5.3.1 等比数列（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列，系统涵盖定义、通项公式、性质、判定方法及构造等比数列求通项等核心内容，通过对比等差数列引入，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建数列知识体系。 其亮点在于以知识辨析深化概念理解，通过典例解析展示定义法、等比中项法等判定思路，结合构造辅助数列等方法培养数学思维。如通过递推关系证明数列是等比数列，体现逻辑推理与数学建模素养，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 知识点 1 等比数列的定义 知识 清单破 　　一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即 =q 恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的公比. 第五章　数列 高中同步 知识点 2 等比数列的通项公式 1.等比数列的通项公式 　　一般地,如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q,那么等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1. 2.等比数列的通项公式与指数函数的关系 　　若数列{an}是等比数列,首项为a1,公比为q,则an=a1qn-1= ×qn,所以如果记f(x)= ×qx,则可 以看出an=f(n),而且(1)当公比q=1时, f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此公比为1的 等比数列是常数列); (2)当公比q≠1时, f(x)是 与y=qx的乘积,此时, f(x)的增减性既与a1有关,也与q有关. 　　由任何一个非零实数的偶数次方一定是正数可知,等比数列中,所有序号为奇数的项的 符号相同,所有序号为偶数的项的符号相同. 第五章　数列 高中同步 知识点 3 等比数列的性质 1.等比中项 　　如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的等比中项,其中G=± . 　　在一个等比数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项. 2.一般地,如果{an}是等比数列,而且正整数s,t,m,n满足s+t=m+n,则asat=aman.特别地,如果2s=m+ n,则 =aman. 3.若{an}是公比为q的等比数列,则数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列,数列 是公比为  的等比数列,数列{ }是公比为q2的等比数列,数列{|an|}是公比为|q|的等比数列. 第五章　数列 高中同步 4.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列{anbn}与 也都是等比数列, 公比分别为pq和 . 5.在等比数列{an}(公比为q)中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…(n, k∈N+)为等比数列,公比为qk. 　　特别地,等比数列的奇数项、偶数项分别组成一个等比数列,新数列的公比为原数列的 公比的平方. 6.对于公比为q的等比数列{an},若将其前k(k∈N+)项去掉,则剩余各项依次构成等比数列,首项 为ak+1,公比为q;数列{an}中所有序号为k(k∈N+)的倍数的各项,依次构成的数列仍为等比数列, 首项为ak,公比为qk. 第五章　数列 高中同步 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.若an+1=qan,n∈N+,且q≠0,则{an}是等比数列. (　    ) 1.✕　当a1=0时,an=0(n∈N+),此时{an}不是等比数列. 2.2和8的等比中项是4. (　    ) 2.✕　应该是±4,可以说4是2和8的等比中项. 3.若等比数列{an}的公比q>1,则数列{an}为递增数列. (　    ) 3.✕　当a1>0且q>1时,{an}为递增数列. 4.常数列既是等差数列又是等比数列.(　    ) 4.✕　非零常数列既是等差数列又是等比数列. 5.在等比数列{an}中,a2a3a12=a4a6a7.(　    ) 提示 ✕ 提示 ✕ 提示 ✕ 提示 ✕ √ 第五章　数列 高中同步 疑难 1 等比数列的判定(证明) 疑难 情境破 讲解分析 判定一个数列是等比数列的方法 (1)定义法:若数列{an}满足 =q(q为常数且不为0)或 =q(n≥2,q为常数且不为0),则数列 {an}是等比数列. (2)等比中项法:对于数列{an},若 =anan+2且an≠0,则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=kqn(k,q都是不为0的常数),则数列{an}是等比数列. 　　其中,定义法和等比中项法可作为证明一个数列是等比数列的依据. 第五章　数列 高中同步 典例　已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn. (1)若数列{an}为等差数列,求Sn; (2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列{an+bn}和{an-bn}均为等比数列. 解析    (1)由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1, 又a1=2,b1=1,所以a2=4. 因为数列{an}为等差数列,所以该数列的公差为a2-a1=2,所以Sn=2n+ ×2=n2+n. (2)证明:当n≥2时,an=a1+2Tn-1, 因为Tn-Tn-1=bn,所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn,同理可得bn+1=bn+2an, 则an+1+bn+1=3(an+bn), 所以 =3(n≥2),① 又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5, 第五章　数列 高中同步 所以 = =3,满足①式, 所以数列{an+bn}是以3为首项,3为公比的等比数列. 因为an+1-bn+1=-(an-bn),所以 =-1(n≥2)②,又 = =-1,满足②式, 所以数列{an-bn}是以1为首项,-1为公比的等比数列. 易错警示 用 =q(q是常数且不为0,n≥2)证明等比数列时,要保证 =q,否则不满足等比数列的定义. 