5.1.1 第2课时 数列与函数的关系 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知an＋1－an＝11(n∈N＋)，则数列是(　　)

A．递增数列    B．递减数列

C．常数列    D．以上选项都不对

解析：选A．由题意可知an＋1－an＝11>0，即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列．故选A．

2．已知an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是(　　)

A．a12    B．a13

C．a12或a13    D．a10或a11

解析：选C．an是关于n的二次函数，其图象的对称轴为直线x＝.因为n∈N＋，所以a12或a13是数列{an}的最大项．故选C．

3．已知函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 025＝(　　)

A．1    B．2

C．4    D．5

解析：选D．根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 025＝x3＝5.故选D．

4．已知数列的通项公式为an＝n2＋kn，则“k>－3”是“为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件

D．充要条件

解析：选D．数列的通项公式为an＝n2＋kn，若为递增数列，则an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)＝2n＋1＋k>0对于任意n∈N＋恒成立，

即k>－2n－1对于任意n∈N＋恒成立，故k>(－2n－1)max＝－3，则“k>－3”是“为递增数列”的充要条件．故选D．

5．已知函数f(x)＝x＋，设an＝f(n)，则下列说法中错误的是(　　)

A．是无穷数列    B．是递增数列

C．不是常数列    D．中有最大项

解析：选D．对于A ，显然是无穷数列，故A正确；对于B，因为an＋1－an＝n＋1＋－n－＝1－>0，即an＋1>an，即是递增数列，故B正确；对于C，因为a1＝2，a2＝2＋＝，a1≠a2，故不是常数列，故C正确；对于D，由B知，是递增数列，当n趋近于正无穷大时，an＝n＋也趋近于正无穷大，所以中无最大项，故D错误．故选D．

6．(多选)如果数列为递增数列，则的通项公式可以为(　　)

A．an＝    B．an＝2n－1

C．an＝2n2－5n    D．an＝2n－1

解析：选BCD．对于A，可知a1＝2，a2＝1，故不是递增数列，故A不符合；对于B，an＋1－an＝2n＋1－＝2>0，故是递增数列，故B符合；对于C，an＋1－an＝22－5－＝4n－3>0，故是递增数列，故C符合；对于D，an＋1－an＝2n＋1－1－＝2n>0，故是递增数列，故D符合．故选BCD．

7．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________．

解析：符合条件的数列有：，，，….

答案：(答案不唯一)

8．若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则这个数列中的最大项是第________项．

解析：an＝ ＝ ，

因为n＋≥2＝28，

当且仅当n＝14时，n＋有最小值28，

所以当n＝14时，取得最大值.

答案：14

9．已知函数f(x)＝x2，定义数列{an}如下：an＋1＝f(an)，若给定a1的值，得到无穷数列{an}，且满足对任意的正整数n，均有an＋1＞an，则a1的取值范围是________．

解析：由题意，知an＋1＝f(an)＞0，即数列{an}从第二项开始各项均为正数．因为an＋1＞an，所以a＞an，当n＝2时，a＞a2，解得a2＞1，

所以a2＝a＞1，解得a1＜－1或a1＞1.

答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)

10．已知数列的通项公式是an＝，判断该数列是递增数列还是递减数列，并求出这个数列的最小项．

解：令2n－7≥0，则n≥，故当n<时，2n－7<0，所以an＝故该数列既不是递增数列也不是递减数列，

又a1>a2>a3＝a4＝1<a5<…<an，

故数列的最小项为第3，4项，即a3＝a4＝1.