满足条件②. 故数列为P数列. 15.解析　(1)∵a1+a2+a3+…+an=2n-an,∴a1=2-a1, ∴a1=1,∵a1+a2=4-a2,∴a2=, ∵a1+a2+a3=6-a3,∴a3=, ∴a1+a2+a3=1++=. (2)证明:∵a1+a2+a3+…+an=2n-an①, ∴a1+a2+a3+…+an+an+1=2n+2-an+1②, 由②-①,得2an+1-an=2,即an+1-2=(an-2), ∴log4|an+1-2|=log4=-+log4|an-2|, 即log4|an+1-2|-log4|an-2|=-, ∴数列{log4|an-2|}是首项为log4|a1-2|=0,公差为-的等差数列. (3)由(2)可得=,又a1-2=-1,所以an-2=-,所以an=2-,所以bn=, 则bn+1-bn=-==, 由bn+1-bn>0可得n≤1,由bn+1-bn<0可得n≥2, ∴b1<b2,b2>b3>b4>b5>…>bn>…,故{bn}的最大项为b2=,∴对任意n∈N+,都有bn≤, 若对任意n∈N+,都有bn+t≤成立, 则(bn)max≤-t,∴-t,解得t≤-1或t≥3, ∴实数t的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 3 学科网（北京）股份有限公司 $