第五章　数列 高中同步 疑难 2 等比数列通项公式的求解及应用 讲解分析 1.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1(q≠0)中含有四个量:a1,q,n,an,可知三求一. 2.等比数列通项公式的变形 (1)an=amqn-m(m,n∈N+),表明已知等比数列{an}中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的任意 一项an; (2)qn-m= (m,n∈N+),表明已知等比数列{an}中的任意两项an和am,可以求出公比q. 第五章　数列 高中同步 3.构造等比数列求数列的通项公式 　　当数列{an}不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等 比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有: (1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化归为an+1- =c ,当a1- ≠0时,数列 为等 比数列;也可消去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N+),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2 -a1≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列. (2)an+1=p (p>0,an>0),两边同时取常用对数,得lg an+1=mlg an+lg p,令bn=lg an,得bn+1=mbn+lg p,即 为(1)中类型,求出bn后,得an=1 . (3)an+2=pan+1+man(pm≠0),设an+2-kan+1=h(an+1-kan),比较系数可得h+k=p,-hk=m,从而求出h,k,于是 {an+1-kan}是公比为h的等比数列,即为(1)中类型. 第五章　数列 高中同步 (4)an+1=can+kn+b(c≠1,ckb≠0)可化归为an+1+ (n+1)+ + =c an+ n+ +   ,当a1+ + ≠0时,数列 是等比数列. (5)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化归为an+1- =c 或将递推公式两边同除以dn+1化为 (1)中类型或两边同除以cn+1,累加求通项.若c=d,则可化归为 - = ,即 为等差数列. (6)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化归为an+1- =c +dn,即(5)中类型. 第五章　数列 高中同步 典例    (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列,则这四个数的和 是　　　    ; (2)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式为an=　     　　　　　    ; (3)若数列{an}满足an+1=λan+3n,且数列 是等比数列,则实数λ的值为　　　    . 45 0或2 第五章　数列 高中同步 解析    (1)设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3, 则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列, 即  整理得 解得  因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45. (2)由an+1=2an+3an-1(n≥2),可得an+1+an=3(an+an-1),即 =3,所以{an+1+an}是以a1+a2=3为首项, 3为公比的等比数列, 所以an+1+an=3×3n-1=3n, 则 + · = . 第五章　数列 高中同步 不妨令cn= , 则cn+1+ cn= , 所以cn+1- =-  ,即 =- , 又c1- = - = ,所以数列 是首项为 ,公比为- 的等比数列, 所以 - =cn- = × , 所以an= . (3)①若λ=0,则 = ,可得 -1=- ,此时数列 为等比数列; 第五章　数列 高中同步 ②若λ≠0,在等式an+1=λan+3n两边同时除以3n+1可得 = + = · + , 因为数列 为等比数列,所以可设 -1= · , 则 -1= · - , 即 = · - +1, 则1- = ,解得λ=2. 综上所述,λ=0或λ=2. 第五章　数列 高中同步 方法总结 在解决等比数列问题的过程中,需要设未知量,为了减少未知数的个数,常采用以下技巧: (1)当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为 ,a,aq(a≠0,q≠0). (2)当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为 ,a,aq,aq2(a≠0,q≠0).四个符号相同的数成 等比数列,可设为 , ,aq,aq3(a≠0,q≠0). 第五章　数列 高中同步 疑难 3 等比数列的性质及其应用 讲解分析 1.解决与等比数列有关的问题时,若按常规的解题方法,则需建立关于首项和公比的方程组求 解,常常涉及次数较高的指数运算,使得运算量比较大,如果结合等比数列的有关性质来求解, 那么会起到化繁为简的效果. 2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 第五章　数列 高中同步 典例    (1)在等比数列{an}中,a1a3+2a2a6+a5a7=12,则a2+a6= (　    ) A.2 　　    B.±2 　　    C.-2 　　    D.-12 (2)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=　　　    . 5  B 解析    (1)由a1a3+2a2a6+a5a7=12,得 +2a2a6+ = =12,所以a2+a6=±2 . (2)解法一:因为{an}是等比数列, 所以a1a7= ,a2a8= ,a3a9= , 所以   =(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)=(a1a2a3)·(a7a8a9)=5×10=50. 因为an>0, 所以a4a5a6=5 . 解法二:因为a1a2a3= =5, 所以a2= . 因为a7a8a9= =10,所以a8= . 同理,a4a5a6= =(a2a8 =( ×1  =5 =5 . 第五章　数列 高中同步 $