5.1.2 数列中的递推（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列的递推关系、an与Sn的关系及通项公式求解，从递推公式定义导入，结合前n项和概念，通过知识辨析明确易错点，搭建从定义到方法的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过累加法、累乘法等典例解析和周期数列识别，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）。讲练结合让学生掌握系统解法，教师可借助资料提升教学效率，助力学生形成理性思维与应用意识。

5.1.2　数列中的递推 知识点 1 数列的递推关系 知识 清单破 　　如果一个数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为 数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 第五章　数列 高中同步 知识点 2 数列的前n项和 1.数列的前n项和 　　一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和. 2.数列中an与Sn的关系 　　一般地,如果数列{an}的前n项和为Sn,那么an=  第五章　数列 高中同步 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.根据数列的递推关系可以求出数列的任意一项. (　    ) 1.✕　还需要知道数列的首项或某几项. 2.所有的数列都有递推公式. (　    ) 提示 3.若数列{an}的前n项和为Sn,则an=Sn-Sn-1,n∈N+. (　    ) 3.✕　一般情况下,当n=1时,an=S1,当n≥2,且n∈N+时,an=Sn-Sn-1. 提示 ✕ ✕ ✕ 第五章　数列 高中同步 疑难 情境破 疑难 1 利用数列的递推关系解决问题 讲解分析 1.根据数列的递推公式和首项(或其他项)求数列的前几项时,首先要弄清公式中各部分之间 的关系,然后依次代入计算即可. 2.求数列中的某一项时,对于通项公式,可以通过将序号代入直接求解,而对于递推公式,必须 通过逐项计算求出该项. 第五章　数列 高中同步 3.由递推公式求通项公式的常用技巧 (1)形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N+)求出通 项公式,这种方法叫累加法. (2)形如 =f(n)(an≠0)的递推公式,可以利用a1· · ·…· =an(n≥2,n∈N+)求出通项公式, 这种方法叫累乘法. (3)形如an+1=pan+q(p,q为非零常数)的递推公式,适当变形后结合(2)解决. 第五章　数列 高中同步 典例    (1)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N+),则an=　　　    ; (2)设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)· -n +an+1·an=0,则它的通项公式为an=　　   . 解析    (1)由题意知an≠0, 因为an-an+1=nanan+1, 所以 = - =n, 则 = + +…+ + =(n-1)+(n-2)+…+1+1= +1=  ,所以an= . (2)由(n+1) -n +an+1·an=0, 得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0, 第五章　数列 高中同步 又an>0,a1=1,所以(n+1)an+1-nan=0, 所以 = , 所以an= · ·…· ·a1= × ×…× ×1= . 第五章　数列 高中同步 疑难 2 数列的周期性 讲解分析 　　对数列的递推公式进行变形,若数列中的项循环出现,则该数列为周期数列,进而求得相 应的关系式.周期数列的递推公式的一般形式为an+k=an(n,k∈N+). 　　解决周期数列求值或求和问题,需要先列项找出规律,再结合周期性确定数列中各项的 值.这类问题的识别特征:下标数字很大,直接求解的可能性不大. 第五章　数列 高中同步 典例　已知数列{an}满足2an+1=4+anan+1,且a3=1,则a2 022的值为 (　    ) A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.-4 A 解析    因为数列{an}满足2an+1=4+anan+1,且a3=1,所以2a3=4+a2a3,2a4=4+a3a4, 所以a2=-2,a4=4, 又2a2=4+a1a2,2a5=4+a4a5, 所以a1=4,a5=-2, 又2a6=4+a5a6,所以a6=1,所以a1=4,a2=-2,a3=1,a4=4,a5=-2,a6=1,……, 所以数列{an}是周期为3的周期数列, 所以a2 022=a674×3=a3=1. 第五章　数列 高中同步 疑难 3 利用Sn与an的关系求通项公式 讲解分析 　　已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,得出an=Sn-Sn-1. (3)若a1=S1满足an=Sn-Sn-1(n≥2)的关系式,则数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;否则,数列{an}的通 项公式为an=  第五章　数列 高中同步 典例　已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则数列{an}的通项公式为an=　　　    . 4n-5 解析    当n=1时,a1=S1=2-3=-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 显然a1=-1满足上式,故an=4n-5. 第五章　数列 高中同步 $