精品解析：黑龙江省绥化市明水县第二中学2025-2026学年九年级下学期开学数学试题

2025-2026学年度第二学期 九年级数学开学考试试卷 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题分，共1分．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：中心对称图形是字母N，对应选项C. 2. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面． 【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形； 故选A． 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根、根式与整式的运算法则进行逐一判断即可． 【详解】A．，所以A错误； B．，所以B错误； C．不是同类二次根式，不能合并，所以C错误； D．，所以D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、实数的运算、根式的运算与化简、同底数幂的乘法等知识点，解题的关键是准确运用各种运算法则． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出不等式组的解集，再找到对应的数轴表示即可． 【详解】解：由题意可得： 不等式组的解集为：-2≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选A. 【点睛】此题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数为（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由俯视图可知，几何体只有一行；由左视图可知，几何体有两层；再由主视图可知，第一层有个小正方体、第二层有个小正方体；从而得到答案． 【详解】解：构成这个几何体的小正方体的个数为个． 6. 计算的值为（ ） A. 3 B. C. D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算乘方、立方根、算术平方根，再进行四则混合运算即可． 【详解】解： 故选：D 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 正六边形的内角和是 D. 不在同一直线上的三点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的对称性、角平分线的性质、正多边形的内角和定理及确定圆的条件分别判断后即可确定答案． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，错误，是假命题； B、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题； C、正六边形的内角和是，正确，是真命题； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，是真命题， 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的对称性、角平分线的性质、正多边形的内角和定理，难度不大． 8. 如图，若，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 9. 《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用慢马运送到里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出代数式并找出等式是解题关键．设慢马的速度为里/天，则分别可列出两马运送里所需天数，再根据用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天即可列式． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 则快马的速度为里/天， 则慢马运送里需要天，快马送里需要天， 由用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天， 可得， 故选：A． 10. 如图，在边长为的正方形中，E、F分别是边的中点，连接、，G、H分别是、的中点，连接，则的长为(　　) A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接并延长交于P，连接，根据正方形的性质得到，， ，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于P，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵H是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论． 连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：． ∴， 当时，，即点． 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 12. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．证明Rt△AGD≌Rt△AGF,得到∠GAF＝∠GAD，结合∠EAB＝∠EAF可得结果． ②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论． ③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可． ④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF． ∵四边形ABC都是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°， 由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF， ∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x， ∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝（∠BAF＋∠DAF）＝45°，故①正确， 在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2， ∴（4＋x）2＝82＋（12−x）2， ∴x＝6， ∵CD＝BC＝BE＋EC＝12， ∴DG＝CG＝6， ∴FG＝GC， 易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF＝GD＝GC， ∴∠DFC＝90°， ∴CF⊥DF， ∵AD＝AF，GD＝GF， ∴AG⊥DF， ∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2， ∴FG：EG＝3：5， ∴S△GFC＝×24＝，故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 小明在“百度”搜索“三星堆博物馆”，找到相关结果为条，其中用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】将转换为科学记数法，先依次确定和，再按科学记数法表示即可． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴将转换时，，小数点向左移动了位， ∴， ∴． 14. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后将代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数为非负数， ∴可得不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴． 