第8章 成对数据的统计分析 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　选错回归模型致错 1.(2025山东夏津第一中学月考)网民的智慧与活力催生新业态,网络购物,直播带货,App买菜等进入我们的生活,改变了我们的生活方式,随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心App”推出后,某地区采取多措并举的推广方式,努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计,该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关,并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据. x 1 2 3 4 5 6 7 y 891 888 351 220 200 138 112 (1)根据以上数据,判断y=ax+b与y=+b(a,b∈R)哪一个适宜作为回归方程模型?根据判断结果,求出y关于x的回归方程; (2)分析该地区一直推广下去,两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下. 参考数据:xiyi=7 212,tiyi=1 586,=0.55,其中ti=. 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 2.(2025河北邢台名校协作体期中)某市为吸引大学生人才来本市就业,大力实行人才引进计划,提供现金补贴,为了解政策的效果,收集了2015—2024年人才引进就业人数数据(单位:万),统计如下(年份代码1—10分别代表2015—2024年),其中zi=ln yi,wi=ln xi,e2.8≈16.44,e2.92≈18.54,e3.04≈20.91,ln 11≈2.40,ln 12≈2.48,ln 13≈2.56,ln 2 022≈7.61. 年份 代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人才 引进 就业 人数y /万 3.4 5.7 7.3 8.5 9.6 10.2 10.8 11.3 11.6 11.8 (1)根据数据画出散点图,并判断y=a+bx,y=ec+dx,y=m+nln x哪一个适合作为该市人才引进就业人数y关于年份代码x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) )2 )2 5.5 9.02 2.14 1.51 82.5 4.84 ) ) ) 72.2 9.67 18.41 (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(所有过程保留两位小数) (3)试预测该市2026年的人才引进就业人数. 参考公式:. 易错点2　用错公式致错 3.(多选题)(2025河北秦皇岛模拟)某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量,如下表所示,若y与x线性相关,且经验回归方程为,则(　　) 月份编号x 1 2 3 4 5 下载量y/万次 5 4.5 4 3.5 2.5 A.y与x负相关 B.=5.7 C.第7个月的下载量估计为1.8万次 D.残差绝对值的最大值为0.2 4.(2025湖南师范大学附属中学段考)某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况,随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价,已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为9∶11,评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”,并将部分评价结果整理如下表所示. 单位:人 喜欢 不喜欢 合计 男性 15 女性 合计 50 100 (1)根据所给数据,完成上面的2×2列联表; (2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为性别因素与评价结果有关系? 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.010 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 5.(2025福建泉州月考)一种药用昆虫的产卵数y(单位:个)与一定范围内的温度x(单位:℃)有关,现收集了6组观测数据如下表: 温度x/℃ 21 23 24 27 29 32 产卵数y/个 6 11 20 27 57 77 经计算得=3 930,一元线性回归模型的残差平方和=236.64,e8.060 5≈3 167,其中xi,yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1,2,3,4,5,6. (1)若用一元线性回归模型表示y与x的关系,求y关于x的经验回归方程(精确到0.1); (2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.230 3x,且决定系数R2=0.952 2. (i)试与(1)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好; (ii)用拟合效果好的模型预测温度为35 ℃时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数). 附:一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,决定系数R2=1-,0≤R2≤1,R2越接近1, 表示模型的拟合效果越好. 思想方法练 一、数形结合思想在统计中的应用 1.(2024上海宜川中学阶段测试)下图是某地区2013年至2022年污染天数y与年份x的折线图,根据2013—2017年的数据,2018—2022年的数据,2013—2022年的数据分别得到经验回归方程,则(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 2.(2025湖北武汉调考)某医学研究团队经过研究发现某良性肿瘤与恶性肿瘤的一项医学指标有明显差异,利用该指标可制定一个检测标准,需要确定临界值m,将该指标大于m的人判定为患恶性肿瘤,小于或等于m的人判定为患良性肿瘤.此检测标准的漏诊率是将恶性肿瘤判定为良性肿瘤的概率,记为p(m);误诊率是将良性肿瘤判定为恶性肿瘤的概率,记为q(m). (1)若利用临界值m=157.5进行判定时,随机抽取男女患者各200名进行检验,发现共有11名男性患者出现诊断问题(漏诊或误诊),请完成如下的2×2列联表,并依据小概率值α=0.010的独立性检验,推断出现诊断问题是否与性别有关? 单位:人 出现诊断问题 未出现诊断问题 总计 男性患者 11 200 女性患者 总计 36 400 (2)经过大量调查,得到良性肿瘤和恶性肿瘤患者该指标的频率分布直方图如下: 假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数f(m)=p(m)+q(m),m∈[155,165],求f(m)的解析式,并解释f(m)取得最小值时临界值的实际意义. 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 二、转化与化归思想在统计中的应用 3.(2025江西金溪第一中学期中)细胞在适宜环境下的繁殖通常符合y=c1类型的模型,假设某种细胞的初始数量为c1,在理想条件下,每个细胞单位时间的繁殖率一定,经过x个单位时间后,细胞总数y(万个)会呈指数增长.设z=ln y,变换后得到经验回归方程,已知该回归直线的样本点中心为(4,1.42),则c1=(　　) A.e0.596　　　　B.0.596　　　　C.e0.206　　　　D.0.206 4.(2025湖南师范大学附属中学月考)某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入,该公司近5年的年广告费x(单位:百万元)和年销售量y(单位:百万辆)的关系如图所示: 令v=ln x,数据经过初步处理得到下表: yi vi (xi- )2 (yi- )2 (vi- )2 (xi- ) (yi- ) 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①y=bx+a和②y=nln x+m两种方案作为y关于x的回归分析模型,其中a,b,m,n均为常数. (1)请从样本相关系数的角度分析哪一个模型拟合程度更好; (2)根据(1)中所选的模型及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测年广告费为6百万元时,产品的年销售量是多少; (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入,年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润除了受年广告费和年研发经费的影响外,还受随机变量ξ的影响,设随机变量ξ服从正态分布N(600,σ2),且满足P(ξ>800)=0.3.在(2)的条件下,求该公司年净利润的最大值大于1 000百万元的概率.(年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量的值) 附:①对于(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),相关系数r=,经验回归方程x中,; ②参考数据:≈20.1,ln 5≈1.6,ln 6≈1.8. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.解析　(1)由题表中数据可得y=+b更适宜作为回归方程模型(可描点观察). ×(891+888+351+220+200+138+112)=400, 令t=,设y关于t的经验回归方程为, 则=1 000,=400-1 000×0.37=30,则=1 000t+30, 故y关于x的回归方程为+30. (2)由回归方程+30可知,随着x的增大,y逐渐减小, 当x=24时,+30≈71.7<75, 故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下. 2.解析　(1)散点图如图, 由图知,y=m+nln x适合作为该市人才引进就业人数y关于年份代码x的回归方程类型. (2)≈3.80,=9.02-3.80×1.51≈3.28, ∴y关于x的回归方程为=3.80ln x+3.28. (3)当x=12时,≈3.80×2.48+3.28=12.704, ∴预测该市2026年的人才引进就业人数为12.704万. 易错警示 从题中所给多个模型中选择一个最合适的模型时,常因选择的不是最佳模型而导致错误.产生错误的原因一般有两种:一是根据散点图判断时,由于题中所给散点的个数不多,造成错误判断;二是对数据的分析过于简单,比如仅从变量间的增减进行判断,缺乏对线性与非线性、增减快与慢的分析等. 3.ABD　对于A,=-0.6<0,所以y与x负相关,故A正确; 对于B,=3.9,即样本点的中心为(3,3.9), 则3.9=-0.6×3+,解得=5.7,故B正确; 对于C,=-0.6x+5.7,当x=7时,=-0.6×7+5.7=1.5,故C错误; 对于D,由题意可得下表: x 1 2 3 4 5 y 5 4.5 4 3.5 2.5 =-0.6x+5.7 5.1 4.5 3.9 3.3 2.7 |y-| 0.1 0 0.1 0.2 0.2 则残差绝对值的最大值为0.2,故D正确. 易错警示 经验回归直线必过样本点的中心,残差=观测值-预测值,解题时防止记错公式导致错误. 4.解析　(1)由题意,男性有100×=45人,女性有100-45=55人, 可得2×2列联表如下: 单位:人 喜欢 不喜欢 合计 男性 15 30 45 女性 35 20 55 合计 50 50 100 (2)零假设为H0:性别因素与评价结果无关. 计算得χ2=≈9.091>7.879=x0.005, 依据小概率值α=0.005的独立性检验,可推断H0不成立, 即认为性别因素与评价结果有关系. 易错警示 注意χ2的计算公式中a,b,c,d的各项要准确对应,不要弄混. 5.解析　(1)由题意得≈6.6, ×26≈-139.4, 故y关于x的经验回归方程为=6.6x-139.4. (2)(i)对于一元线性回归模型, 其相关指数为1-≈1-0.060 2=0.939 8, 因为0.952 2比0.939 8更接近1,所以用非线性回归模型拟合效果更好. (ii)当x=35时,=0.06×e0.230 3×35=0.06×e8.060 5≈0.06×3 167=190.02≈190, 所以预测温度为35 ℃时该种药用昆虫的产卵数为190个. 易错警示 样本相关系数r以及经验回归方程中的计算公式很相似,使用时要分清公式结构,不要弄混,另外,其涉及的数字计算都较为复杂,计算时需仔细. 思想方法练 1.C　由题中统计图可知2013—2017年,y随着x的增加平缓下降,2018—2022年,y随着x的增加迅速下降, (根据题图可直观得出污染天数y与年份x在每个阶段的关系,体现了数形结合的思想) 根据经验回归方程中的几何意义可知,<0,由点的分布可知,∈(∈(),所以. 2.解析　(1)2×2列联表如下: 单位:人 出现诊断问题 未出现诊断问题 总计 男性患者 11 189 200 女性患者 25 175 200 总计 36 364 400 零假设为H0:出现诊断问题与性别无关, 则χ2=≈5.983<6.635=x0.010, 依据小概率值α=0.010的独立性检验,没有充分的证据证明零假设H0不成立,即认为出现诊断问题与性别无关. (2)当m∈[155,160]时,f(m)=p(m)+q(m) =(m-155)×0.008+(160-m)×0.012+0.008×5=0.72-0.004m, 当m∈(160,165]时,f(m)=p(m)+q(m) =0.008×5+(m-160)×0.016+(165-m)×0.008=0.008m-1.2. (根据题中频率分布直方图,求出f(m)=p(m)+q(m),m∈[155,165]) 所以f(m)= 所以f(m)在[155,160]上单调递减,在(160,165]上单调递增, 故当m=160时,有f(m)min=0.08. 在实际中,以f(m)取得最小值时的临界值m=160为标准,可以使漏诊率与误诊率的和最小,是检测效果最好的临界值. 思想方法 数形结合思想是一种非常重要的思想方法,把“数”与“形”巧妙地结合起来,充分应用“形”的直观性、“数”的严密性与准确性,使抽象问题直观化、复杂问题简单化,从而使问题得到解决. 3.A　由题意得1.42=0.206×4+,解得=0.596, 因此=0.206x+0.596, 由y=c1两边同时取对数,得ln y=c2x+ln c1, 又z=ln y,所以ln c1=0.596,即c1=e0.596.(通过两边取对数并换元,利用一元线性回归模型解决非线性回归模型问题) 4.解析　(1)设模型①和②的样本相关系数分别为r1,r2, 由题意可得r1=≈≈0.97, 在模型y=nln x+m中,由v=ln x得y=nv+m, (通过换元,将非线性回归模型转化为一元线性回归模型,进而计算相关系数) r2==1, 所以|r1|<|r2|,由相关系数的相关性质可得,模型②的拟合程度更好. (2)由(1)知,选择模型②y=nln x+m,由v=ln x得y=nv+m, (通过换元将对数型函数模型转化为一元线性回归模型,利用一元线性回归模型的相关公式解决问题) 由题中已知数据得=5, 又yi=8.8, 所以=8.8-0.96×5=4, 所以+4,即y关于x的回归方程为=5ln x+4, 当x=6时,=5ln 6+4≈5×1.8+4=13, 因此当年广告费为6百万元时,产品的年销售量约为13百万辆. (3)设公司年净利润为g(x)百万元,则g(x)=200×(5ln x+4)-200x-ξ, 所以g'(x)=,令g'(x)>0,得0<x<5,令g'(x)<0,得x>5. 故g(x)在(0,5)上单调递增,在(5,+∞)上单调递减, 所以g(x)max=g(5)=200×(5ln 5+4-5)-ξ≈200×(5×1.6+4-5)-ξ=1 400-ξ, 由题意得1 400-ξ>1 000,即ξ<400, 又ξ~N(600,σ2),所以P(ξ<400)=P(ξ>800)=0.3, 即该公司年净利润的最大值大于1 000百万元的概率为0.3. 思想方法　　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在解决非线性回归问题中,即两个变量不是线性相关关系时,利用变量间的转换,把非线性回归问题转化为线性回归问题加以解决. 1 学科网（北京）股份有限公司 $