5.1.1 数列的概念（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

第五章　数列 5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 基础过关练 题组一　对数列概念的理解 1.下列说法正确的是(　　) A.数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8} B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列 C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 2.(2025四川眉山仁寿一中月考)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1,,,,… B.sin,sin,sin,… C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 题组二　数列的通项公式及其应用 3.(2024广东广州期末)数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=(　　) A.(-1)n+1(3n-1)　　　B.(-1)n(3n-1) C.(-1)n+1(n2+1)　　　D.(-1)n(n2+1) 4.(多选题)(2025黑龙江哈尔滨第二十四中学校期中)若数列{an}满足an=-3n+10,则下列说法正确的是(　　) A.{an}为递减数列　　　B.a3a4>0 C.a5-a2=9　　　 D.|a1|<|a6| 5.(2025辽宁县域重点高中期中)已知数列,3,2,,…,则是该数列的(　　) A.第8项　　　B.第9项　　　C.第10项　　　D.第11项 6.(2025河南多校联考)已知数列{an}的通项公式为an=n2+b,且2和7是{an}中的两项,则b=(　　) A.-3　　　B.-2　　　 C.1　 　　D.3 7.(2024辽宁教研联盟调研)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则该数列的第18项为(　　) A.200　　　B.162　　　 C.144　　　D.128 8.(教材习题改编)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.  9.(教材习题改编)写出下列各数列的一个通项公式: (1),,,,,…; (2)-1,,-,,…; (3)2,,,,,…; (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…. 10.已知数列{an}的一个通项公式为an=n2-7n+6(n∈N+). (1)这个数列的第4项是多少? (2)150是不是这个数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由; (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 题组三　数列与函数的关系 11.(多选题)(2024四川广安第二中学校月考)已知数列{an}的通项公式为an=,则(　　) A.数列{an}为递增数列 B.a4+a8=2a6 C.a5为最小项 D.a6为最大项 12.(2025辽宁辽南协作校期中)已知数列{an}的通项公式为an=n+,则它的前50项中的最小项是(　　) A.a50　　　B.a46　　　C.a45　　　D.a44 13.(2024福建厦门一中月考)已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),数列{an}满足an=f(n),n∈N+,则“{an}为递增数列”是“f(x)为增函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.(2025黑龙江哈尔滨第三中学校月考)已知数列{an}的通项公式为an=n·3n+(2n+1)λ,若{an}为递增数列,则λ的取值范围为(　　) A.　　　B. C.(0,+∞)　 　　D.[0,+∞) 15.已知k>0且k≠1,函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),且{an}是递增数列,则实数k的取值范围是　(　　) A.(1,+∞)　　　B.(2,+∞) C.(1,3)　　　D.(3,+∞) 16.在数列{an}中,an=1+,且a6为{an}的最大项,则实数m的取值范围是　　　　.  答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　A中,{2,4,6,8}表示集合,不是数列;B中,虽然两个数列中包含的数相同,但数的排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的,也可以是无限的. 2.C　对于A,1>>>>…,所以数列1,,,,…是递减数列,故A不符合题意;对于B,sin=sin,所以数列sin,sin,sin,…不是递增数列,是摆动数列,故B不符合题意;对于C,-1<-<-<-<…,所以数列-1,-,-,-,…是递增数列,且是无穷数列,故C符合题意;对于D,数列1,,,…,是有穷数列,故D不符合题意. 3.C　对于A,当n=3时,(-1)n+1(3n-1)=8≠10,舍去; 对于B,当n=1时,(-1)n(3n-1)=-2≠2,舍去; 对于D,当n=1时,(-1)n(n2+1)=-2≠2,舍去; 对于C,经检验,数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an= (-1)n+1(n2+1). 4.AD　易知an+1-an=-3(n+1)+10+3n-10=-3<0,所以an+1<an,所以{an}为递减数列,故A正确;易知a3=1,a4=-2,则a3a4<0,故B错误;易知a5=-5,a2=4,则a5-a2=-9,故C错误;易知a1=7,a6=-8,则|a1|<|a6|,故D正确. 5.C　因为=,3=,2=,=,……,所以该数列的一个通项公式为an=. 令=,解得n=10. 6.B　设ak=k2+b=2,am=m2+b=7,k,m∈N+,且k<m, 则am-ak=m2-k2=(m-k)(m+k)=7-2=5. 因为k,m∈N+,且k<m,所以 所以a2=4+b=2,解得b=-2. 7.B　题中所给数列的偶数项分别为2,8,18,32,50,…, 即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25,…,记为{an},则偶数项构成的数列对应的一个通项公式为an=2n2. 易知原数列的第18项为{an}的第9项, 又a9=2×92=2×81=162,故原数列的第18项为162. 8.答案　61 解析　由题图得f(1)=1, f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3, f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7, 故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1, 所以f(6)=2×6×5+1=61. 9.解析　(1)数列中每一项的分子比分母小1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,所以数列的一个通项公式为an=. (2)数列的奇数项为负,偶数项为正.把-1看成-,则各项的绝对值的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1,分子依次为3,8,15,24,…,可化为1×3,2×4,3×5,4×6,…,可写成n(n+2),所以数列的一个通项公式为an=(-1)n·. (3)数列可写成,,,,,…,所以数列的一个通项公式为an=. (4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以数列的一个通项公式为an=n+. 10.解析　(1)a4=42-7×4+6=-6. (2)令an=n2-7n+6=150(n∈N+),即(n-16)(n+9)=0,解得n=16或n=-9(舍去),故150是数列{an}中的项,且为第16项. (3)令an=n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,又n∈N+,所以该数列从第7项开始各项都是正数. 11.CD　an==+, 当n>5,n∈N+时,an>0,且单调递减;当n≤5,n∈N+时,an<0,且单调递减,所以a5为最小项,a6为最大项,故C,D正确,A错误. a4+a8=+=0,a6==3,a4+a8≠2a6,故B错误. 12.D　因为an=n+,所以a1=1+,a2=2+,a49=49+,a50=50+,所以a1>a2,a49<a50. 设数列{an}的前50项中第k项最小,2≤k≤49,k∈N+,则 所以 解得k=44,即该数列的前50项中的最小项是a44. 13.B　不妨取f(x)=x2-x,x≥1,即an=n2-n,n∈N+,因为an+1-an=-=2n->0对任意的n∈N+恒成立,所以数列{an}为递增数列,但函数f(x)=x2-x在[1,+∞)上不单调; 若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则对任意的n∈N+, f(n+1)>f(n),即an+1>an,故数列{an}为递增数列. 因此“数列{an}为递增数列”是“函数f(x)为增函数”的必要不充分条件. 14.A　因为{an}为递增数列,所以an+1>an,所以(n+1)·3n+1+(2n+3)λ>n·3n+(2n+1)λ,化简可得λ>-. 因为y=2x+3,y=3x在(0,+∞)上均单调递增,且恒大于0,所以y= -在(0,+∞)上单调递减. 因为n∈N+,所以当n=1时,=-,所以λ>-. 15.D　由题意知an=因为{an}是递增数列,所以解得k>3,所以实数k的取值范围是(3,+∞). 16.答案　(-11,-9) 解析　令y=1+,其大致图象如图: ∵a6为{an}的最大项,∴5<<6, ∴-11<m<-9. 11 学科网（北京）股份有限公司 $