15. 小明将飞镖随意投中如图所示的正方体木框中，那么投中阴影部分的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设每个小正方形面积为1，观察图形并计算可得阴影部分的面积与总面积之比即为所求的概率． 【详解】设小正方形面积为1，观察图形可得，图形中共36个小正方形，则总面积为36， 其中阴影部分面积为：2+2+3+3=10， 则投中阴影部分的概率为：=. 故答案为. 【点睛】本题考查几何概率，解题的关键是熟练掌握几何概率的求法. 16. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的弧长，再根据扇形的弧长等于底面圆的周长可得底面圆的半径，即可求出底面圆的面积． 【详解】扇形的弧长 底面圆的半径 底面圆的面积 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了圆锥的底面圆的面积问题，掌握扇形的弧长公式、圆的周长公式、圆的面积公式是解题的关键． 17. 如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点C．若的面积为9，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形和的面积相等，通过面积转化，可求出k的值． 【详解】过D点作x轴的垂线交x轴于E点， ∵的面积和的面积相等． ∴的面积和四边形的面积相等且为9． 设D点的横坐标为x，纵坐标就为， ∵D为的中点． ∴， ∴四边形的面积可表示为：， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 18. 如图，矩形中，，的平分线交于点O，以O为圆心，为半径画弧、这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，得出，再证明，推出，，最后用扇形面积减三角形面积求解． 【详解】解：矩形，， ，，， 的平分线交于点O， ， 是等腰直角三角形，，， ， 以O为圆心，为半径画弧、这条弧恰好经过点D， ， 在和中， ， ，， ，， 图中阴影部分的面积 19. 如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于___________． 【答案】1+ 【解析】 【分析】设正六边形的边长为a，求出BH长，根据正切值算出BH与AB的比即可． 【详解】解：连接BD，如图所示： 由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线， 设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a， ∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°， ∴BD＝a． ∴BH＝DB+DH＝（+1）a． 在Rt△ABH中，tan∠HAB＝＝1+． 故答案为：1+． 【点睛】本题主要考查正六边形的性质、正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是作出正确的辅助线以及在正六边形中求出BD的长度． 20. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________． 【答案】或或5 【解析】 【详解】解：如图所示： ①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴底边PE=AE=； ②当PE=AE=5时， ∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°， ∴PB==4， ∴底边AP===； ③当PA=PE时，底边AE=5； 综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5； 故答案为或或5． 21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝8，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP＋PQ的最小值是____． 【答案】4 【解析】 【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于O，过A'作A'Q⊥AC于Q，交BC于P，则，此时AP＋PQ的值最小，就是A'Q的长，根据勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于O，过A'作A'Q⊥AC于Q， ∵A关于BC的对称点A'， ∴BC垂直平分AA'， ∴，， ∴，当三点共线且时，AP＋PQ最短， ∵AB=AC，BC=8， ∴OC==4， ∵∠BAC＝120°， ∴∠OAC=， ∴∠C=30°， ∴AC=2OA， ∵，即，解得：， ∴， ∵A'Q⊥AC， ∴， ∵∠OAC=， ∴， ∴AQ=， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 22. 如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依此规律，则A2023B2023＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，再利用四边形A1B1C1B2为正方形得到A1B2＝A1B1＝，接着计算出A2B2＝（）2，然后根据的指数变化规律得到A2023B2023的长度． 【详解】解：∵四边形ABCB1为正方形， ∴AB1＝AB＝1， ∵A1C∥AB， ∴∠B1A1A＝30°， ∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2， ∵四边形A1B1C1B2为正方形， ∴A1B2＝A1B1＝， ∵A2C1∥A1B1， ∴∠B2A2A1＝30°， ∴A2B2＝A1B2＝×＝（）2， …… ∴AnBn＝（）n， ∴A2023B2023＝（）2023， 故答案为：（）2023． 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类：探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．也考查了正方形的性质． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，，平分， （1）在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为2． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； ； 【小问2详解】 解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 24. 消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，伸缩范围为，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，张角范围为，转动点A距离地面的高度为（参考数据：） （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号） （2）某栋楼高，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由． 【答案】（1）距地面的高度为 （2）能实施有效救援，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，过点B作，交于点F，交于点G，在中求出的长度，然后计算即可； （2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出的长度，与比较即可. 