精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题

2025-2026学年第二学期下学期开学考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则其导数（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的导数及导数的四则运算计算即可. 【详解】根据导数的四则运算法则可知，. 故选：D. 2. 抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（ ） A. B. 28 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而得椭圆的值，从而根据椭圆方程求解的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆的，且焦点在轴上， 则. 故选：B. 3. 已知，则m，n，p（ ） A. 成等差，但不成等比 B. 成等比，但不成等差 C. 既成等差，又成等比 D. 既不成等差，又不成等比 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的定义和运算公式可判断选项正误. 【详解】由题可得，，因此，可知m，n，p成等差； 由，但，可知m，n，p不成等比． 故选：A． 4. 已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 5. 已知数列的首项为，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法判断数列的周期，利用数列的周期进行求解即可. 【详解】因为，且， 所以，， ，所以该数列的周期为， 因此. 故选：D 6. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为6米，深度为1米，那么抛物线的焦点到顶点的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，再根据已知条件确定抛物线上一点的坐标，代入方程求出的值，最后根据抛物线焦点到顶点的距离与的关系得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为. 已知接收天线的口径为6米，深度为1米，那么抛物线上一点的坐标为. 代入抛物线方程，得，. 所以抛物线的焦点到抛物线的顶点距离为米. 故选：B 7. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线与直线平行，它们之间的距离为. 故选：C 8. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、勾股定理结合几何图形列出等式计算即可. 【详解】设的焦距为，则 ，所以离心率． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用与的关系式，运用迭代相减法，得到，即可判断其为等差数列，写出数列的通项与前项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项. 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD. 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】列等式求出等差数列的公差d，首项，再据此逐一分析各项即可． 【详解】对于AB，设等差数列的公差为，由，得， 解得，所以， 则，故AB正确； 对于C，令，得，且，所以当或时，取最小值，故C错误； 对于D，因为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，代入直线中，可得的值，利用离心率的计算方法可得答案. 【详解】由椭圆方程可知，长轴在  轴上， 且 ，即焦点为 ， 直线  经过一个焦点，代入焦点坐标： 若焦点为 ，则 ， 解得 ，即 ； 若焦点为 ，则 ，无解； 故 ，此时 ，长半轴长为， 离心率 . 因此，椭圆  的离心率为 . 故答案为： 13. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系知，当时，直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量共线关系即可求得. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知数列满足，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式. 【详解】设，则. 由，解得. . 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 16. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法来证明线线垂直，即可证明线面垂直； (2)利用空间向量法来求两平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，即，， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. （1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为，依题意求出、、，即可得解； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【小问1详解】 依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 由，消去整理得， 则且，则且， 所以，， 所以 ， 因为，，， 所以，即，解得，符合题意， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，从而可证，再根据已知的线面垂直可得，故可证平面,从而证得. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据点面距的向量法及已知距离可求的长，再结合面面角的向量求法可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 故，解得， ， 平面平面， 平面， 故平面,平面. 【小问2详解】 平面平面， 由（1）可知， ∴如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， 设，且， ， 设平面的法向量为，则 令，则， 设平面的法向量为，因平面，取， 设点到平面的距离为，由， 解得， 设平面与平面的夹角为， ， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段中点N，连接，，易证四边形是平行四边形，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，从而求得正弦值. 【小问1详解】 取的中点N，连接，，如图所示： 在中，因为M，N分别是棱，的中点，所以为的中位线， 所以，且，易知，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由已知，，，所以， 即，得，因为底面，所以，由于为等腰三角形，所以， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为为棱的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，则，，即平面的一个法向量为， 又平面，平面，所以，由， 且，、在平面上，所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面所成夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期下学期开学考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则其导数（ ） A. 0 B. C. D. 2. 抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（ ） A. B. 28 C. 4 D. 16 3. 已知，则m，n，p（ ） A. 成等差，但不成等比 B. 成等比，但不成等差 C. 既成等差，又成等比 D. 既不成等差，又不成等比 4. 已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 已知数列的首项为，且，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为6米，深度为1米，那么抛物线的焦点到顶点的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______． 13. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 14. 已知数列满足，且，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 16. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. （1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 18. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $