5.1.1 数列的概念（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件系统涵盖数列的概念、分类、通项公式、与函数的关系及单调性应用等核心知识点，从基础概念导入，逐步过渡到通项公式推导、函数性质关联及参数范围求解，构建递进式学习支架。 其亮点在于通过知识辨析深化概念理解，典例解析结合数学思维与语言，如判断数列异同、推导通项公式步骤等，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维推理逻辑的能力。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助系统资源高效教学。

5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 知识 清单破 知识点 1 数列的相关概念 1.数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的项,各项依次称 为这个数列的第1项(或首项),第2项…….组成数列的数的个数称为数列的项数. 2.数列的分类 项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列.有穷数列的最后一项一般也 称为这个数列的末项. 第五章　数列 高中同步 知识点 2 数列的通项与通项公式 1.通项 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为 正整数,即n∈N+),称为数列的通项.一般将整个数列简记为{an}. 2.通项公式 一般地,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他 未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 第五章　数列 高中同步 知识点3　 　　数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依 次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式,所以数列可以 用平面直角坐标系中的点来直观地表示. 用类似函数性质的术语对数列分类: (1)递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列; (2)递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列; (3)常数数列(简称为常数列):各项都相等的数列. 知识点 3 数列与函数的关系 知识拓展 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫摆动数列. 第五章　数列 高中同步 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.     (　    ) 1.✕　两个数列中的数虽然相同,但顺序不同,故不是同一个数列. 提示 2.an和{an}均表示数列的通项. (　    ) 2.✕    an表示数列{an}中的第n项或通项,而{an}表示整个数列. 提示 3.所有的数列都能写出通项公式. (　    ) 4.已知数列{an},{bn},{cn}满足an= bn= ,cn= ,其中n∈N+,则数列{an}, {bn},{cn}是同一个数列. (　    ) 4.√　三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,故是同一个数列. 提示 ✕ ✕ ✕ √ 第五章　数列 高中同步 疑难 情境破 疑难 1 求数列的通项公式 讲解分析 根据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤 (1)观察数列的前几项: ①各项的符号特征;②各项能否拆分;③分式(数)的分子、分母的特征;④相邻项的变化规律. (2)寻找各项与对应的项的序号之间的规律: ①熟记一些常见数列的通项公式,熟悉它们的变化规律,并灵活运用; ②统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如都 化成分数、根式等; ③当一个数列各项的符号“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n+1或(-1)n来表示; ④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也可以将给出 的各项统一化成某种形式. 第五章　数列 高中同步 典例    写出以下各数列{an}的一个通项公式. (1)-1, ,- , ,…; (2) ,3, , ,…; (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…; (4)3,5,3,5,…. 第五章　数列 高中同步 解析    (1)观察发现,数列的奇数项为负,偶数项为正,且各项的绝对值可以看成是正整数的倒 数,故该数列的一个通项公式为an=(-1)n· . (2)数列可转化为 , , , ,…,即 , , , ,…,每个被开方数都可被分解 成两数之积,前一个因数为常数3,后一个因数为2n-1,故原数列的一个通项公式为an=  = . (3)数列可变形为1- ,1- ,1- ,1- ,…,故原数列的一个通项公式为an=1- . (4)因为数列的第1,3,…项都是3,而第2,4,…项都是5,所以该数列的一个通项公式为an=   第五章　数列 高中同步 疑难 2 数列与函数的关系 讲解分析 数列是一种特殊的函数,可以通过研究函数的性质来研究数列的性质. 1.判断数列单调性的方法 (1)转化为函数,利用函数的性质求解. (2)作差法:判断任意相邻两项的差an+1-an与0的大小关系; (3)作商法:数列各项非零且同号时,判断任意相邻两项的商 和1的大小关系. 2.求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用 (n≥2,n∈N+)求数列的最大项an;利用 (n≥2,n∈N+)求数列的最小项 an.当所得解不唯一时,比较各解的大小即可. (2)构造函数,确定函数的单调性,进一步求出数列的最大(小)项. 第五章　数列 高中同步 3.利用数列的单调性求参数的取值范围 (1)利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立(或有解)问题进行解决, 也可通过分离参数将其转化为最值问题处理; (2)利用数列与函数的关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解 参数的取值范围,但要注意数列的定义域是正整数集的子集. 第五章　数列 高中同步 典例　在数列{an}中,an=n2+λn,n∈N+. (1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性; (2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围. 解析    (1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6, 所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6. 当1≤n≤3,n∈N+时,an+1-an≤0,即an+1≤an,{an}单调递减; 当n≥4,n∈N+时,an+1-an>0,即an+1>an,{an}单调递增. 解法二:当λ=-7时,an=n2-7n= - . 易知函数f(x)= - 的图象的对称轴为直线x= , 所以由二次函数的性质可知, 第五章　数列 高中同步 当1≤n≤3,n∈N+时,{an}单调递减; 当n≥4,n∈N+时,{an}单调递增. (2)由题意得 即  解得-15≤λ≤-13, 所以实数λ的取值范围是[-15,-13]. 第五章　数列 高中同步 $