【小问1详解】 解：如图，过点作，过点B作，交于点F，交于点G， ∵, ∴四边形是矩形， ∴，， ， ， 在中， ， ， ． 【小问2详解】 解：能实施救援； 当起重臂最长，转动张角最大时，云梯消防车最高点B距地面最高， 即：米，， ， ， ． ， 能实施有效救援． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键． 25. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 骑行时间/min 10 20 25 品牌收费/元 8 品牌收费/元 8 （2）填空： ①品牌10分钟后，每分钟收___________元 ②如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱； ③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是________． （3）直接写出，关于的函数解析式． 【答案】（1）见解析 （2）①0.2；②B；③7.5或35． （3）； 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知，A品牌20分钟后收费的钱数，进而得出A品牌每分钟收费；B品牌10分钟以及20分钟后收费的钱数，进而得出A品牌每分钟收费； （2）① 由（1）可知品牌10分钟后，每分钟收0.2元；②先求出小明上班时间，计算出使用两品牌车所需费用进行比较即可；③根据题意和图象可知分两种情况，然后列出相应的方程求解即可； （3）根据函数图象中的数据，利用待定系数法求出A，B品牌的函数关系式；根据（2）的 【小问1详解】 对于A品牌每分钟骑行的费用为：（元） 所以，骑行10分钟的费用为：（元） 骑行25分钟的费用为：（元） 对于B品牌，由图象可知，骑行10分钟的费用为：6元； 骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）； 所以，骑行25分钟后的费用为：（元） 所以，填表如下： 骑行时间/min 10 20 25 品牌收费/元 4 8 10 品牌收费/元 6 8 9 【小问2详解】①B品牌骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）； ②小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班所用时间为，（分钟） A品牌骑行30分钟后的费用为：（元）； B品牌骑行30分钟后的费用为：（元）； 由于， 因此，小明选择B品牌共享电动车更省钱； ③由题意可得， 或， 解得或， 故答案为：①0.2；②B；③7.5或35． 【小问3详解】 设的解析式为， 把代入得，，解得，， 所以，； 当时，； 当时，设， 把，代入，得， 解得， 所以，， 即 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答解答． 26. 如图，已知在中，是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点． （1）求证：是的切线； （2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长； （3）在满足（2）的条件下，若，，求的半径及的值． 【答案】（1）见解析；（2）AC＝；（3）sin∠ACE＝． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ACD＝90°以及利用∠PAC＝∠PBA得出∠CAD＋∠PAC＝90°进而得出答案； （2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2＝AG•AB，求出AC即可； （3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG＝，即可得出sin∠ADB的值，利用∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，求出即可． 【详解】解：（1）证明：连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD＋∠ADC＝90°， 又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA， ∴∠PAC＝∠ADC， ∴∠CAD＋∠PAC＝90°，即∠PAD=90°， ∴PA⊥OA． 又∵AD是⊙O的直径， ∴PA是⊙O的切线； （2）由（1）知，PA⊥AD， 又∵CF⊥AD， ∴CF∥PA， ∴∠GCA＝∠PAC， 又∵∠PAC＝∠PBA， ∴∠GCA＝∠PBA， 又∵∠CAG＝∠BAC， ∴△CAG∽△BAC， ∴，即AC2＝AG•AB， ∵AG•AB＝48， ∴AC2＝48． ∴AC＝． （3）设AF＝x， ∵AF：FD＝1：2， ∴FD＝2x． ∴AD＝AF＋FD＝3x． 在Rt△ACD中， ∵CF⊥AD， 由射影定理得：AC2＝AF•AD， 即3x2＝48． 解得；x＝4． ∴AF＝4，AD＝12． ∴⊙O半径为6． 在Rt△AFG中，∵AF＝4，GF＝2， ∴根据勾股定理得：AG＝， 由（2）知，AG•AB＝48， ∴AB＝， 连接BD，∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°． 在Rt△ABD中， ∵sin∠ADB＝，AD＝12，AB＝， ∴sin∠ADB＝． ∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB， ∴sin∠ACE＝． 【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理，相似三角形，锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AB的长是解题关键． 27. 已知正方形，为对角线上一点． （1）【建立模型】如图1，连接，．求证：； （2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，求的长． （3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①等腰三角形，见解析；② （3）见解析 【解析】 【分析】(1)根据正方形的性质，证明即可． （2）①根据（1）的证明，证明∠FBG=∠FGB即可． ②过点作，垂足为.利用三角函数求得FH，AH的长度即可． (3)证明 即可． 【小问1详解】 ）证明：∵四边形为正方形，为对角线， ∴，. ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 ①为等腰三角形.理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴. ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形. ②如图1，过点作，垂足为. ∵四边形为正方形，点为的中点，， ∴，. 由①知， ∴， ∴. 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴. 在中，. 【小问3详解】 如图2，∵， ∴. 在中，， ∴. 由（1）得， 由（2）得， ∴. 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理和三角函数是解题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx经过点（－2，5），且与直线y=－x在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（－4，0）．