第03讲 平行线的性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“平行线的性质”核心知识点，系统梳理两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的三个性质，衔接平行线判定定理，构建“判定平行→性质求角→综合推理”的学习支架，覆盖复杂图形转化、实际问题计算等应用场景。 该资料通过多样题型（三角板综合、折叠问题、战舰航行等实例）培养数学眼光，以辅助线添加、角关系探究训练数学思维，规范几何语言表达。课中助教师分层教学，课后通过典例变式与练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第03讲 平行线的性质 考点1：平行线的性质 ① 两直线平行，同位角相等；② 两直线平行，内错角相等；③ 两直线平行，同旁内角互补； 考点2：应用场景 ① 利用性质求复杂图形中的未知角度（多截线、拐角模型）；② 结合判定定理进行综合推理（先判定平行，再用性质求角）；③ 解决实际问题计算。 重点：3 个核心性质的准确应用（牢记 “线平行是前提，角的关系是结论”）；平行线间距离的理解； 难点★：① 性质与判定的区分（避免 “角相等→角相等” 的逻辑错误）；② 复杂图形中角的转化（需通过描线找平行关系，必要时添加辅助线）；③ 综合题中 “判定→性质→判定” 的多步推理。 1.能熟练背诵并准确运用 3 个核心性质求角度、推角的关系； 2.理解平行线间距离的定义，能解决简单距离相关问题； 3.清晰区分平行线的性质与判定，避免逻辑混淆； 4.能在复杂图形或综合题中，灵活运用性质进行推理计算，必要时添加辅助线。 知识点：平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1利用平行线性质求角度】 【典例1】如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行同旁内角互补和角平分线的定义，先求得，再根据两直线平行内错角相等，可知，进而求得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出的度数，根据角平分线求出的度数，再利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选B． 【变式2】如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）度数为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，关键是熟练应用知识点解题；由三角形外角的性质得出，再由平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C ． 【变式3】某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【题型2 平行线与三角板综合应用】 【典例2】将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ， 根据题意，得，， ∴， ∵直尺对边互相平行， ∴． 【变式1】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，则，，，过点作，得到，则，，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，则，，，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式2】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含的三角板的一个顶点在含角的三角板的一边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得到，即可得解． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质．熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键． 【变式3】如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶点在上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：如图所示：， ， ， 故选：C． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，先根据折叠的性质得，再结合平行线的性质得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵折叠， ∴， 则， ∵， ∴， 即， 故选：D． 【变式1】如图，将一张长方形纸条 沿折叠，点C，D分别折叠至点的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵长方形纸条 沿折叠 ∴ ∵，设 ∴ ∵ ∴ ∴ ，解得： ∴ 故选：B. 【变式2】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等和折叠角相等． 根据由折叠可得，平行线的性质可得，再根据平角定义可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵折叠可得： ∵ ∴ ∴ 故选：B. 【变式3】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，先根据角平分线的性质得到相应角度，再多次运用平行线的性质即可得到答案； 【详解】解：如图，由折叠的性质可知：， ∵, ∴， ∵, ∴, ∵ ∴. 故选：D 【题型4 平行线性质的实际应用】 【典例4】某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到，，再根据得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，是南北方向，则， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题重点考查方向角的理解与应用，理解“在与原来相反的方向上行驶”意味着方向改变180度，并正确计算两次拐弯的角度和或差是解题的关键． 汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度，根据这个判断即可． 【详解】汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度， 选项A，先向左转，再向左转，总改变量为，满足条件； 选项B，先向左转，再向右转，总改变量为，方向不变，不符合； 选项C，先向左转，再向右转，总改变量为，不符合； 选项D，先向左转，再向左转，总改变量为，不符合． 故选：A． 【变式2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 【变式3】生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作，    ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 【题型5 根据平行线的性质探究角的关系】 【典例5】如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过作直线，如图所示， ， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 【变式1】如图，，图中三个角的度数分别记为，，．则，，间的数量关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据得出，根据得出，进而化简即可求解． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点． 过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，可得，，，，即可得，，则，，得，即可得，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵，平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ，， ∴， ， 即，， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选A． 【变式3】如图，若，则、、之间关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【题型6 平行线的判定与性质的综合】 【典例6】如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．先证明，再证明，根据平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”解答即可； （2）根据平行线的性质得，，再结合已知条件可得答案. 【详解】（1）解： 理由：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴. 【变式3】如图，这是一款手推车的平面示意图，其中 (1)若，，求的度数． (2)直接写出，，之间的数量关系， 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作，可得，，进而得，再根据角的和差关系即可求解； （）由（）得，，再根据角的和差关系即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 1．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据两直线平行同旁内角互补求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质即可得出. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴, 故选：A． 3．一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，分别移动到．此时平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行于同一条直线的两条直线平行可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．如图，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义求得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ∵， ， ， ，， ， ． 故选：C． 8．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 9．书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：分别过点D和点E作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在长方形纸片中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：． 11．［传统文化］如图①是一个古代的陶瓷花瓶，它的纹饰反映出中国历史悠久的陶瓷文化，图②是其抽象出来的外部轮廓图，已知，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．延长，交于点，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在四边形中，是延长线的一点．连接交于点．若 ． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平行线的性质 考点1：平行线的性质 ① 两直线平行，同位角相等；② 两直线平行，内错角相等；③ 两直线平行，同旁内角互补； 考点2：应用场景 ① 利用性质求复杂图形中的未知角度（多截线、拐角模型）；② 结合判定定理进行综合推理（先判定平行，再用性质求角）；③ 解决实际问题计算。 重点：3 个核心性质的准确应用（牢记 “线平行是前提，角的关系是结论”）；平行线间距离的理解； 难点★：① 性质与判定的区分（避免 “角相等→角相等” 的逻辑错误）；② 复杂图形中角的转化（需通过描线找平行关系，必要时添加辅助线）；③ 综合题中 “判定→性质→判定” 的多步推理。 1.能熟练背诵并准确运用 3 个核心性质求角度、推角的关系； 2.理解平行线间距离的定义，能解决简单距离相关问题； 3.清晰区分平行线的性质与判定，避免逻辑混淆； 4.能在复杂图形或综合题中，灵活运用性质进行推理计算，必要时添加辅助线。 知识点：平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1利用平行线性质求角度】 【典例1】如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）度数为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 平行线与三角板综合应用】 【典例2】将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含的三角板的一个顶点在含角的三角板的一边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶点在上．若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一张长方形纸条 沿折叠，点C，D分别折叠至点的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型4 平行线性质的实际应用】 【典例4】某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【变式2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【题型5 根据平行线的性质探究角的关系】 【典例5】如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 【变式1】如图，，图中三个角的度数分别记为，，．则，，间的数量关系是(    ) A． B． C． D． 【变式2】如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，若，则、、之间关系是（    ）    A． B． C． D． 【题型6 平行线的判定与性质的综合】 【典例6】如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 【变式1】如图，已知，求的度数． 【变式2】如图，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式3】如图，这是一款手推车的平面示意图，其中 (1)若，，求的度数． (2)直接写出，，之间的数量关系， 1．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 4．图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，分别移动到．此时平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 9．书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 10．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______． 11．［传统文化］如图①是一个古代的陶瓷花瓶，它的纹饰反映出中国历史悠久的陶瓷文化，图②是其抽象出来的外部轮廓图，已知，若，则的度数为___________． 12．如图，在四边形中，是延长线的一点．连接交于点．若 ． (1)求证：； (2)若．求的度数． 13．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $