第8章 成对数据的统计分析 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第八章　成对数据的统计分析 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.对两个变量x,y的三组数据进行统计,得到以下散点图,关于两个变量样本相关系数的比较,正确的是(　　) 　　 A.r1>r2>r3　　　　B.r2>r3>r1　　　　C.r1>r3>r2　　　　D.r3>r2>r1 2.某中学高中数学社团以16至40岁人群使用某App的频率为课题,分小组进行调查研究,下列说法正确的是(　　) A.甲小组开展了该App每周使用频次与年龄的相关性研究,经计算样本相关系数r≈0.97,可以推断两个变量正线性相关,但相关程度很弱 B.乙小组利用最小二乘法得到该App每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为=0.3x+8,可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C.丙小组用决定系数R2来比较模型的拟合效果,经验回归方程①和②的R2分别约为0.733和0.998,因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D.丁小组研究性别因素是否影响该App使用频次,根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,计算得到χ2=3.837>2.706=x0.1,可以认为不同性别该App的使用频次没有差异 3.某单位为了了解办公楼用电量y(kW·h)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温,并制作了对照表: 平均气温/℃ 18 13 10 -1 用电量/(kW·h) 24 34 38 64 由表中数据得到经验回归方程,当平均气温为-4 ℃时,预测日用电量为(　　) A.68 kW·h　　　　B.52 kW·h　　　　C.12 kW·h　　　　D.28 kW·h 4.下图为变量x,y的一组成对数据的散点图,去掉D(3,10)后,下列说法错误的是(　　) A.样本相关系数r变大　　　　B.残差平方和变大 C.决定系数R2变大　　　　D.变量x与y的相关性变强 5.为促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,提高体质健康水平,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查,统计结果如表所示: 单位:人 性别 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 男 女 50 80 合计 110 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 下列结论不正确的是(　　) A.样本中男生所占比例为60% B.估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45% C.样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人 D.没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关 6.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)组成的一个样本,得到经验回归方程为=2x+0.6,且=3,去除两个样本点(-4,-6)和(4,8)后,新得到的经验回归直线斜率不变,则新得到的经验回归方程为(　　) A.=2x+0.8 7.足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动,为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系,从某高校男女学生中各随机抽取80人进行问卷调查,得到如下数据(10≤m≤20,m∈N): 喜爱 不喜爱 男生 70-m 10+m 女生 50+m 30-m 若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关,则m的最小值为(　　) 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.25 0.10 0.05 0.01 xα 2.072 2.706 3.841 6.635 A.17　　　　B.15　　　　C.13　　　　D.11 8.已知变量y关于x的回归方程为,y与x的一组数据如表所示,若x=5,则预测y的值为(　　) x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 A.e5　　　　B. C.e7　　　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列选项正确的是(　　) A.样本相关系数r越大,成对样本数据的线性相关程度越强 B.已知y关于x的经验回归方程为=0.3-0.7x,则样本点(3,-4)的残差为-2.2 C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其经验回归方程为,若其中一个散点坐标为(-,2.5),则=5 D.若经验回归方程为=3x-1,则当变量x增加1个单位时,平均增加3个单位 10.已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍,下图是该年级全部男女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图,下列说法正确的是(　　) A.参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多 B.参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少 C.若参加调查的学生总人数为300,则能根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断喜欢徒步和性别有关 D.无论参加调查的学生总人数为多少,都能根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断喜欢徒步和性别有关 11.某农科所针对耕种深度x(单位:cm)与水稻每公顷产量y(单位:t)的关系进行研究,所得部分数据如下表: 耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18 每公顷产量y/t 6 8 m n 11 12 已知m<n,用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程为)2=24,数据在样本(12,m),(14,n)处的残差分别为ε1,ε2,两个变量x,y之间的样本相关系数r=.则(　　) 参考公式:. A.m+n=17　　　　B. C.　　　　D.ε1+ε2=-1 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查,其中女生人数是男生人数的,男生追星的人数占男生人数的,女生追星的人数占女生人数的,若依据α=0.05的独立性检验,认为中学生追星与性别有关,则男生至少有　　　　人.  参考数据及公式如下: α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 χ2=,n=a+b+c+d. 13.用模型y=aebx拟合一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,7),其中x1+x2+…+x7=6,设z=ln y,变换后的经验回归方程为=x+5,则y1y2…y7=　　　　.  14.对于变量x和变量y,经过随机抽样获得成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5),且)2=9.2,若y关于x的经验回归方程为,其样本相关系数为r=,则=　　　　.  参考数据:. 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)食品安全负责部门为了对某大型超市经营的某品牌(由A,B两个不同的产地生产)的“预制食品”的某些指标进行检测,随机从A,B两个产地生产的产品中分别抽取了30个作为样本进行检测,依据检测相应指标的相关数据,将其划定为“优良”和“合格”两个级别,记录相关数据得到如下2×2列联表: 单位:个 级别 产地 合计 A B 优良 20 15 35 合格 10 15 25 合计 30 30 60 (1)依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析该食品的指标等级与产地是否有关; (2)该超市对该“预制食品”进行打包促销,对于同一产地生产的食品采用每5个装为一个“促销大礼包”的促销形式,若某顾客随机购买了一个“促销大礼包”,经检测显示恰有4个为优良级别,试通过概率知识确定该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率(该超市A,B两个产地该食品的售出量之比为3∶2,以列联表中各自产品优良的频率代替各自产品优良的概率). 参考公式和数据:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分)中国消费者信息研究报告显示,超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物,某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天的数据,列表如下: x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系.若可以,求出y关于x的经验回归方程,并估计1月10日到该专营店购物的人数;若不可以,请说明理由(人数用四舍五入法取整数,若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可以用线性回归模型拟合,r精确到0.01); (2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案.方案一:购物金额每满100元可减5元;方案二:一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1 000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考数据:≈65.88. 附:样本相关系数r=. 17.(15分)某校研究学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系,随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩(单位:分),如表1: 表1 序号 数学 物理 序号 数学 物理 1 144 95 11 98 68 2 130 90 12 95 77 3 124 79 13 94 59 4 120 85 14 92 65 5 110 69 15 90 57 6 107 82 16 88 58 7 103 80 17 85 70 8 102 62 18 85 55 9 100 67 19 80 52 10 98 75 20 75 54 (1)数学120分及以上记为优秀,物理80分及以上记为优秀. (i)完成如下列联表: 单位:人 物理成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 不优秀 合计 (ii)依据α=0.01的独立性检验,能否认为数学成绩与物理成绩有关联? (2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本,如表2: 表2 数学成绩/分 130 110 100 85 75 物理成绩/分 90 69 67 70 54 如图所示,横轴表示数学成绩,纵轴表示物理成绩,将表2中的成对样本数据表示为散点图,观察散点图,可以看出样本点集中在一条直线附近,由此推断数学成绩与物理成绩线性相关. (i)求样本相关系数r; (ii)建立物理成绩y(单位:分)关于数学成绩x(单位:分)的一元线性回归模型,求经验回归方程,并预测数学成绩为120分的同学的物理成绩.(四舍五入取整数) 参考公式:(1)样本相关系数r=. (2)经验回归方程x中,. (3)χ2=,其中n=a+b+c+d. 临界值表: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分)蝗虫能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y(单位:个)和平均温度x(单位:℃)有关,根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图,发现两个变量并不呈线性相关关系,现分别用模型①y=c1x2+c2与模型②y=作为平均产卵数y和平均温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系. 平均温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y/个 5 9 22 25 65 118 324 t=x2 441 529 625 729 841 1 024 1 225 z=ln y 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 27.43 773.43 81.14 3.55 20.03 0.37 0.29 0.005 2 其中ti=ti,zi=ln yi,zi. (1)根据表中数据,经计算得出模型①=0.37x2-205.03,请建立模型②下y关于x的回归方程;并在两个模型下分别估计平均温度为30 ℃时的产卵数;(c3,c4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据:e4.25≈70.11,e4.30≈73.70,e4.35≈77.48) (2)模型①,②的决定系数分别为=0.988,请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好; (3)根据以往统计,该地每年平均温度达到30 ℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到30 ℃以上的概率为p(0<p<1),该地今后n(n≥3,n∈N*)年恰好需要2次人工防治的概率为f(p). ①求f(p)取得最大值时对应的概率p0; ②当f(p)取得最大值时,设该地今后5年需要人工防治的次数为X,求X的均值和方差. 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 19.(17分)某校20名学生的数学成绩x(单位:分)和知识竞赛成绩y(单位:分)如下表: 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩xi 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩yi 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩xi 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩yi 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩xi(单位:分)的平均值是=75,知识竞赛成绩yi(单位:分)的平均值是=90,并且)2=6 464,)2=149 450,)=21 650. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01); (2)设N∈N*,变量x和变量y的一组样本数据为(xi,yi),i=1,2,…,N,其中xi(i=1,2,…,N)两两不相同,yi(i=1,2,…,N)两两不相同.记xi在{xn|n=1,2,…,N}中的排名是第Ri位,yi在{yn|n=1,2,…,N}中的排名是第Si位,i=1,2,…,N.定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”(记为ρ)为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数. (i)记di=Ri-Si,i=1,2,…,N,证明:ρ=1-; (ii)用(i)的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91,简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 参考公式与参考数据:r=; ≈31 081. 答案全解全析 第八章　成对数据的统计分析 1.C　由散点图可知图1表示的是正相关,故r1>0;图2和图3表示的是负相关,且图2中的点比图3中的点分布更为集中, 因此r2<0,r3<0,且|r2|>|r3|,所以r2<r3<0. 综上,r1>r3>r2. 2.C　对于A,|r|越接近1,线性相关程度越强,故A错误; 对于B,由经验回归方程=0.3x+8得出的是预测值,与实际值会有误差,所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次,故B错误; 对于C,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多,故C正确; 对于D,χ2=3.837>2.706=x0.1,可以认为不同性别该App使用频次有差异,故D错误. 3.A　由题表可得=10,=40,根据经验回归直线必过点(,),得40=-2×10+,所以=60,所以=-2x+60,当x=-4时,=-2×(-4)+60=68. 4.B　由散点图知,去掉D后,x与y的相关性变强,且为正相关,所以r变大,R2变大,残差平方和变小. 5.D　补全列联表如下: 单位:人 性别 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 对于A,样本中男生所占比例为×100%=60%,故A中结论正确; 对于B,估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为×100%=45%,故B中结论正确; 对于C,样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多80-30=50人,故C中结论正确; 对于D,根据表中数据,得χ2=≈16.498>10.828, 所以有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关,故D中结论错误. 6.A　因为原经验回归方程为=2x+0.6,=3,所以=2+0.6=6.6. 原样本有10对数据,=xi=3,=yi=6.6, 则xi=30,yi=66. 去除两个样本点(-4,-6),(4,8)后,样本有8对数据,且-4+4=0,8-6=2,所以新样本中'==3.75,'==8, 因为新的经验回归直线的斜率不变,所以设新的经验回归方程为=2x+b, 将(3.75,8)代入方程,得8=2×3.75+b,所以b=0.5, 所以新的经验回归方程为=2x+0.5. 7.B　因为有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关,所以χ2=≥2.706,即(m-10)2≥20.295, 因为y=(m-10)2在10≤m≤20,m∈N时单调递增,且(14-10)2<20.295,(15-10)2>20.295, 所以m的最小值为15. 8.D　对=的两边同时取自然对数,得ln =x-0.5, ∴=·-0.5,解得=1.6,∴y关于x的回归方程为=e1.6x-0.5,当x=5时,=e8-0.5=. 