5.2.1 等差数列（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 基础过关练 题组一　等差数列的定义及其应用 1.(多选题)(2024河南南阳华龙高级中学月考)下列数列中,是等差数列的是(　　) A.1,4,7,10　　　 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16 C.25,24,23,22　　　D.10,8,6,4,2 2.(2025四川成都第四十九中学校月考)由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,则下列说法正确的是(　　) A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 3.(2025福建福州闽侯第一中学月考)已知命题p:an+an+3=an+1+ an+2,命题q:数列{an}为等差数列,则p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(p,q∈R). (1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:数列{an+1-an}是等差数列. 题组二　等差数列的通项公式及其应用 5.(2025江苏南通海安高级中学月考)已知数列{an}为等差数列,且a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=9,则a6+a7=(　　) A.16　　　B.18　　　C.20　　　D.22 6.(2025河南商丘月考)已知等差数列{an}的首项为,若从第11项起每项都比1大,则其公差d的取值范围是(　　) A.　　　B. C.　　　D. 7.(2024天津宁河期末)已知数列{an}满足loan+1=loan+1,若a5=3,则a1=(　　) A.48　　　B.24　　　C.16　　　D.12 8.(2025山东烟台莱州第一中学月考)图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},则a100=(　　) 　 A.　　　B.1　　　C.10　　　D.100 9.(2024辽宁丹东凤城第一中学月考)已知数列{an}满足a1=,an-an+1=anan+1(n∈N+),则的最小值为(　　) A.　　　B.　　　C.16　　　D.18 10.(2024湖南长沙长郡中学开学考试)已知{an}为等差数列,a2=4,a6=16,若在数列{an}中每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第41项为　　　　.  11.(2024湖北武汉期末)设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=,Sn+1=2-. (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 题组三　等差数列的性质及其应用 12.(2025山东德州第一中学期中)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是(　　) A.8　　　B.6　　　C.4.5　　　D.3 13.(2025重庆联合诊断检测)已知等差数列{an}的前4项依次为a,3b,2,5b,则a9=(　　) A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8 14.(2025辽宁抚顺六校协作体联考)在公差大于0的等差数列{an}中,a2+a8=10,a3a7=-11,则该数列的公差为(　　) A.　　　B.　　　C.2　　　D.3 15.(2024山东菏泽第一中学月考)在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为(　　) A.30　　　B.27　　　C.24　　　D.21 16.(2025云南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)=x3+x,数列{an}是等差数列,且a1 013<0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 024)+f(a2 025)的值(　　) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定与0的大小关系 17.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间插入3项,构成新的等差数列{bn}. (1)若插入的第一组3项之和记为c1,第二组3项之和记为c2,……,c1,c2,…构成数列{cn},判断{cn}是不是等差数列,若是,求出通项公式,若不是,请说明理由; (2)在(1)的条件下,用an与cn表示bn. 能力提升练 题组一　等差数列的通项公式及其应用 1.