第8章 成对数据的统计分析 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

综合拔高练 高考真题练 考点1　变量的相关关系与一元线性回归模型 1.(2025天津,5)已知r为相关系数,则下列说法错误的是(　　) A.若随机变量X~N(μ,σ2)①,则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ) B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)<P(Y≤2) C.若|r|②越趋近于1,则线性相关程度越强 D.若|r|越趋近于0,则线性相关程度越弱 ①心中有“数”:正态曲线的对称性;对点突破:P200定点1 ②关键点拨:样本相关系数的特征;对点突破:P205定点 2.(2024天津,3)下列散点图中,样本相关性系数最大的是(　　) 　　　　 　　　　 3.(2024上海,13)已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是　(　　) A.气候温度高,海水表层温度就高 B.气候温度高,海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势 4.(2025上海,17)2024年东京奥运会,中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位:秒),数据按照升序排列:206.78,207.46,207.95,209.34,209.35,210.68,213.73,214.84,216.93,216.93. (1)求这组数据的极差与中位数; (2)从这10个数据中任选3个,求恰有2个数据在211以上的概率; (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为,年份x的平均数为2 006,预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒). 5.(2022全国乙理,19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据: 样本 号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部 横截 面积 xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积 量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得=1.615 8,xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附:相关系数r=≈1.377. 考点2　独立性检验及其应用 6.(2025全国一卷,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 　　　　　　超声波检查结果 组别　　　　　　　　 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附:χ2=, P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 7.(2024全国甲理,17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下: 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表: 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率,如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(≈12.247) 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 8.(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异①? (2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R. (i)证明:R=·②; (ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值③. 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . ①心中有“数”:明确计算公式和比较大小的方向;对点突破:P211定点 ②③关键点拨:利用条件概率的公式求解;对点突破:P185知识点1 高考模拟练 应用实践 1.(2025天域全国名校协作体联考)已知高中学生的数学成绩,物理成绩,化学成绩两两成正相关关系,随机抽取10名同学,他们的数学成绩x和物理成绩y的样本相关系数为,物理成绩y与化学成绩z的样本相关系数为,则x,z的样本相关系数的最大值为　　　　.  2.(2025江西南昌三中期末)为了解某地区电动汽车销售情况,一机构根据统计数据,得到表格如下: 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码x 1 2 3 4 5 产值y/亿元 16 20 23 31 40 (1)求电动汽车产值y(单位:亿元)关于月份x的经验回归方程; (2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类,其中购买非电动汽车的男性有45人,女性有35人,购买电动汽车的男性有5人,女性有15人,请判断是否有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关. 附:(xi-)(yi-;χ2=. α 0.10 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 3.(2025山东青州第一中学月考)经观测,长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关,现将收集到的温度xi和产卵数yi(i=1,2,…,10)的10组观测数据作了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量如下表. xi ti yi zi )2 )2 360 54.5 1 360 44 384 3 ) ) ) 588 32 6 430 表中ti=,zi=ln yi,zi. (1)根据散点图判断,y=a+bx,y=n+m与y=c1哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型(给出判断即可,不必说明理由),并求出y关于x的回归方程; (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵,已知第一批中共有5个鱼卵,其中“死卵”有2个;第二批中共有6个鱼卵,其中“死卵”有3个.现随机挑选一批,然后从该批次中随机取出2个鱼卵,求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 迁移创新 4.(2025江苏南京金陵中学期中)为助力农业发展,科研团队对某农作物种子的发芽情况进行研究,记录种子发芽天数为随机变量Y(Y∈N*),且最多需要m(m≥3,m∈N*)天发芽. (1)在不同温度条件下进行发芽实验,得到如下数据: 发芽 未发芽 总计 温度为20 ℃ 60 40 100 温度为25 ℃ 80 20 100 总计 140 60 200 能否有95%的把握判断种子是否发芽与温度有关? (2)已知该种子在甲地发芽的概率为0.7,在乙地发芽的概率为0.6.若随机选择甲地或乙地进行实验(两地被选中的概率均为0.5),求种子发芽的概率; (3)深入研究发现:发芽天数为1的种子在全体种子中占20%;且对于1≤k≤m-2,k∈N*,发芽天数为(k+1)的种子在发芽天数超过k的种子中占25%. ①证明:{P(Y=k)},k=2,3,…,m-1,k∈N*是等比数列; ②求该农作物种子发芽天数Y的数学期望E(Y). 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.B 2.A 3.C 1.B　 名师点睛 正态曲线关于直线x=μ对称,样本相关系数的绝对值的大小反映其相关性的强弱. 解析　对于A,根据正态曲线的对称性可知,P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ),故A中说法正确; 对于B,根据正态曲线的对称性可知,P(X≤1)=P(Y≤2)=0.5,故B中说法错误; 对于C和D,|r|越趋近于0,线性相关程度越弱,越趋近于1,线性相关程度越强,故C和D中说法正确. 