第05讲 等比数列（5个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第05讲 等比数列 课程标准 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列通项公式的意义． 3.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 1.能叙述等比数列和等比中项定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列； 2.探索并记忆等比数列的通项公式，能够应用它解决等比数列的问题； 3.在学习和运用等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 知识点01 等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一常数q,_即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． 【解读】 （1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项； （2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列； （3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列； （4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比； （5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 【即学即练1】下列数列为等比数列的是(　　) A．2,22,3×22，…　　　　　 B．，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，… 【答案】B 【解析】A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义. 知识点02 等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么等比数列的通项公式为an＝a1qn－1. 【解读】 (1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． (2)等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． 【即学即练2】（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 【答案】128 【分析】由地推公式得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式得到的值. 【详解】∵， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 故答案为：128. 知识点03等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 【即学即练3】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 知识点04等比中项 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项． 【解读】(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (2)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a，G，b成等比数列”与“G＝”是不等价的． （3）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项. 【即学即练4】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）若是1与9的等比中项，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】由等比中项的性质求解． 【详解】由已知得，∴， 故选：C. 知识点05等比数列的性质 （1）一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq.特别地，如果2s＝p＋q，则a＝apaq. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{a}(m为常数，n∈N＋)是公比为qm的等比数列． (3)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． 【即学即练5】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质运算即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以. 故选：. 题型01 等比数列的通项公式及应用 【典例1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质即可得出. 【详解】设等比数列的公比为， . 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知数列是等比数列，满足，公比，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，满足，公比， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列定义知，求解即得答案. 【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，. ∵， 即 解得 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 【变式4】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）若等比数列满足，则其公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列满足，得到，两式相比得，再求得验证即可. 【详解】因为， 所以等比数列的公比， 又， 所以， 所以， 即等比数列的公比为. 故选：C. 题型02 等比数列的判定或证明 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用反证法，根据，可得矛盾，即可求解， （2）代入化简可得，利用等比数列的定义，即可求证. 【详解】（1）∵且，∴，． 假设存在一个实数，使数列是等比数列， 则，即，即，得，矛盾． 故对任意实数，数列不是等比数列． （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，，此时数列不是等比数列； 当时，，此时，数列是等比数列． 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·广东东莞·期中）（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列. 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于C，，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先根据递推公式得出，再计算得出等比的通项公式； （2）结合已知应用递推公式,根据等比数列定义证明等比数列. 【详解】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 题型03 等比中项及应用 【典例3】（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 【答案】D 【分析】利用等比中项列式，借助等差数列通项公式求解即得. 【详解】由成等比数列，得， 所以，解得， 所以. 故选：D 【变式1】．（23-24高二下·江西·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，则（   ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】 把等差数列中的项用基本量和表示，根据已知条件列方程组求解即可. 【详解】 设数列的公差为， 则，解得， 所以 故 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期末）等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为成等比数列， 所以， 因为等差数列的首项为1，公差为， 所以，即，解得或. 故选：A. 【变式3】（23-24高二上·云南玉溪·期末）“”是“a，b，c成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：若a，b，c成等比数列，则，故不必要； 若，令，满足，但此时a，b，c不构成等比数列，故不充分； 故选：D． 【变式4】（23-24高二下·上海浦东新·期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 【答案】或 【分析】由于1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，从而得解． 【详解】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列， 则，联立得到，解得或． 当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意； 当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意． 综上所得，x、y的值分别是或． 故答案为：或． 题型04 等比数列性质及其应用 【典例4】（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质得到，计算出，结合对数运算性质计算出结果. 【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解. 【详解】由和可得， 故， 故选：B 【变式2】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 【变式3】（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　） A．8 B．±8 C．10 D．±10 【答案】A 【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决. 【详解】根据等比中项知道，求得，则. 又，则. 故选：A. 【变式4】（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】因为正项等比数列单调递增，所以，所以， 又，所以，所以， 故选B. 题型05 等比数列的单调性 【典例5】（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件． 故选：C． 【变式2】（22-23高二下·北京海淀·期中）在等比数列中，“，且公比”，是“为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列的单调性结合充分不必要条件的判定即可. 【详解】当,且时,有, 所以,即为递增数列； 当为递增数列时,即对一切,有恒成立, 所以, 但且时,上式也成立,显然无法得出,且. 则“,且公比”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由等比数列的首项为，公比为， 对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误； 对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确； 对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误； 对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确. 