(2024天津一中月考)如图1,一座斜拉索大桥共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列,如图2,已知拉索上端相邻两个针Pi,Pi+1(i=1,2,…,9)满足PiPi+1=4 m,拉索下端相邻两个针Ai,Ai+1(i=1,2,…,9)满足AiAi+1=18 m,最短拉索的针P1,A1满足OP1=84 m,OA1=78 m,以B10A10所在直线为x轴,OP10所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则最长拉索所在直线的斜率为(　　) A.± 　　　B.±　　　 C.±　　　D.± 2.(2024河北衡水第二中学期中)在数列{an}中,a1=2,(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),则an=(　　) A.-　　　B.3n2-n　　　C.2n-1+1　　　D. 3.(2025广东六校联合检测)将所有被3除余2的自然数从小到大排列,组成数列{an},所有被4除余1的自然数从小到大排列,组成数列{bn},这两个数列的公共项构成集合A,则集合A∩{m|m≤2 025,m∈N+}中元素的个数为(　　) A.167　　　B.168　　　C.169　　　D.170 4.(2025四川广安友谊中学月考)已知公差为d的等差数列{an}满足+=2,且a1≥1,则的取值范围为(　　) A.　　　B.　　　 C.[-1,1)　　　D.[-1,1] 5.(2025天津新华中学月考)已知正项数列{an}满足++…++=,且a1=a3,则a10=(　　) A.27　　　B.30　　　C.33　　　D.36 6.(2025浙江嘉兴期中)已知数列{an}满足10nan-9×10n-1an-1=9n(n≥2,n∈N+),且a1=,则{an}的通项公式为an=　　　　,{an}中的最大项的值为　　　　.  题组二　等差数列的性质及其应用 7.(2025四川眉山仁寿第一中学校月考)已知{an}是各项均为正数的等差数列,且a6+2a7+a10=20,则a7·a8的最大值为(　　) A.10　　　B.20　　　C.25　　　D.50 8.(2025江苏淮安清河中学阶段检测)已知等差数列{an}的公差不为0,a2 024=0,给定正整数m,使得对任意的n<m(m>2且n∈N+)都有a1+a2+…+an=a1+a2+…+am-n成立,则m=(　　) A.4 047　　　B.4 046　　　C.2 024　　　D.4 048 9.(2025湖北武汉第二中学月考)若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2,数列{an}的前n项和为Sn,且S1=,2Sn=nan+1,则f(ai)=(　　) A.76　　　B.38　　　C.19　　　D.0 10.(2024浙江金华十校月考)已知数列{an}的各项均为非负实数,且∀n≥2,n∈N+,均有an+1=an-an-1+n. (1)若a1,a2,a3成等差数列,证明:存在无穷多个正整数k,使得ak=k; (2)若a2a2 022=1,求a2 023的最大值. 题组三　等差数列的综合应用 11.(2025江苏南通期中)若函数f(x)=x|x-a|-1的3个零点按从小到大的顺序排列成等差数列,则a=　　(　　) A.2　　　B.　　　C.　　　D. 12.(2025四川新高考教研联盟联考)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列0,2,4,6,8,11,14,17,20,23,27,31,35,39,43,…,其中第1至5项构成公差为2的等差数列,第5至10项构成公差为3的等差数列,第10至15项构成公差为4的等差数列,依此类推,求满足如下条件的最小整数N,N>66且该数列的第N项为2的整数幂减1,那么该款软件的激活码是(　　) A.87　　 　B.94　　　 C.101　　　D.108 13.(2025湖南长沙第一中学月考)如图,曲线y=下面有一系列正三角形,设第n个正三角形Qn-1PnQn(n∈N+,Q0为坐标原点)的边长为an. (1)求a1,a2的值; (2)记Sn为数列{an}的前n项和,探究an+1与Sn的关系,并求{an}的通项公式; (3)是否存在正实数λ,使得不等式<λ2-λ对一切正整数n都成立?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.ABD　A中,因为4-1=7-4=10-7=3,所以该数列是等差数列;B中,因为lg 4-lg 2=lg 8-lg 4=lg 16-lg 8=lg 2,所以该数列是等差数列;C中,因为24-25≠23-24≠22-23,所以该数列不是等差数列;D中,因为8-10=6-8=4-6=2-4=-2,所以该数列是等差数列. 