9.BD　对于A,|r|越大,成对样本数据的线性相关程度越强,故A错误; 对于B,当x=3时,=0.3-0.7×3=-1.8,所以残差为-4-(-1.8)=-2.2,故B正确; 对于C,散点不一定满足经验回归方程,不能直接代入方程,故C错误; 对于D,经验回归方程为=3x-1,变量x增加1个单位时,平均增加3个单位,故D正确. 10.AC　对于A、B,设该学校高二年级男生人数为2a,女生人数为a, 则学生中喜欢徒步的男生人数为2a×0.7=1.4a,喜欢徒步的女生人数为0.4a,不喜欢徒步的男生人数为2a×0.3=0.6a,不喜欢徒步的女生人数为0.6a,A正确,B错误; 对于C,若参加调查的学生总人数为300,则男生有200人,女生有100人,可得2×2列联表如下: 单位:人 是否喜欢徒步 性别 合计 男生 女生 喜欢 140 40 180 不喜欢 60 60 120 合计 200 100 300 则χ2==25>6.635, 所以能根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断喜欢徒步和性别有关,C正确; 对于D,由A、B中的分析可得2×2列联表如下: 单位:人 是否喜欢徒步 性别 合计 男生 女生 喜欢 1.4a 0.4a 1.8a 不喜欢 0.6a 0.6a 1.2a 合计 2a a 3a 则χ2==0.25a,不能判断0.25a与6.635的大小关系,所以不能根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断喜欢徒步和性别有关,D错误. 11.ABD　∵(yi-)2=(-2yi+)=-6=510-6=24, ∴=81,∴==9,∴m+n=17,因此A正确; 由题表数据得==13, ∴r==,∴(xi-)(yi-)=40, ∴====, ∴=-=9-×13=, ∴=x+,则ε1+ε2=m-+n-=m+n-18=17-18=-1,因此B,D正确,C错误. 12.答案　30 解析　设男生人数为x,依题意可得列联表如下: 单位:人 追星 不追星 总计 男生 x 女生 总计 则χ2==x≥3.841,解得x>25.6, 由题知x应为6的整数倍,∴x最小为30,即男生至少有30人. 13.答案　e41 解析　因为x1+x2+…+x7=6,所以==,所以=+5=+5=,即===, 所以ln(y1y2…y7)=41,即y1y2…y7=e41. 14.答案　3 解析　因为=4,=90,所以(xi-)2=-5=90-5×42=10, 因为r===,所以(xi-)(yi-)=9, 所以===0.9,所以=-=6.6-0.9×4=3. 15.解析　(1)零假设为H0:该食品的指标等级与产地无关, 根据表中数据,计算得χ2=≈1.714<2.706=x0.10,(3分) 依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立, 因此可以认为该食品的指标等级与产地无关.(5分) (2)设事件M=“‘促销大礼包’中有4个为优良级别”,A=“‘促销大礼包’中的食品由A产地生产”,B=“‘促销大礼包’中的食品由B产地生产”, 则P(A)=,P(B)=,(7分) 所以P(M)=P(M|A)P(A)+P(M|B)P(B) =×××+×××=+=,(10分) 则P(A|M)====, 所以该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率为.(13分) 16.解析　(1)r===≈0.97>0.75, 所以可以用线性回归模型拟合人数y与时间第x天之间的关系.(3分) 易得===6.4,==3,==90,(5分) 则=-=90-6.4×3=70.8,所以=6.4x+70.8,(6分) 当x=6时,=6.4×6+70.8=109.2, 所以1月10日到该专营店购物的人数约为109.(7分) (2)若选方案一,则付款金额为1 000-50=950元.(8分) 若选方案二,设付款金额为X元,则X的可能取值为600,800,900,1 000,(9分) P(X=600)=×=, P(X=800)=××=, P(X=900)=××=, P(X=1 000)=×=,(13分) 所以E(X)=600×+800×+900×+1 000×=<950, 因此选择方案二更优惠.(15分) 17.解析　(1)(i)补全列联表如下: 单位:人 物理成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计 5 15 20 (3分) (ii)零假设为H0:数学成绩与物理成绩相互独立,即数学成绩与物理成绩无关联, χ2=≈6.667>6.635=x0.01,(6分) 依据α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为数学成绩与物理成绩有关联.(7分) (2)(i)由题表中数据得=100,=70,(xi-)(yi-)=990,(xi-)2=1 850,(yi-)2=666, 所以r==≈0.892.(10分) (ii)由(2)中(i)得==,(12分) 所以=-=70-×100=,(13分) 所以经验回归方程为=x+,(14分) 当x=120时,=×120+=≈81,所以数学成绩为120分的同学的物理成绩约为81分.(15分) 18.解析　(1)z=ln y=ln =c3x+c4,所以z与x呈线性相关关系,(1分) 则==0.29,(3分) =-=3.55-0.29×27.43=-4.404 7≈-4.40,(5分) 所以=0.29x-4.40,故=e0.29x-4.40, 所以模型②下y关于x的回归方程为=e0.29x-4.40.(6分) 当x=30时, 经模型①计算估计产卵数为y1=0.37×302-205.03=127.97, 经模型②计算估计产卵数为y2=e0.29×30-4.40=e4.30≈73.70.(8分) (2)因为<,所以模型②的拟合效果更好.(9分) (3)①由题得f(p)=p2(1-p)n-2(0<p<1,n≥3,n∈N*),(10分) 则f'(p)=2p2(1-p)n-3 =p(1-p)n-3(2-np),(11分) 令f'(p)=0,得p=, 当p∈时,f'(p)>0;当p∈时,f'(p)<0, 所以f(p)在上单调递增,在上单调递减,(12分) 所以f(p)取得最大值时对应的概率p0=(n≥3,n∈N*).(13分) ②由①知,当p0=(n≥3,n∈N*)时, f(p)取得最大值, 所以当n=5时,p0=,(14分) 由题意可知每年需要人工防治的概率为,且X~B,(15分) 所以E(X)=5×.(17分) 19.解析　(1)由题意,这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为r=≈0.70.(4分) (2)(i)证明:由已知得Si=1+2+…+N=,(5分) =12+22+…+N2=,(6分) 所以,(7分) 因此 =,(9分) 同理可得,(10分) 由于)=2·)·(Si-), 因此,(12分) 所以ρ=.(14分) (ii)这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”是0.91,样本相关系数r≈0.7,因为0.91>0.7,所以“斯皮尔曼相关系数”对于异常值不敏感,如果数据中有明显的异常值,那么用“斯皮尔曼相关系数”比用样本相关系数更能刻画某种线性关系. (或者“斯皮尔曼相关系数”刻画的是样本数据排名的样本相关系数,与具体的数值无关,只与排名有关.若一组数据有异常值,但排名依然符合一定的线性关系,则可以采用“斯皮尔曼相关系数”刻画线性关系)(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $