5.2.1 等差数列（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件系统涵盖等差数列的定义、通项公式、与一次函数的关系、性质及判定方法，通过从定义到公式推导，再到性质应用和判定证明的递进式设计，搭建起完整的知识学习支架。 其亮点在于结合知识辨析培养学生推理意识，通过多解法典例（如基本量法与性质法）发展数学思维，构造等差数列（如典例2中bn的构建）强化模型观念。这有助于学生形成知识网络，提升数学眼光，也为教师提供高效教学资源。

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 知识 清单破 知识点 1 等差数列的定义 一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即an+1-an=d恒 成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的公差. 第五章　数列 高中同步 知识点 2 等差数列的通项公式 1.等差数列的通项公式 一般地,如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. 变形:an=am+(n-m)d(m,n∈N+),d= (n≠m). 第五章　数列 高中同步 2.等差数列的通项公式与一次函数的关系 若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d=nd+a1-d.所以,如果记 f(x)=dx+a1-d, 则可以看出an=f(n),而且 (1)当公差d=0时, f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列). (2)当公差d≠0时, f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是 递增数列;当d<0时,{an}是递减数列. 　　当用平面直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上. 第五章　数列 高中同步 知识点 3 等差数列的性质 1.等差中项 x,A,y是等差数列⇔A= ,称A为x与y的等差中项. 2.一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at=ap+aq.特别地,如果2s=p +q,则2as=ap+aq. 第五章　数列 高中同步 知识拓展 1.若{an}是公差为d的等差数列,则 (1){c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列; (2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列; (3){an+an+k}(k∈N+)是公差为2d的等差数列. 2.若{an}是等差数列,其公差为d,则{a2n}也是等差数列,其公差为2d. 3.若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的 等差数列. 4.从等差数列中每隔一定的距离抽取一项组成的数列仍为等差数列.例如:若{an}是公差为d 的等差数列,则an,an+k,an+2k,an+3k,…也是等差数列,且公差为kd,其中k∈N+. 第五章　数列 高中同步 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　    ) 1.✕　若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,则这个数列不是等 差数列. 提示 2.若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. (　    ) 3.若数列{an}是等差数列,则其通项公式是关于n的一次函数. (　    ) 3.✕　当公差不为零时,通项公式是关于n的一次函数;当公差为零时,等差数列{an}为常数列, 其通项公式不是关于n的一次函数. 提示 4.在等差数列{an}中,a2+a3=a5一定成立. (　    ) ✕ √ ✕ ✕ 第五章　数列 高中同步 疑难 1 等差数列的判定(证明) 疑难 情境破 讲解分析 判定一个数列是等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)⇔{an}为等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}为等差数列; (3)通项公式法:an=kn+b(k,b为常数,n∈N+)⇔{an}为等差数列. 　　其中,定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的依据,通项公式法只能在小题 中应用,不能作为解答题中判定等差数列的依据. 第五章　数列 高中同步 典例1　已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),证明数列{an}为等差数列. 思路点拨    先由条件建立an+1,an,an-1三者之间的关系,再利用等差中项法证明. 证明    由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1, 两式相减并整理,得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N+). 由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1, 即2an=an-1+an+1, 因此an是an-1与an+1的等差中项, 故数列{an}为等差数列. 第五章　数列 高中同步 典例2　已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N+),且a3=95. (1)求a1,a2的值; (2)是否存在实数t,使得bn= (an+t)(n∈N+),且{bn}为等差数列?若存在,求出t的值;若不存在,请 说明理由. 思路点拨    (1)利用递推关系逐项求解. (2)思路一:利用等差数列的定义计算bn-bn-1(n≥2),若存在t使bn-bn-1为常数,则{bn}为等差数列, 否则不存在.思路二:假设存在t使{bn}为等差数列,利用b1,b2,b3的关系求出t的值再验证即可. 第五章　数列 高中同步 解析    (1)当n=3时,a3=3a2+26=95, ∴a2=23.