2.C　因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=d+d=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列. 3.C　对于数列0,1,0,1,0,1,…,满足an+an+3=an+1+an+2,但该数列不是等差数列,故充分性不成立;若数列{an}为等差数列,则一定有an+3-an+2=an+1-an,即an+an+3=an+1+an+2,故必要性成立,所以p是q的必要不充分条件. 4.解析　(1)若{an}是等差数列,则an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q是一个与n无关的常数,所以2p=0,即p=0,所以当p=0,q∈R时,数列{an}是等差数列. (2)证明:由(1)知an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,是一个与n无关的常数,所以数列{an+1-an}是等差数列. 5.C　设等差数列{an}的公差为d.因为a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=9,所以3a1+3d=3,3a1+6d=9,解得a1=-1,d=2, 所以a6+a7=2a1+11d=-2+22=20. 6.C　由题意得an=a1+(n-1)d=+(n-1)d. 因为从第11项起每项都比1大, 所以<d≤, 所以公差d的取值范围是. 7.A　由loan+1=loan+1得loan+1-loan=1, 所以数列{loan}是公差为1的等差数列, 所以loa5=loa1+4=lo3, 所以loa1=lo3-4=lo3-lo=lo48, 所以a1=48. 8.C　由已知得OAn=,即O-O=1, 因为OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an}, 所以-=1(n≥2), 则数列{}是公差为1的等差数列,且首项=1, 所以=1+(n-1)×1=n,所以an=,所以a100=10. 9.C　易知an≠0.∵an-an+1=anan+1(n∈N+), ∴-=1,∴数列=10为首项,1为公差的等差数列, ∴=10+(n-1)×1=n+9,∴an=, ∴==n++10≥2+10=16,当且仅当n=,n∈N+,即n=3时取等号,故的最小值为16. 10.答案　31 解析　设等差数列{an}的公差为d,则d===3,所以a1=4-3=1. 设新的等差数列为{bn},则首项b1=1,公差为=,所以bn=1+(n-1)=n+, 故b41=×41+=31. 11.解析　(1)证明:由Sn+1=2-,可得Sn+1-1=1-=,则=, 所以-=-==1, 因为S1=a1=,所以=2, 所以数列是首项为2,公差为1的等差数列. (2)由数列是首项为2,公差为1的等差数列,可得=2+(n-1)×1=n+1,所以Sn=+1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+1-=-, 因为a1=不满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an= 12.D　由已知得m+2n=8,2m+n=10,∴m=4,n=2, ∴2m-n和2n-m的等差中项是==3. 13.A　设等差数列{an}的公差为d. 由题意得3b+5b=2×2=4,解得b=, 所以d=2-3b=,所以a9=a3+6d=2+6×=5. 14.D　由a2+a8=10,得a3+a7=10,又a3a7=-11,所以a3=-1,a7=11或a3=11,a7=-1,又等差数列{an}的公差大于0,所以a3=-1,a7=11,所以公差为==3. 15.B　解法一:设数列{an}的公差为d. 因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13, 因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11, 所以d=a5-a4=-2,所以a6=a5+d=9, 所以a3+a6+a9=3a6=27. 解法二:由等差数列的性质可得a1+a3=2a2,a4+a6=2a5,a7+a9=2a8,所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27. 16.B　易知函数f(x)在R上单调递增且为奇函数. 因为数列{an}是等差数列,所以a1+a2 025=2a1 013<0,所以a1<-a2 025,所以f(a1)<f(-a2 025)=-f(a2 025), 所以f(a1)+f(a2 025)<0. 同理, f(a2)+f(a2 024)<0,f(a3)+f(a2 023)<0,……, f(a1 013)+f(a1 013)<0,所以f(a1 013)<0, 所以f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 024)+f(a2 025)<0. 17.解析　(1)由题意可知an=2+8(n-1)=8n-6. 设an与an+1之间插入的3项为,,, 因为an,,,,an+1为等差数列, 所以===8n-2, 则cn=++=3=24n-6. 易得cn+1-cn=(24n+18)-(24n-6)=24,且c1=18, 所以数列{cn}是以18为首项,24为公差的等差数列,且cn=24n-6. (2)由题意可知数列{bn}是首项为a1=2,公差为=2的等差数列,则bn=2+(n-1)×2=2n. 由(1)知an=8n-6,cn=24n-6,所以bn=(cn-an). 能力提升练 1.B　由题意知OPi,OBi(i=1,2,3,…,10)的长度(单位:m)分别构成公差为4和18的等差数列,所以OP10=OP1+9×4=84+9×4=120(m),OB10=OB1+9×18=78+9×18=240(m),所以P10(0,120),B10(-240,0),A10(240,0),故==,==-,即最长拉索所在直线的斜率为±. 2.A　由(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),得anan-1+2an+1=0,即an(an-1+2)=-1,所以an-1+2≠0,an≠0, 所以an+1=(n≥2),两边取倒数得=+1,所以数列=,公差为1的等差数列,所以=+n-1=, 所以an=-1===-. 3.C　由题意知,数列{an}为2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,…, 数列{bn}为1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,…, 将集合A中的元素从小到大排列,组成数列{cn},则数列{cn}为5,17,29,…, 易知数列{cn}是首项为5,公差为12的等差数列,所以cn=5+12(n-1)=12n-7. 令cn=12n-7≤2 025,得n≤=169+, 所以集合A∩{m|m≤2 025,m∈N+}中元素的个数为169. 4.A　易得+=+(a1+3d)2=2+9d2+6a1d=2. 设k=,则d=a1k,所以2+9(a1k)2+6a1·a1k=(9k2+6k+2)=2,所以=. 因为a1≥1,所以≥1,所以≥1, 故-1=-≥0. 因为9k2+6k+2=(3k+1)2+1>0,所以9k2+6k≤0, 即3k(3k+2)≤0,解得-≤k≤0, 所以. 5.A　当n=1时,+=,所以a2=. 因为++…++=①, 所以当n≥2时,++…++=②. ①-②,得+-=0, 两边同乘3anan+1,得3+an-an+1=0,即an+1-an=3, 所以当n≥2时,数列{an}是公差为3的等差数列,所以a3=a2+3,又a2=,所以a3=, 又a1=a3,所以a1=,整理得-5a1-6=0,即(a1-6)(a1+1)=0. 因为数列{an}是正项数列,所以a1=6,所以a3=6,所以a10=6+7×3=27. 6.答案　(n+1); 解析　由10nan-9×10n-1an-1=9n(n≥2,n∈N+),可得-=1(n≥2,n∈N+),又=2,所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,则an=(n+1). 设an(n≥2,n∈N+)是最大项, 则 解得8≤n≤9,又n∈N+,所以n=8或n=9, 又a8=a9=,所以{an}中的最大项的值为. 7.C　∵a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7=2a8+2a7=20,∴a7+a8=10,由已知得a7>0,a8>0,∴a7·a8≤==25,当且仅当a7=a8=5时等号成立,故a7·a8的最大值为25. 8.A　若n>m-n,由题意知am-n+1+am-n+2+…+an=0, 由等差数列的性质可得am-n+1+an=0, 因为公差不为0,且a2 024=0,所以m-n+1+n=2×2 024=4 048,所以m=4 047. 若n<m-n,则an+1+an+2+…+am-n=0, 由等差数列的性质可得an+1+am-n=0, 同理,n+1+m-n=2×2 024=4 048,所以m=4 047. 综上,m=4 047. 9.B　易知函数f(x)的定义域为(0,2),f(2-x)+f(x)=(1-x)3+2(1-x)-ln+2+(x-1)3+2(x-1)-ln+2=4,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称,所以∀x1,x2∈(0,2),若x1+x2=2,则f(x1)+f(x2)=4. 因为2Sn=nan+1①,所以当n≥2时,2Sn-1=(n-1)·an②, ①-②,得2an=nan+1-(n-1)an,即nan+1=(n+1)an, 所以=(n≥2). 