故选：BD. 题型06 等比数列中的最值问题 【典例6】（2024高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】C 【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【详解】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 【变式1】（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 【变式2】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·江苏·阶段练习）（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论． 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 【变式4】（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）（多选）设等比数列的前项积为 并满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时， 【答案】BCD 【分析】首先根据题意得到，从而得到，所以，即等比数列为递减数列.对选项A，根据数列的单调性即可判断A错误，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C正确，对选项D，根据，当时，，即可判断D正确. 【详解】，所以，即. 所以. 因为，所以，即等比数列为递减数列. 对选项A，因为为递减数列，所以，故A错误. 对选项B，因为， 因为，所以，即，故B正确. 对选项C，因为等比数列为递减数列，， 所以，，即当时，取最大值，故C正确. 对选项D，， 又因为，， 所以当时，，当时，，故D正确. 故选：BCD 题型07 等比数列的简单应用 【典例7】（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【答案】A 【分析】设1微尘为，求出1兔尘为，1羊尘为，1指节为，从而可得答案. 【详解】设1微尘为， 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度， 构成了公比为7的等比数列， 所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为， 1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为， 因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确； 因为，所以1指节是羊尘，BD不正确； 故选：A. 【变式1】（22-23高三上·福建宁德·期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意归纳得出第截去，再计算第n天后共截去原来的，故可得第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的比值. 【详解】解：由题可知第一天长， 第二天截去， 第三天截去， 第四天截去， 依次可得：第n天截去：， 故第n天后共截去， 所以到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】(1) (2)是等比数列，理由见解析 (3)至少经过年 【分析】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系； （2）利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论； （3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意时， ， 所以，. （2）数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． （3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 一、单选题 1．（23-24高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 2．（23-24高二上·全国·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A．28 B．63 C．189 D．289 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为,求出值. 【详解】设等比数列的公比为,由， 则 ，解得, 故. 故选：C 3．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可. 【详解】设的公比为q， 则依题意有， 解方程得或（舍去），所以. 故选：C 4．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】由等比数列性质计算即可. 【详解】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 5．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则数列的公比（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据等比数列下标和性质求出，再由等差中项的性质求出，从而求出公比. 【详解】等比数列中，又，所以，显然， 所以，又与的等差中项为，所以，即， 所以，则，所以. 故选：A 6．（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式和等比中项的应用，结合题意建立方程组，解之即可求解. 【详解】设递增的等比数列的首项为，公比为， 由前3项的和为13，得， 由前3项的积为27，得，即，则， 代入，得， 即，解得或， 因为为递增的等比数列，所以，则. 故选：A. 7．（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，结合等面积法即可求解. 【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折5次后，得到腰长为等腰直角三角形，斜边长为， 设该等腰直角三角形的内切圆半径为，则由等面积法可得，解得. 故选：A. 8．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【答案】C 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知，，为非零实数，则下列说法一定正确的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等比数列，则，，成等比数列 C．若，，成等差数列，则，，成等比数列 D．若，，成等比数列，则，，成等比数列 【答案】BC 【分析】利用特殊值判断；根据等比中项的性质判断；根据等差中项的性质及指数的运算即可判断；根据等比中项的性质及等比数列的定义即可判断. 【详解】对于，，，是等差数列，但是，，不是等差数列，故不正确； 对于，，，成等比数列，则， 所以，所以，，成等比数列，故正确； 对于，，，成等差数列，所以， 所以，即，故正确； 对于，，，成等比数列，所以， 所以或，若，则，，不成等比数列， 故不正确. 故选：. 10．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知为每项均为正数等比数列的前n项积，若，则（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最大 D．成等比数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的性质结合可推出且，从而可判断等比数列的公比的范围，即可判断A，B，C；利用等比数列的定义可判断D. 【详解】因为，且，所以，即， 同理由可得，即，所以且， 又，所以，又，为正数等比数列， 设公比为q，则， 所以单调递减，且最大，故A，C正确，B错误； 因为，的公比为q，则， 即为等比数列，故D正确． 故选：ACD 11．（2024·山东枣庄·一模）将数列中的所有项排成如下数阵： 从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（   ） A． B． C．位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次 【答案】ACD 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解. 【详解】由第1列数 成等差数列，设公差为， 又由，可得，解得， 则第一列的通项公式为， 又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得，所以A正确,B错误； 又因为每一行的最后一个数为， 且，可得是的前一个数，且在第45行， 因为这一行共有个数，则在第45行的第88列，所以C正确； 由题设可知第行第个数的大小为， 令，若，则即； 若，则即；若，则，无整数解. 故D正确. 故答案为：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用基本量法可求与公比，故可求. 【详解】设公比为. 因为，故，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时， 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）已知成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意，要使最小，则都是负数，设等比数列的公比为，分类讨论和，分别求得，进而得出，即可求解． 【详解】由题意，要使最小，则都是负数，则和选择1和9， 设等比数列的公比为， 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以； 综上，的最小值为， 故答案为：． 14．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【分析】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或 四、解答题 15．（23-24高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1)405； (2)5； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. （2）（3）利用等比数列通项公式求解即得. 【详解】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 16．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 17．（22-23高二下·全国·课后作业）有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是，后三个数依次成等差数列，它们的积为，求出这四个数． 【答案】这四个数为或 【分析】设此四个数为，由条件列方程组求解即可. 【详解】由题意设此四个数为， 则有，解得或. 所以这四个数为或. 18．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 【答案】答案见解析. 【分析】（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （3）这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为. 【详解】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为. 19．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为， （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式即可得解. （2）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式首先得递推公式，（i）由等比数列定义证明即可；（ii）当时，结合单调性分奇偶讨论即可证明. 【详解】（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得 ； （2）（i）设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即，， ，是以为首项，为公比的等比数列； （ii）由（i）可得， 当为大于1的奇数时，； 当为正偶数时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 等比数列 课程标准 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列通项公式的意义． 3.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 1.能叙述等比数列和等比中项定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列； 2.探索并记忆等比数列的通项公式，能够应用它解决等比数列的问题； 3.在学习和运用等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 知识点01 等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一常数q,_即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． 【解读】 （1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项； （2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列； （3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列； （4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比； （5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 【即学即练1】下列数列为等比数列的是(　　) A．2,22,3×22，…　　　　　 B．，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，… 知识点02 等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么等比数列的通项公式为an＝a1qn－1. 【解读】 (1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． (2)等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． 【即学即练2】（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 知识点03等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 【即学即练3】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 知识点04等比中项 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项． 【解读】(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (2)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a，G，b成等比数列”与“G＝”是不等价的． （3）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项. 【即学即练4】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）若是1与9的等比中项，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D．9 知识点05等比数列的性质 （1）一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq.特别地，如果2s＝p＋q，则a＝apaq. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{a}(m为常数，n∈N＋)是公比为qm的等比数列． (3)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． 【即学即练5】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型01 等比数列的通项公式及应用 【典例1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【变式1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知数列是等比数列，满足，公比，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）若等比数列满足，则其公比为（    ） A． B． C． D． 题型02 等比数列的判定或证明 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【变式2】（24-25高二上·广东东莞·期中）（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 题型03 等比中项及应用 【典例3】（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 【变式1】．（23-24高二下·江西·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，则（   ） A．2024 B．2025 C．4049 D．4050 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期末）等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 【变式3】（23-24高二上·云南玉溪·期末）“”是“a，b，c成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（23-24高二下·上海浦东新·期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 题型04 等比数列性质及其应用 【典例4】（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【变式2】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【变式3】（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　） A．8 B．±8 C．10 D．±10 【变式4】（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 题型05 等比数列的单调性 【典例5】（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【变式2】（22-23高二下·北京海淀·期中）在等比数列中，“，且公比”，是“为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 题型06 等比数列中的最值问题 【典例6】（2024高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【变式1】（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【变式2】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（24-25高二上·江苏·阶段练习）（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）（多选）设等比数列的前项积为 并满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时， 题型07 等比数列的简单应用 【典例7】（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【变式1】（22-23高三上·福建宁德·期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 一、单选题 1．（23-24高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·全国·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A．28 B．63 C．189 D．289 3．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则数列的公比（    ） A． B．2 C． D．4 6．（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知，，为非零实数，则下列说法一定正确的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等比数列，则，，成等比数列 C．若，，成等差数列，则，，成等比数列 D．若，，成等比数列，则，，成等比数列 10．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知为每项均为正数等比数列的前n项积，若，则（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最大 D．成等比数列 11．（2024·山东枣庄·一模）将数列中的所有项排成如下数阵： 从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（   ） A． B． C．位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 13．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）已知成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为 ． 14．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 16．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 17．（22-23高二下·全国·课后作业）有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是，后三个数依次成等差数列，它们的积为，求出这四个数． 18．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 19．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为， （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$