5.4 数列的应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列的应用，涵盖等额本金与等额本息还款法、政府支出乘数效应及解决实际问题的建模思路，通过贷款还款、垃圾治理等实际问题导入，衔接等差与等比数列知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，如垃圾治理典例，引导学生用数学眼光观察现实数量关系，用数学思维构建等差等比模型，用数学语言推导公式。采用问题驱动教学，助力学生发展建模能力与应用意识，教师可借助实例提升教学实效。

5.4　数列的应用 知识点 1 分期还款与数列 知识 清单破 1.等额本金还款法 “等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组 成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总 额的差乘以利率.因此这种方式中,每期还款金额= +(贷款本金-已还本金总额)×利 率. 第五章　数列 高中同步 2.等额本息还款法 “等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还,因此每一期所还钱数相 等,即a1=a2=…=am(打算分成m期偿还). 如果记现在的A0元相当于n年后的A元,银行存款的年利率为r(r>0)且每年结算一次利息(不计 利息税),则A0(1+r)n=A,即A0= . 　　经济学上,一般称A0为A的现值,而A为A0的未来值.如果用“等额本息还款法”分m期进 行还款,设贷款时的资金A0元为现值,且每一期所还钱数为x元,则: 　　第1期所还钱的现值为 元; 　　第2期所还钱的现值为 元; 　    …… 第五章　数列 高中同步 　　第m期所还钱的现值为 元. 　　因为最后还款的现值总和应为A0元, 　　所以 + +…+ =A0, 　　又因为r>0,所以由等比数列前n项求和公式可解得x= . 　　如果政府的支出增加,那么就会产生“乘数”效应. 知识点 2 政府支出的“乘数”效应与数列 第五章　数列 高中同步 疑难 情境破 讲解分析 疑难 数列的应用 应用数列知识解决实际问题的一般思路 (1)建模.根据题设条件,建立数列模型:当实际问题中的各量之间依次增加(减少)相同的数值 时,可考虑构建等差数列模型;当实际问题中的各量之间依次以相同的倍数变化时,则考虑构 建等比数列模型. (2)解模.利用相关的数列知识解决:①分清首项、公差(公比)、项数等;②分清是求an还是求 Sn;③选用适当的方法求解. (3)还原.把数学问题的解代回实际问题中,根据实际问题的约束条件合理修正,使其成为实际 问题的解. 第五章　数列 高中同步 典例　治理垃圾是某地区改善环境的重要举措.已知去年该地区产生的垃圾量为200万吨,通 过扩大宣传、环保处理等一系列措施,预计从今年开始,连续5年,每年的垃圾排放量比上一年 减少20万吨,从第6年开始,每年的垃圾排放量为上一年的75%. (1)写出该地区的年垃圾排放量(单位:万吨)关于治理年数n(n∈N+)的表达式; (2)设An为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量(单位:万吨),证明数列{An}为递减数列; (3)至少经过几年的治理,该地区的年平均垃圾排放量能够低于100万吨? 第五章　数列 高中同步 解析    (1)设治理n年后,该地区的年垃圾排放量(单位:万吨)构成数列{an}. 当n≤5时,数列{an}是首项a1=200-20=180,公差d=-20的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=180-20(n-1)=200-20n; 当n≥6时,数列{an}是首项为a6=(200-20×5)× =75,公比q= 的等比数列, 所以an=a6qn-6=100× . 所以该地区的年垃圾排放量(单位:万吨)关于治理年数n(n∈N+)的表达式为an=   (2)证明:设Sn为数列{an}的前n项和,则An= ,则An+1-An= - =  第五章　数列 高中同步 = =  = . 由(1)知,当1≤n≤5时,an=200-20n,所以{an}为递减数列, 当n≥6时,an=100× ,所以{an}为递减数列,且a6<a5, 所以{an}为递减数列,于是an+1-a1<0,an+1-a2<0,……,an+1-an<0, 因此An+1-An<0,即An+1<An, 所以数列{An}为递减数列. (3)因为{An}是递减数列,且A5=140>100, 所以5年内该地区的年平均垃圾排放量不可能低于100万吨. 当n≥6时,因为S5=700, 第五章　数列 高中同步 所以An= = . 因为A9= >100, A10=100-30× <100, 所以至少经过10年的治理,该地区的年平均垃圾排放量能够低于100万吨. 第五章　数列 高中同步 $