因为2Sn=nan+1,所以当n=1时,2S1=a2,即2a1=a2,即=,满足=,所以对任意的正整数n,都有=,所以数列为常数列,所以===,所以an=,所以an+1-an=, 所以数列{an}是等差数列, 所以a1+a19=a2+a18=…=a9+a11=2a10=2, 所以f(a1)+f(a19)=f(a2)+f(a18)=…=2f(a10)=4, 所以f(ai)=4×9+f(a10)=38. 10.解析　(1)证明:由an+1=an-an-1+n得an+3=an+2-an+1+n+2=an+1-an+n+1-an+1+n+2=2n+3-an, 则an+6=2(n+3)+3-an+3=an+6,故{an}中序号相差6的项形成的子数列是以6为公差的等差数列. 因为a1,a2,a3成等差数列,所以2a2-a1=a3=a2-a1+2,解得a2=2,所以a3=4-a1,a4=a3-a2+3=5-a1,a5=a4-a3+4=5,a6=a5-a4+5=a1+5, 又an+6=an+6,所以an+6m=an+6m(m∈N), 当n=2时,a2+6m=2+6m,当n=5时,a5+6m=5+6m, 所以当k=6m+2或k=6m+5(m∈N)时,ak=k恒成立. (2)由(1)可知a3=a2-a1+2,a4=5-a1,a5=7-a2,a6=7+a1-a2=9-a3,又an+6m=an+6m(m∈N), 所以a2 022=a6+2 016=2 025-a3,a2 023=a1+2 022, 又a2a2 022=1,所以a2===a3+a1-2,则a1=-a3+2=+2 025-a3-2 023, 又因为数列{an}的各项均为非负实数,所以a3≥0,由a6=9-a3≥0,得0≤a3≤9,故2 016≤2 025-a3≤2 025, 由对勾函数的单调性易知当2 025-a3=2 025时,(a1)max=2, 所以(a2 023)max=(a1)max+2 022=2 024. 11.B　令f(x)=x|x-a|-1=0,显然x=0不是方程的根,故|x-a|=, 要使f(x)=x|x-a|-1有3个零点,则x>0,a>0, 设f(x)的3个零点分别为x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3, 在同一平面直角坐标系中作出y=|x-a|和y=(x>0)的图象,如图: 由图可知,=x-a有一个根x3,=-x+a有两个根x1,x2,即x2-ax-1=0在(0,+∞)上有一个解x3,x2-ax+1=0在(0,+∞)上有两个解x1,x2, 故x3=,x1=,x2=, 易得x1+x3=2x2, 故+=2×, 整理可得=3,解得a=±, 又a>0,故a=. 12.B　设该数列为{an},由题意可知a5=8, a10=a5+5×3=8+5×3, a15=a10+5×4=8+5×3+5×4, a20=a15+5×5=8+5×3+5×4+5×5, …… a5n=8+5×3+5×4+5×5+…+5(n+1)(n≥2,n∈N+), 所以a5n=8+5(3+4+5+…+n+1)=+8, 易知当n=17时,a85=848,此时第85至90项构成公差为19的等差数列,所以a87=848+19×2=886=210-138,不符合题意;当n=18时,a90=943,此时第90至95项构成公差为20的等差数列,所以a94=943+20×4=1 023=210-1,符合题意;当n=20时,a100=1 148,此时第100至105项构成公差为22的等差数列,所以a101=1 148+22=1 170=211-878,不符合题意;当n=21时,a105=1 258,此时第105至110项构成公差为23的等差数列,所以a108=1 258+23×3=1 327=211-721,不符合题意. 故该款软件的激活码是94. 13.解析　(1)因为△Q0P1Q1为正三角形,且Q0Q1=a1>0,所以P1,又因为点P1在曲线y=上,所以a1=,所以a1=. 因为△Q1P2Q2为正三角形,且Q1Q2=a2>0,所以P2,又因为点P2在曲线y=上,所以a2=,所以3-2a2-=0,解得a2=(负值舍去), 所以a1=,a2=. (2)由题可得△QnPn+1Qn+1是正三角形,点Qn(Sn,0),QnQn+1=an+1>0,故点Pn+1, 因为点Pn+1在曲线y=上, 所以an+1=,即Sn=-an+1①, 当n≥2时,Sn-1=-an②, ①-②,得an=-an+1-(n≥2),整理得(an+1+an)(an+1-an)=(an+1+an)(n≥2), 又an+1+an>0,所以an+1-an=(n≥2), 又a2-a1=,满足上式,所以an+1-an=,n∈N+, 故数列{an}是首项为,公差为的等差数列,所以an=n. (3)结合(2)得=, 所以=×××…××. 令f(n)=×××…××,n∈N+,则f(n+1)=×××…×××. 因为 ===<1, 所以f(n)单调递减,所以f(n)max=f(1)=. 因为不等式<λ2-λ对一切正整数n都成立,所以λ2-λ>,即3λ2-4λ-4>0,即(3λ+2)(λ-2)>0. 又λ为正实数,所以λ的取值范围为(2,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $