7.4.1 二项分布（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项分布，从伯努利试验概念切入，通过n重伯努利试验特征引出二项分布定义、均值方差，结合知识辨析巩固概念，再以实际应用典例和方法总结构建完整知识支架。 其亮点在于结合节排器质量评估、阶梯水价等现实案例，用数学眼光观察实际问题，通过辨析判断和概率最大值求解步骤培养数学思维，以分布列、均值计算等数学语言表达，帮助学生建立模型观念，教师教学更具系统性和实践性。

知识点 1 伯努利试验 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 必备知识 清单破 1.伯努利试验的概念 　　把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验 (1)定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识点2　 二项分布 知识点 2 1.二项分布的概念 　　一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A 发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上 式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p). 注意:两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1时的二项分布. 2.二项分布的均值与方差 若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识辨析 1.在n重伯努利试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同吗? 2.如何判断随机变量X是否服从二项分布? 第七章　随机变量及其分布 高中同步 一语破的 1.不可以.“重复”意味着各次试验中事件发生的概率必须相同. 2.①对立性,即一次试验中,事件A发生与否两者必有其一;②重复性,即试验是否独立重复地 进行了n次;③X为事件A发生的次数. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点　二项分布的实际应用  利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤 (1)根据题意设出随机变量; (2)分析随机变量是否服从二项分布; (3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值; (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 关键能力 定点破 定点 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例1 为降低汽车尾气的排放量,某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器,分别从甲、乙两 种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所 示.   第七章　随机变量及其分布 高中同步   节排器等级及利润率如表所示,其中 <a< . 第七章　随机变量及其分布 高中同步 综合得分k的范围 节排器等级 节排器利润率 k≥85 一级品 a 75≤k<85 二级品 5a2 70≤k<75 三级品 a2 视频率分布直方图中的频率为概率,用样本估计总体. (1)若从这100件甲型号节排器中,按节排器等级用分层随机抽样的方法抽取10件,再从这10件 节排器中随机抽取3件,求至少有2件一级品的概率; (2)①若从乙型号节排器中随机抽取3件,求其中二级品的件数X的分布列及数学期望E(X); ②从长期来看,投资哪种型号节排器的平均利润率较大? 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)由题中的频率分布直方图知,甲型号节排器中的一级品的频率为 ,二级品的频率 为 , 用分层随机抽样的方法抽取10件, 则抽取一级品的件数为10× =6,二级品的件数为4. 故从这10件节排器中随机抽取3件,至少有2件一级品的概率P= = . (2)①由题中的频率分布直方图知,乙型号节排器中的一级品的频率为 ,二级品的频率为 , 三级品的频率为 , 若从乙型号节排器中随机抽取3件, 则其中二级品的件数X~B , 第七章　随机变量及其分布 高中同步 所以P(X=0)=   = , P(X=1)=   = , P(X=2)=   = , P(X=3)=   = . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P         第七章　随机变量及其分布 高中同步 E(X)=3× = . ②由题意知,投资甲型号节排器的平均利润率E1= a+ ×5a2=2a2+ a, 投资乙型号节排器的平均利润率E2= a+ ×5a2+ a2= a2+ a, 则E1-E2= a2- a= a , 又 <a< , 所以E1-E2<0,故E1<E2, 所以投资乙型号节排器的平均利润率较大. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例2 为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅(一套住 宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如表所示. 阶梯级别 第一 阶梯 第二 阶梯 第三 阶梯 月用水量范围 (单位:立方米) (0,10] (10,15] (15,+∞) 第七章　随机变量及其分布 高中同步 从本市随机抽取了10户家庭(编号分别为1~10),统计了他们某月的用水量,得到如下表格: 家庭 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 月用 水量 (单位: 立方 米) 7 10 11 12 13 13 14 15 20 32 用抽到的10户家庭的月用水量作为样本估计全市居民的用水情况,现从全市随机抽取10户, 若抽到k户月用水量为第二阶梯的可能性最大,求k的值. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    由题中表格可知,抽取的10户家庭中月用水量为第二阶梯的频率为 = . 设Y为从全市抽取的10户家庭中月用水量为第二阶梯的家庭户数, 依题意得Y~B ,所以P(Y=k)=  ,k=0,1,2,…,10. 设t= = = , 若t>1,则k<6.6,此时P(Y=k-1)<P(Y=k); 若t<1,则k>6.6,此时P(Y=k-1)>P(Y=k). 因为 = = >1, 第七章　随机变量及其分布 高中同步 所以k的值为6. 方法总结 　　求二项分布中的概率最大值的步骤: (1)由X~B(n,p),得P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n; (2)当k≥1时,令P(X=k)-P(X=k-1)≥0或 ≥1,求出k的取值集合,在此集合中P(X=k)随 k的增大而增大,在其补集中P(X=k)随k的增大而减小; (3)结合(2)中的单调性确定P(X=k)的最大值和其对应的k的值. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 $