当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5. (2)解法一:由题意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N+), ∴当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- . 要使{bn}为等差数列,则bn-bn-1为常数,即1+2t=0,解得t=- , ∴存在t=- ,使{bn}为等差数列. 解法二:假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,① 由(1)及题意知a1=5,a2=23,a3=95, ∴b1= (5+t),b2= (23+t),b3= (95+t), 代入①,得 (23+t)= (5+t)+ (95+t), 第五章　数列 高中同步 解得t=- ,此时bn=  . 检验:bn+1-bn=  -   =  -   = an+1- × - an+ × =1,是常数. 故存在t=- ,使{bn}为等差数列. 第五章　数列 高中同步 疑难 2 等差数列通项公式的求解及应用 讲解分析 1.求等差数列通项公式的常见方法 (1)基本量法:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1,d,即可得出数列的通项公式; (2)待定系数法:设通项公式为an=An+B,利用条件构建方程组,求出A,B,即可得到数列的通项 公式; (3)利用等差数列的性质:若{an}为等差数列,则可利用d= (n,m∈N+,m≠n)求出公差d,即 可得出数列的通项公式,一般已知数列中的两项时用这种方法较简便. 第五章　数列 高中同步 2.构造等差数列求数列的通项公式 　　当数列{an}不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列求通项公式.将递推公式进行转 化,可构造出等差数列,常见的转化形式如下: (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列. (3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列,其中c为常数. (4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列. (5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列. 第五章　数列 高中同步 典例1　在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,则此数列的通项公式为　　　　　　　    . 解析    设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由a1+a4+a7=15,得a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1=5-3d.① 由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45.② 将①代入②,得(5-2d)×5×(5+2d)=45, 即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2. 当d=2时,a1=-1,所以an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N+; 当d=-2时,a1=11,所以an=11-2(n-1)=-2n+13,n∈N+. 综上,an=2n-3或an=-2n+13. 解法二:因为数列{an}是等差数列, 所以a1+a4+a7=3a4=15,所以a4=5. 因为a2a4a6=45,所以a2a6=9, an=2n-3或an=-2n+13 第五章　数列 高中同步 所以(a4-2d)(a4+2d)=9, 即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2. 当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+; 当d=-2时,an=a4+(n-4)d=-2n+13,n∈N+. 因此an=2n-3或an=-2n+13. 解法三:同解法二,求出a4=5,a2a6=9, 又a2+a6=2a4=10, 所以a2=1,a6=9或a2=9,a6=1. 当a2=1,a6=9时,a6=a2+4d=1+4d=9, 解得d=2,所以an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+; 当a2=9,a6=1时,a6=a2+4d=9+4d=1, 解得d=-2,所以an=a4+(n-4)d=-2n+13,n∈N+. 因此an=2n-3或an=-2n+13. 第五章　数列 高中同步 典例2    (1)在数列{an}中,a1=1,an+1= ,n∈N+,则an=　　　    . (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1+2Sn+1Sn=0,则Sn=　　    . 解析    (1)易知an≠0,由an+1= 可得 = = + , 所以 是以 =1为首项, 为公差的等差数列,所以 =1+(n-1)× = ,所以an= . (2)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1+2Sn+1Sn=0, 所以Sn+1-Sn+2Sn+1Sn=0, 易知Sn≠0,两边同时除以Sn+1Sn,可得 - +2=0,即 - =2, 所以数列 为等差数列,首项为 = =1,公差为2, 所以 =1+(n-1)×2=2n-1,即Sn= . 第五章　数列 高中同步 疑难 3 等差数列性质的应用 讲解分析 借助等差数列{an}的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数)可以解决 有关项的问题,简化计算,但不一定每道题都能用,能用此性质的题都应具有一定的特征,所以 解决等差数列的有关问题时,应先考虑性质,若不能应用性质,再利用基本量求解. 第五章　数列 高中同步 典例　已知数列{an}为递增的等差数列,若a3+a12=13,a5a10=36,则{an}的公差为 (　    ) A.4　　    B.3　　    C.2　　    D.1 D 解析    因为a5+a10=a3+a12=13,a5a10=36, 所以a5,a10为方程x2-13x+36=0的两根, 又{an}为递增的等差数列, 所以a5=4,a10=9, 所以公差为 =1. 第五章　数列 高中同步 $