5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第五章 三角函数 5.5　三角恒等变换 5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换 [学习目标]　1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理) 2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算) 3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，能推导出三角函数的积化和差、和差化积公式．(逻辑推理) 第1课时　简单的三角恒等变换 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何用cos α表示sin2，cos2和tan2？ 问题2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？ 问题3．教材P225例8体现了哪些数学思想？ 第1课时　简单的三角恒等变换 探究建构 关键能力达成 探究1　半角公式 问题　回顾二倍角公式，思考如何用cos α表示，cos2 ，tan2 ？ 提示：sin2 cos2 tan2 ．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 【教材原题·P225例7】 例7　试以cos α表示sin2，cos2，tan2． [解]　α是的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，得 cos α＝1－2sin2， 所以sin2． ① 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 在倍角公式cos 2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，得cos α＝2cos2－1， 所以cos2． ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 【教材原题·P226练习T1】求证：tan ． [证明]　tan ＝． tan ． 所以tan ＝＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [新知生成] 半角公式 (1)sin ＝___________； (2)cos ＝___________； (3)tan ＝___________； (4)tan ＝________＝________． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 【教用·微提醒】　半角公式中的“±”号由的终边所在象限决定． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)已知sin α＝，求下列条件下sin ，cos ，tan 的值： (1)0<α<； (2)角α在第一象限． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [解]　(1)当0<α<时，0<<． 又sin α＝，所以cos α＝＝＝， 所以sin ＝＝＝， cos ＝＝＝， tan ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 (2)当角α在第一象限时，2kπ<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ<<kπ＋(k∈Z)． 当k为偶数时，角在第一象限，故由(1)可得 sin ，cos ，tan ． 当k为奇数时，角在第三象限，此时有 sin ，cos ，tan ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 反思领悟　利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [学以致用]　【链接教材P226练习T2】 1．(1)若sin θ＝<θ<3π，则tan ＋cos ＝(　　) A．3＋ 　 B．3－ C．3＋ 　 D．3－ (2)已知sin α＝－，α∈，则tan ＝______． √ －　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 (1)B　(2)－　[(1)因为sin θ＝<θ<3π， 所以cos θ＝－＝－， 因为<<，所以sin <0，cos <0， 所以sin ＝－＝－，cos ＝－＝－， 所以tan ＝3，则tan ＋cos ，故选B． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 (2)法一：因为sin α＝－，α∈， 所以cos α＝－． 因为α∈，所以∈， 所以tan <0． 所以tan ＝－＝－． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 法二：因为sin α＝－，α∈， 所以cos α＝－． 所以tan ．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 【教材原题·P226练习T2】已知cos θ＝，且270°＜θ＜360°，试求sin 和cos 的值． [解]　∵270°＜θ＜360°，∴135°＜＜180°， ∴sin ＞0，cos ＜0． ∴sin ＝＝＝，cos ＝＝－＝－． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 【教用·备选题】　在△ABC中，若cos A＝，cos B＝，求sin ，cos ，tan 的值． [解]　因为A，B，C均为三角形的内角， 所以sin A＝＝，sin B＝＝， 所以cos C＝－cos (A＋B)＝sin A sin B－cos Acos B＝， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 所以sin ＝＝＝， cos ＝＝＝， tan ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 探究2　化简问题 [典例讲评]　2．设θ∈(0，π)，化简：． [解]　原式＝ ＝＝－． 因为0＜θ＜π，所以0＜＜， 所以cos ＞0，所以原式＝－cos θ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 反思领悟　化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [学以致用]　2．设α∈，化简：． [解]　∵α∈∈， ∴cos α>0，cos <0， 故原式＝＝＝＝－cos ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 探究3　三角恒等式的证明 [典例讲评]　【链接教材P225例8】 3．(源自湘教版教材)当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [证明]　当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，利用二倍角公式及sin2＋cos2＝1， 可得sin α＝2sin cos ． ① cos α＝cos2－sin2． ② 将①②两式相除，可得tan α＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 【教材原题·P225例8】 例8　求证： (1)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； (2)sin θ＋sin φ＝2sin cos ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 证明：(1)因为 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 (2)由(1)可得 sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β． ① 设α＋β＝θ，α－β＝φ， 那么α＝． 把α，β的值代入①，即得 sin θ＋sin φ＝2sin cos ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 反思领悟　证明恒等式的一般步骤 (1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异． (2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [学以致用]　【链接教材P226练习T4】 3．已知cos θ＝．求证： tan2． [证明]　tan2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 【教材原题·P226练习T4】　求证： (1)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； (2)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； (3)sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 [证明]　(1)[sin(α＋β)－sin(α－β)]＝[sin α cos β＋cos αsin β－sin αcos β＋cos αsin β]＝cos αsin β． (2)[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝[cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋ sin αsin β]＝cos αcos β． (3)－[cos (α＋β)－cos (α－β)] ＝－[cos αcos β－sin αsin β－cos αcos β－sin αsin β]＝sin αsin β．等式成立． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 应用迁移 随堂评估自测 1．(教材P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝(　　) A．2－ 　 B．2＋ C．－2 　 D．±(－2) √ C　[∵sin α＝，cos α＝， ∴tan ＝－2．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 √ 2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　) A．－ 　 B． C．－ 　 D． D　[，由于sin 2α＝，所以cos2，故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 √ 3．sin ＝(　　) A． 　 B． C．2－ 　 D． B　[因为0<<，所以sin ＝＝＝．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 4．已知锐角θ终边上一点P的坐标为(3，4)，则tan ＝________． 　[由三角函数定义可知：sin θ＝，cos θ＝，则tan ．] 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 1．知识链： 2．方法链：转化与化归． 3．警示牌：半角公式符号的判断． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．tan 与sin α，cos α存在怎样的等量关系？ [提示]　tan ． 2．如何用cos α表示sin2，cos2？ [提示]　sin2，cos2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 3．如何用tan 表示sin α，cos α及tan α？ [提示]　sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中α≠2kπ＋π(k∈Z)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(五十六)　简单的三角恒等变换 √ 一、选择题 1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 40 D　[由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2，又α为锐角，所以sin >0，所以sin ，故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．若π<α<2π，则化简 的结果是(　　) A．sin 　 B．cos C．－cos 　 D．－sin C　[∵π<α<2π，∴<<π，∴cos <0，原式＝＝＝ －cos ．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝(　　) A．－　B． C．2 　D．－2 A　[∵α是第三象限角，cos α＝－， ∴sin α＝－，∴tan ＝－3， ∴．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 43 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan 的值为(　　) A．2 　 B． C．－2 　 D．－ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由sin α＋sin β＝sin ＋sin ＝2sin cos ， cos α＋cos β＝cos ＋cos ＝2cos cos ， 两式相除得tan ＝2． 故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 45 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(多选)下列各式与tan α相等的是(　　) A． 　 B． C． 　 D． BD　[] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．α为第三象限角，则＝________． 0　[∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0， ∴0．] 0　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．若tan α＝3，则sin 2α＝________． 　[ 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知sin，则cos2＝________． 　[因为 cos ＝sin ＝sin ， 所以cos2 ＝．] 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．化简：． [解]　因为π<α<，所以<<，所以cos <0，sin >0， 所以原式＝＋ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＝ ＝－ ＝－cos ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知sin (α＋β)sin (α－β)＝，sin α＋sin β＝m，则sin α－sin β＝ (　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 52 A　[因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 所以sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β ＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β＝sin2α－sin2β， 由sin(α＋β)sin (α－β)＝，可得sin2α－sin2β＝， 因为sin α＋sin β＝m， 所以sin α－sin β＝．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)若cos α＝－，则的值可能为(　　) A． 　 B．2 C．－ 　 D．－2 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 CD　[ ＝ ＝， ∵cos α＝－，∴sin α＝±， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 当cos α＝－，sin α＝－时， 原式＝； 当cos α＝－，sin α＝时， 原式＝＝－2． 故选CD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 56 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比t＝≈0.618，现给出三倍角公式cos 3α＝4cos3α－3cos α，则t与sin 18°的关系式正确的为(　　) A．2t＝3sin 18° 　 B．t＝2sin 18° C．t＝3sin 18° 　 D．t＝4sin 18° 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为cos 3α＝4cos3α－3cos α， 所以cos 54°＝4cos318°－3cos18°， 又cos 54°＝sin 36°＝2sin 18°cos 18°， 所以4cos318°－3cos18°＝2sin 18°cos 18°， 化简得4cos218°－3＝2sin18°， 可得4(1－sin218°)－3＝2sin18°， 即4sin218°＋2sin18°－1＝0， 解得sin 18°＝ (负值舍去)，所以t＝2sin 18°．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知tan ＝2，则的值为__________． －　[法一：因为tan ＝2， 所以－tan ． －　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 法二：tan θ＝， 则．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知α，β是锐角，α＋β≠，且满足3sin β＝sin (2α＋β)． (1)求证：tan (α＋β)＝2tan α； (2)求tan β的最大值，并求取得最大值时tan α的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)证明：由3sin β＝sin (2α＋β)得：3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]， 即3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)·cos α＋cos (α＋β)sin α， 即sin (α＋β)cos α＝2cos (α＋β)sin α， 因为α，β是锐角，α＋β≠， 所以， 即tan (α＋β)＝2tan α． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为α是锐角，所以tan α>0， tan β＝tan [(α＋β)－α]＝， 而＋2tan α≥2， 当且仅当＝2tan α时取等号，此时tan α＝，故tan β≤， 所以当tan α＝时，(tan β)max＝． [点评]　分析已知角β、(2α＋β)与待求角(α＋β)、α间的关系是解题的切入点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．(教材P230习题5.5T18改编)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． cos215°＋cos215°－sin15°sin 15°； cos280°＋cos2(－50°)－sin80°sin (－50°)； cos2170°＋cos2(－140°)－sin170°sin (－140°)． (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 64 [解]　(1)cos215°＋cos215°－sin15°sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos30°－(1－cos 30°) ＝1＋． (2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝． 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin (30°－α) ＝cos2α＋－sin α ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝． [点评]　本题重在考查学生从特殊到一般的归纳能力，关键是抓住角之间的联系，进而求解． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　简单的三角恒等变换 $$