精品解析：内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二下数学开学初考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 等差数列满足，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】设数列公差为d，然后由题意及等差数列通项公式可得答案. 【详解】设数列公差为d，由，， 可得，解得，， 则． 故选：C 2. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 则，可得，且， 又因为，可得， 由可知，所以. 故选：C 3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 4. 设，则“直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义以及两直线平行求参数的方法求解. 【详解】因为，所以，则有，解得， 当时，，，则重合， 当时，，，则平行， 所以等价于， 所以“直线与直线平行”能推出“”， “”不能推出“直线与直线平行”， 所以“直线与直线平行”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式，逐项求解，可得答案. 【详解】由，则，，，. 故选：C. 6. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出. 【详解】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点， . 故选：D 7. 已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，计算出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点， 因为是等边三角形，则，， ，所以，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 因此，椭圆的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出的表达式，求出的最小值，再根据勾股定理求出的最小值 【详解】圆的圆心为半径， 圆心到直线的距离，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为 D. 离心率为 【答案】AB 【解析】 【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基本量，再逐一判断选项即可. 【详解】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：， 故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确； 焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误. 故选：AB. 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误. 故选：BC. 11. 已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（ ） A. 当与圆相切于点时， B. 点到圆上点的距离的最大值为5 C. 点到圆上点的距离的最小值为2 D. 若点在上，与圆相交于点，则 【答案】AB 【解析】 【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为2， 对于A项，如图所示， 则，故A项正确； 对于B项， 如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确； 对于C项， 如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误． 对于D项， 直线的方程为，则点到直线的距离， 所以，故D项错误． 故选：AB. 三、填空题(每题5分，共15分） 12. 已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由点在抛物线上代入得，再由定义转化为到准线距离可求. 【详解】由在抛物线上，得，所以． 又焦点的坐标为，准线为， 所以． 故答案为：. 13. 设数列的前项和，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据数列前项和与的关系来求解的值. 【详解】已知，将代入到中，可得： ， 将代入到中，可得：， 则. 故答案为：. 14. 已知、、，若的周长为，则的最大值为__________，此时点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知，点的轨迹为，数形结合可知，当且仅当点为直线与椭圆的交点，且、方向相同时，取最大值，求出该最值，然后将直线的方程与椭圆方程联立，可求得点的坐标. 【详解】由题意可得，， 所以，点的轨迹是以点、为焦点，长轴长为的椭圆（除去长轴的端点）， 设其方程为，则，， 所以，点的轨迹方程为，如下图所示： 因为，故点在椭圆外， 由椭圆的定义可得， 所以，， 当且仅当点为直线与椭圆的交点，且、方向相同时，等号成立， 因为，直线的方程为， 联立，解得，即点 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法： （1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题； （2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 四、解答题（共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）；（2），最小值为–16． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果； （2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以的最小值为， 所以的最小值为． [方法2]：函数法 由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解； （2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值． 16. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得的弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 【答案】（1）4 （2），或 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【小问1详解】 当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； 【小问2详解】 由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 17. 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）半焦距为，经过点，且焦点在轴上； （2）两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； （3）与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【小问1详解】 因半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； 【小问3详解】 方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 18. 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 . （1）求证: 平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因平面，且,故可以点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 则. 于是，, 设平面的法向量为， 则，令，可得； 又，显然，，故得平面； 【小问2详解】 由（1）建系，则， 设平面法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面所成夹角， 因， 则. 即平面与平面所成夹角的正弦值为 19. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标及离心率求出，得出方程； （2）设M，N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，利用得出m与k的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标． 【小问1详解】 右顶点是，离心率为， 所以，， ，则， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 直线方程与椭圆方程联立， 得， 设，， ，， 即，，， ， ，则， 即， 整理得， 或， 均满足 直线或， 直线过定点或（与题意矛盾，舍去） 综上知直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下数学开学初考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 等差数列满足，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 2. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为 D. 离心率为 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上投影向量的模为 11. 已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（ ） A. 当与圆相切于点时， B. 点到圆上点的距离的最大值为5 C. 点到圆上点的距离的最小值为2 D. 若点在上，与圆相交于点，则 三、填空题(每题5分，共15分） 12. 已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为________． 13. 设数列前项和，则______． 14. 已知、、，若的周长为，则的最大值为__________，此时点的坐标为__________． 四、解答题（共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得的弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 17. 根据下列条件，求双曲线标准方程： （1）半焦距为，经过点，且焦点在轴上； （2）两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； （3）与双曲线有公共焦点，且过点． 18. 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 . （1）求证: 平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. 已知椭圆方程为，其右顶点，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$