2.A　观察题图可知,A选项的图中散点分布比较集中,且大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,两变量呈明显的正相关关系,样本相关系数相比于其他3幅图更接近1. 3.C　成对样本数据相关分析中,若相关系数为正,则两变量之间正相关,即气候温度上升,海水表层温度上升,故C正确,D错误;相关系数体现的是两变量的变化趋势,不是相关数值,故A,B错误. 4.解析　(1)由题意,数据的最大值为216.93,最小值为206.78,则极差为216.93-206.78=10.15; 数据中间两数为209.35与210.68, 则中位数为=210.015. 故极差为10.15,中位数为210.015. (2)由题意,数据共10个,211以上数据有4个, 设事件A=“恰有2个数据在211以上”, 则P(A)=, 故恰有2个数据在211以上的概率为. (3)由题意,成绩的平均数为×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399, 由直线过点(2 006,211.399), 得=211.399+0.311×2 006=835.265, 故回归方程为=-0.311x+835.265. 当x=2 028时,=-0.311×2 028+835.265=204.557≈204.56. 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 5.解析　(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为=0.06(m2), 平均一棵的材积量为=0.39(m3). (2)样本相关系数r= = = =≈≈0.97. 即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97. (3)设这种树木的根部横截总面积为X m2,总材积量为Y m3, 则,则Y==1 209, 所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 6.解析　(1)由题意知超声波检查结果不正常的人数为200,患该疾病的人数为180,所以超声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p==0.9. (2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关. χ2==765.625>10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即超声波检查结果与患该疾病有关. 7.解析　(1)补全列联表如下: 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 K2= ==4.687 5, ∵3.841<4.687 5<6.635, ∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)由题知=0.64,p=0.5,n=150, p+1.65≈0.5+≈0.567. ∵0.64>0.567,∴, ∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了. 8.真题降维 关键信息 信息处理 “能否有99%的把握”“患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异” 利用所给K2公式计算,并与对照表中6.635比较大小:大于得肯定结论;小于得否定结论 证明R=· 将涉及的条件概率全部用公式转化 计算R的估计值 利用题表中数据,由频率估计概率求得P(A|B),P(A|),再代入(i)中式子求R 解析　(1)由题中数据可知K2==24>6.635, 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)证明:因为R=····, 且····, 所以R=·. (ii)由题表中数据可知P(A|B)=, 所以R=·=6. 高考模拟练 1.答案　 解析　设X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn),Z=(z1,z2,…,zn), 则有X'=(x1-,…,xn-),Y'=(y1-,…,yn-),Z'=(z1-,…,zn-), 由样本相关系数公式r=,可知r=cos<X',Y'>, 设X'与Y'的夹角为α,Y'与Z'的夹角为β, 则cos α=,cos β=, 由这两个夹角为锐角,得α>β,sin α=,sin β=,所以X'与Z'的夹角为α-β或α+β, 则X'与Z'的夹角的余弦值最大为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 2.解析　(1)设所求经验回归方程为x, 由题表数据得=26, ∴=5.9, ∴=26-5.9×3=8.3, 故电动汽车产值y(单位:亿元)关于月份x的经验回归方程为=5.9x+8.3. (2)根据题意,得2×2列联表如下: 单位:人 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计 男性 45 5 50 女性 35 15 50 合计 80 20 100 χ2==6.25>3.841, 故有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关. 3.解析　(1)根据散点图判断,y=c1适宜作为y与x之间的回归方程模型. 令z=ln y,则z=c2x+ln c1, , ln , 所以z=, 所以y关于x的回归方程为. (2)由题意设随机挑选一批,从该批次中随机取出2个鱼卵,其中“死卵”的个数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2, 设Ai=“所取两个鱼卵来自第i批次”(i=1,2), 则P(A1)=P(A2)=, 设Bi=“所取两个鱼卵有i个‘死卵’”(i=0,1,2), 由全概率公式得 P(ξ=0)=P(A1)P(B0|A1)+P(A2)P(B0|A2)=, P(ξ=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=, P(ξ=2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=, 所以X的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)=0×. 4.解析　(1)由已知得χ2=≈9.52>3.841, 所以有95%的把握判断种子是否发芽与温度有关. (2)设“选择甲地进行实验”为事件A1,“选择乙地进行实验”为事件A2,“种子发芽”为事件B, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.5×0.7+0.5×0.6=0.65, 即种子发芽的概率为0.65. (3)①证明:由题可得,P(Y=1)=0.2, 当1≤k≤m-2时,P(Y=k+1)=0.25P(Y>k), 同理可得,当2≤k≤m-1时,P(Y=k)=0.25P(Y>k-1), 两式相减得P(Y=k+1)-P(Y=k)=-0.25P(Y=k), 即P(Y=k+1)=0.75P(Y=k), 因为P(Y=2)=0.25P(Y>1)=0.25[1-P(Y=1)]=0.25×0.8=0.2, 所以P(Y=k)≠0,k=2,3,…,m-1, 所以=0.75,2≤k≤m-2, 所以{P(Y=k)},k=2,3,…,m-1,k∈N*是以0.2为首项,0.75为公比的等比数列. ②P(Y=m)=1-P(Y=i)=0.8-0.2×(0.750+0.751+…+0.75m-3), 所以 P(Y=k)= E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+mP(X=m) =1×0.2+0.2[2×0.750+3×0.751+…+(m-1)×0.75m-3]+m[0.8-0.2×(0.750+0.751+…+0.75m-3)] =0.2+0.8m+0.2[(2-m)×0.750+(3-m)×0.751+…+(m-1-m)×0.75m-3], 令T=(2-m)×0.750+(3-m)×0.751+…+(m-1-m)×0.75m-3, 则0.75T=(2-m)×0.751+(3-m)×0.752+…+(m-1-m)×0.75m-2, 两式相减得,0.25T=(2-m)×0.750+0.751+…+0.75m-3-(-1)×0.75m-2=5-m-3×0.75m-2, 所以T=20-4m-12×0.75m-2, 则E(X)=0.2+0.8m+0.2T=4.2-2.4×0.75m-2. 素养评析 　　此题以种子是否发芽为背景,第(1)(2)问通过独立性检验和概率计算,考查了数学运算的核心素养,第(3)问考查了数学运算和逻辑推理的核心素养,综合考查了概率与数列,对学生的要求较高. 22 学科网（北京）股份有限公司 $