5.2.2 等差数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和，涵盖公式推导、函数特征、性质应用及求和方法，从已学等差数列定义切入，通过问题引导构建公式与性质的逻辑脉络，形成新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以知识辨析深化数学思维，通过正误判断培养批判性思考，结合“知三求二”方程思想与多种最值解法，展现数学眼光的严谨性。倒序相加、裂项相消实例助力数学语言表达，学生能深化公式理解，教师可依托系统资源提升教学效率。

5.2.2 等差数列的前n项和 知识点 1 等差数列的前n项和 知识 清单破 1.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,则Sn= 或Sn=na1+ . 第五章　数列 高中同步 2.等差数列前n项和公式的函数特征 　　等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式:Sn=na1+ = n2+ n. (1)该表达式中没有常数项; (2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的二次函数的 图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y= x2+  x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 3.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). 第五章　数列 高中同步 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.当n≥3,n∈N+时,等差数列{an}的前n项和Sn= . (　    ) 2.等差数列(各项均不为0)的前n项和公式是关于n的常数项为0的二次函数.(　    ) √ 2.✕　当公差d=0时,等差数列的前n项和公式是关于n的一次函数;当公差d≠0时,等差数列的 前n项和公式是关于n的常数项为0的二次函数. 提示 ✕ 3.已知数列{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则数列 是等差数列. (　    ) 3.√　由Sn=na1+ d= n2+ n,可得 = n+ ,可判定数列 是等差数列, 公差是 . 提示 √ 第五章　数列 高中同步 疑难 1 等差数列前n项和公式及其应用 疑难 情境破 讲解分析 　　等差数列问题共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,这五个量可以“知三求二”.解决等差数列问题 的一般思路:设出基本量a1,d,构建方程组,利用方程思想求解. 　　当已知首项、末项和项数时,用公式Sn= 较简便,使用此公式时注意结合等差数 列的性质;当已知首项、公差和项数时,用公式Sn=na1+ d较简便. 第五章　数列 高中同步 典例　已知等差数列{an}的前n项和为Sn. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由已知得  解得  ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210. 解法二:由已知得  ∴a1+a10=42, 第五章　数列 高中同步 ∴S10= =5×42=210. (2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6. 又an-3=45, ∴Sn= = = =510,∴n=20. 第五章　数列 高中同步 疑难 2 等差数列前n项和的性质 讲解分析 1.公差为d的等差数列中依次k(k∈N+)项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列(分段 和成等差). 2.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn. (1)若项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0); (2)若项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0). 3.若{an}是公差为d的等差数列,则 是首项为a1,公差为 的等差数列. 第五章　数列 高中同步 4.若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则 = , = · (bn≠0,T2n-1≠0). 5.在等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n,m,n∈N+),则Sm+n=-(m+n). 6.在等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n,m,n∈N+),则Sm+n=0. 第五章　数列 高中同步 典例    (1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项和S3m; (2)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且 = ,求 的值; (3)在等差数列{an}中,其前10项和S10=120,且在这10项中, = ,求公差d的值. 解析    (1)解法一:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列, ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 解法二:由等差数列前n项和的性质可知, , , 成等差数列, ∴ = + , 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 第五章　数列 高中同步 (2) = = = = = . (3)由题意得  解得  ∴S偶-S奇=5d=10,∴d=2. 第五章　数列 高中同步 疑难 3 等差数列前n项和最值的求法 讲解分析 1.等差数列前n项和Sn存在最值的两种情形 (1)若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和; (2)若a1<0,d>0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和. 2.求等差数列(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法 (1)用配方法转化为求解二次函数的最大(小)值问题,解题时要注意n∈N+; (2)邻项异号法:可利用 或 来寻找正、负项的分界点. 3.一般地,在等差数列{an}中,当a1>0,且Sp=Sq(p≠q)时,若p+q为偶数,则当n= 时,Sn最大;若p +q为奇数,则当n= 时,Sn最大. 第五章　数列 高中同步 典例　在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=25,S8=S18,求Sn的最大值. 解析    解法一:设等差数列{an}的公差为d. 因为S8=S18,a1=25, 所以8×25+ d=18×25+ ×d,解得d=-2, 所以Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 解法二:设Sn=An2+Bn,A≠0. 因为S8=S18,S1=a1=25, 所以 解得  所以Sn=-n2+26n=-(n-13)2+169, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 第五章　数列 高中同步 解法三:同解法一,求出公差d=-2, 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 由 得  因为n∈N+,所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为 =169. 解法四:设等差数列{an}的公差为d. 因为S8=S18,所以S18-S8=0, 即a9+a10+…+a18=0. 结合等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0,所以d<0,所以a13>0,a14<0, 第五章　数列 高中同步 所以当n=13时,Sn有最大值. 由a13+a14=0,得a1+12d+a1+13d=0,解得d=-2,所以S13=13×25+ ×(-2)=169, 所以Sn的最大值为169. 第五章　数列 高中同步 疑难 4 与等差数列有关的数列求和 讲解分析 1.倒序相加求和 　　在数列{an}中,如果与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,那么可把正着写求 和与倒着写求和的两个式子相加,通过求常数列的和的方法求数列{an}的前n项和,这种数列 求和的方法称为倒序相加法. 第五章　数列 高中同步 2.裂项相消求和 (1)裂项相消求和就是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,在求和时中间的一些项可以 相互抵消,从而达到求和的目的. (2)常见的裂项技巧 ①等差型: (i) =  ; (ii) =  ; (iii) =   -  . ②无理型: = ( - ). 第五章　数列 高中同步 ③指数型: = - . ④通项公式裂项为“+”型(通常在通项公式中含有(-1)n乘一个分式中应用): (i)(-1)n· =(-1)n ; (ii)(-1)n =(-1)n . 第五章　数列 高中同步 典例　已知A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是函数f(x)= +log2 图象上的任意两点. (1)当x1+x2=1时,求f(x1)+f(x2)的值; (2)设Sn=f +f +…+f +f ,其中n∈N+,求Sn; (3)对于(2)中的Sn,已知an= ,其中n∈N+,设Tn为数列{an}的前n项和,求证: ≤Tn< . 解析    (1)由已知得f(x1)+f(x2)= +log2 + +log2 =1+log2 =1+log2  =1+log21=1. (2)∵ + = + = + =…=1, ∴f +f =f +f =f +f =…=1, 第五章　数列 高中同步 ∵Sn=f +f +…+f +f ,① ∴Sn=f +f +…+f +f ,② 由①+②,得2Sn= + +…+ +  , ∴2Sn=n, 故Sn= . (3)证明:由(2)及已知得an= = = , ∵an>0,∴Tn<Tn+1, 第五章　数列 高中同步 ∴{Tn}是递增数列, ∴Tn≥T1=a1= . ∵an= < = =2 , ∴Tn= + + +…+ <2  - + - + - +…+ - + -  =2  + - -   =2 < . ∴ ≤Tn< . 第五章　数列 高中同步 方法技巧  的常见放缩形式: (1) < = - (n≥2); (2) > = - ; (3) = < =2 . 第五章　数列 高中同步 $