若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交OA于点D，连接OP，PA． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOP的面积S的最大值； （3）连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）线段PB与AD能互相平分，或 【解析】 【分析】（1）首先根据题意即可求得点A的坐标，再把两点的坐标分别代入解析式，解方程组即可求得； (2)设点P 则点D（t，-t），再由及二次函数的性质即可求得； (3)假设线段PB与AD能互相平分，再根据平行四边形的性质，即可求得． 【小问1详解】 解：∵过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（－4，0）， 点A的横坐标为-4， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为（－4，2）， 把点A（－4，2）、点（－2，5）分别代入解析式， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点P， AB=2，BO=4，，CO=-t，BC=4+t， ∴ ， ， 当t=-2时，S有最大值，最大值为8； 【小问3详解】 解：线段PB与AD能相互平分． 如图：连接BD， 设点P，则点D， 则， 假设线段PB与AD相互平分， 则四边形ABDP是平行四边形， ∴PD＝AB 即-t2-4t＝2， ∴或 当时，点E的横坐标为 ∴点E的坐标为， 当时，点E的横坐标为， ∴点E的坐标为 ∴点E的坐标为或， 故当点E的坐标为或时，线段PB与AD互相平分． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，求不规则图形的面积，二次函数的性质，坐标与图形，平行四边形的性质，采用反证法是解决本题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 九年级数学开学考试试卷 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题分，共1分．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数为（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 6. 计算的值为（ ） A. 3 B. C. D. 13 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 正六边形的内角和是 D. 不在同一直线上的三点确定一个圆 8. 如图，若，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用慢马运送到里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正方形中，E、F分别是边的中点，连接、，G、H分别是、的中点，连接，则的长为(　　) A. 2 B. C. 1 D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 12. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 小明在“百度”搜索“三星堆博物馆”，找到相关结果为条，其中用科学记数法表示为________． 14. 若，则_______． 15. 小明将飞镖随意投中如图所示的正方体木框中，那么投中阴影部分的概率为_____． 16. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为_____． 17. 如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点C．若的面积为9，则的值为______． 18. 如图，矩形中，，的平分线交于点O，以O为圆心，为半径画弧、这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为________． 19. 如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于___________． 20. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________． 21. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝8，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP＋PQ的最小值是____． 22. 如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依此规律，则A2023B2023＝_______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，，平分， （1）在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的半径． 24. 消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，伸缩范围为，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，张角范围为，转动点A距离地面的高度为（参考数据：） （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号） （2）某栋楼高，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由． 25. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 骑行时间/min 10 20 25 品牌收费/元 8 品牌收费/元 8 （2）填空： ①品牌10分钟后，每分钟收___________元 ②如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱； ③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是________． （3）直接写出，关于的函数解析式． 26. 如图，已知在中，是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点． （1）求证：是的切线； （2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长； （3）在满足（2）的条件下，若，，求的半径及的值． 27. 已知正方形，为对角线上一点． （1）【建立模型】如图1，连接，．求证：； （2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，求的长． （3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：． 28. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx经过点（－2，5），且与直线y=－x在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（－4，0）．若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交OA于点D，连接OP，PA． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOP的面积S的最大值； （3）连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $