第01讲 两条直线的位置关系（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦“两条直线的位置关系”核心知识点，系统梳理相交线（对顶角、邻补角）、平行线的定义，余角补角的性质及计算，垂线的定义、性质与画法，构建从位置关系到角的数量关系再到应用的学习支架。 资料以“概念-性质-应用”为主线，通过典例与变式题训练，培养学生在复杂图形中识别角（数学眼光）、逻辑推理计算（数学思维）及规范几何表达（数学语言）。如用跳远成绩测量体现垂线段最短，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

第01讲 两条直线的位置关系 考点1：平行线的定义 考点2：相交线的相关概念 考点3：余角和补角的定义及有关计算 考点4：垂线有关概念 重点： （1）对顶角相等，邻补角和为 180°。 （2）垂直定义与垂线性质。 （3）会求角度、会画垂线。 难点★： （1）在复杂图中准确找对顶角、邻补角。 （2）利用角度关系推理计算。 （3）几何语言规范书写。 1.了解平面内两条直线相交、平行两种基本位置关系。 2.理解对顶角、邻补角概念及性质，会计算。 3.理解垂直概念，掌握垂线性质与画法。 4.会用性质进行简单推理与计算。 知识点1：平行线的定义 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【变式1】下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【题型2 立体图形中平行的棱】 【典例2】将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【变式1】在正方体的一个顶点处，有_________条棱相交，这些棱中任意两条都_________（填“是”或“不是”）平行． 【变式2】一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【变式3】如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 知识点2：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型3 相交线的有关计算】 【典例3】a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【变式1】如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【变式2】在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为__________． 【题型4 对顶角的定义】 【典例4】下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【变式2】和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【题型5 对顶角相等】 【典例5】如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 【变式2】如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 知识点3：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【题型6 求一个角的余角】 【典例6】已知与互余，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，那么余角的大小为__________． 【变式2】若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （    ） A． B． C． D． 【变式3】一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【题型7 求一个角的补角】 【典例7】如图，的大小可由量角器测得，则的补角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则与互补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个角的度数是，那么这个角的余角的补角的度数为___________． 【变式3】在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型8 与余角、补角有关的计算】 【典例8】如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【变式1】如果与互余，与互补，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【变式3】如图，是的角平分线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若与互为补角，求的度数． 【题型9 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例9】若，，则_________． 【变式1】如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【变式3】如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 知识点4：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型10 垂线的定义理解】 【典例10】如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 【变式1】如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是________． 【变式2】如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是______． 【变式3】如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为______． 【题型11 画垂线】 【典例11】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式2】如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到） 【变式3】如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 【题型12 垂线段最短】 【典例12】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【变式1】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【变式2】如图，从书店到公路最近的是______号路线，理由是______． 【变式3】如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【题型12 点到直线的距离】 【典例12】如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式1】如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若， ，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 2．如图所示，，垂足为O，直线经过点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（   ） A． B． C． D． 4．一个锐角的余角的4倍比这个角的补角大，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，这是一把剪刀的示意图．当剪刀口增加时，的度数变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 6.如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 7．如图，，则图中互为余角的角共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 8．如图，直线，相交于点，射线平分．若，则__________． 9．一个角的补角是，则这个角的余角是__________． 10．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是___________，测量点P到直线l的距离是___________（精确到）． 11．将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是__________．（请将正确的结论序号填在横线上） 12．如图，点A、O、C在同一直线上，是的平分线，，比大． (1)求的度数； (2)求的度数． 13．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 两条直线的位置关系 考点1：平行线的定义 考点2：相交线的相关概念 考点3：余角和补角的定义及有关计算 考点4：垂线有关概念 重点： （1）对顶角相等，邻补角和为 180°。 （2）垂直定义与垂线性质。 （3）会求角度、会画垂线。 难点★： （1）在复杂图中准确找对顶角、邻补角。 （2）利用角度关系推理计算。 （3）几何语言规范书写。 1.了解平面内两条直线相交、平行两种基本位置关系。 2.理解对顶角、邻补角概念及性质，会计算。 3.理解垂直概念，掌握垂线性质与画法。 4.会用性质进行简单推理与计算。 知识点1：平行线的定义 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 【变式1】下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 【变式2】下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 【变式3】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 【题型2 立体图形中平行的棱】 【典例2】将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【答案】8 【分析】本题考查长方体的棱的分组特征，解题关键是明确与水面平行的棱为长方体上、下底面的所有棱． 长方体有12条棱，分为三组互相平行的棱，每组4条．当长方体放置使一个面与水面平行时，水平方向的棱最多． 【详解】长方体共有12条棱，分为3组，每组4条棱互相平行且长度相等，这3组棱分别对应长、宽、高三个方向． 要使与水面平行的棱最多，应使长方体的一个面与水面平行，此时，构成上、下底面的棱均与水面平行． 因为因为上底面有4条棱，下底面也有4条棱， 因此与水面平行的棱最多有条． 故答案为：8． 【变式1】在正方体的一个顶点处，有_________条棱相交，这些棱中任意两条都_________（填“是”或“不是”）平行． 【答案】 3 不是 【分析】本题主要考查了正方体的特点，解题的关键在于能够熟练掌握正方体的特点． 正方体每个顶点处有三条棱相交，且这些棱两两互相垂直，不平行． 【详解】解：正方体有8个顶点，每个顶点处有3条棱相交；这三条棱分别沿正方体的长、宽、高方向，两两之间的夹角均为，因此任意两条棱都不平行． 故答案为：3，不是． 【变式2】一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【答案】C 【分析】本题考查了四棱柱的认识，熟知四棱柱的特征是解决此题的关键；该几何体有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是平行四边形，符合四棱柱的特征．四棱柱的棱可分为三组，每组4条互相平行的棱，因此平行的棱有18对． 【详解】解：∵几何体有8个顶点、12条棱，每个面都是平行四边形， ∴这个几何体是四棱柱， 在四棱柱的12条棱分为3组，每组有4条互相平行的棱． 对于每组4条平行棱，其中平行棱的对数为：每条棱与组内另外3条棱平行，共形成组关系，但每对棱会重复计算1次， ∴每组实际有对平行棱． ∴在常见的四棱柱中总平行棱对数为对． 故选C． 【变式3】如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的定义． 知识点2：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型3 相交线的有关计算】 【典例3】a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 【变式1】如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断． 【详解】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交， 故选：A． 【变式2】在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择即可； 本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是解题的关键． 【详解】解：B中这条直线与这条射线能相交； A、C、D中的直线，线段，射线不能相交． 故选：B． 【变式3】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为__________． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 【题型4 对顶角的定义】 【典例4】下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的定义． 根据对顶角的定义（如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角），对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．与没有公共顶点，且不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； B．与有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； C．与有公共顶点，且满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与是对顶角，符合题意； D．与有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 【变式2】和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，称为互为对顶角 【详解】解：根据对顶角的定义，只有选项C的图形符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 【题型5 对顶角相等】 【典例5】如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解： 于， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 【答案】/48度 【分析】本题考查了对顶角相等． 直接根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，解题关键是利用“对顶角相等”． 观察可知与是对顶角，由此求出的度数． 【详解】解：∵点、、共线，点、、共线， ∴与互为对顶角， ∴． 故选：C． 【变式3】如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等代入计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 知识点3：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【题型6 求一个角的余角】 【典例6】已知与互余，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角之和为，计算得到的度数即可，注意． 【详解】解：∵与互余，， ∴． 【变式1】已知，那么余角的大小为__________． 【答案】 /40度 【分析】根据余角的定义，两个角的和为，因此用减去已知角的度数即可得到余角的大小． 【详解】解：∵， ∴的余角度数为． 【变式2】若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，互余的两个角之和为，因此． 【详解】解：∵与 互为余角， ∴， 又∵， ∴． 故选A． 【变式3】一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的定义，同角的余角相等，三角板中角度的特点，度数之和为90度的两个角互余，据此根据同角的余角相等，平角的定义和三角板中角度的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，但不一定有，故不能确定与两角互余，不符合题意； B、根据三角板中角度的特点可得，则，故与两角不互余，不符合题意； C、根据平角的定义和三角板中角度的特点可得，故可以确定与两角互余，符合题意； D、根据平角的定义可得，故与两角不互余，不符合题意； 故选：C． 【题型7 求一个角的补角】 【典例7】如图，的大小可由量角器测得，则的补角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，由量角器可得出的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：由图可知，， 的补角为， 故选：B． 【变式1】若，则与互补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查互为补角的意义和度分秒的换算，熟练掌握求一个角的补角的方法和度分秒的换算进率是解决问题的关键． 互补角之和为，因此用减去已知角即可得出结果. 【详解】解：∵ 互补角之和为， ∴与互补的角的度数是， 故选：C． 【变式2】一个角的度数是，那么这个角的余角的补角的度数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角和补角；由题意可知的余角是，然后根据补角的定义列式计算进行求解即可． 【详解】解：由题意得：它的余角的补角度数是； 故答案为：． 【变式3】在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算．熟练掌握方位角概念，余角补角有关计算，是解题的关键． 根据方位角的描述求出，根据求出，即可求的补角的度数． 【详解】解；∵A在北偏西， ∴， ∴， ∵B在南偏东， ∴， ∴． ∴的补角为：． 故选：C． 【题型8 与余角、补角有关的计算】 【典例8】如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角补角相关的计算，角平分线的应用，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． （1）根据题意得出，根据，得出，即可求出的度数； （2）根据，得出，根据角平分线的定义得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：与互为余角， ． ， ， ， ； （2）解：与互为补角， ． ， ． 平分， ， ． 【变式1】如果与互余，与互补，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是互余与互补的含义，根据互余和互补的定义，可得，，进一步可得结论. 【详解】解：∵ 与互余， ∴ ，即， ∵ 与互补， ∴ ，即， ∴，即 ， ∴ . 故选：B 【变式2】若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 【变式3】如图，是的角平分线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若与互为补角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了角平分线的性质及补角的性质． （1）利用角平分线的性质得出的度数，再利用角度的和差关系求出结果； （2）利用角平分线的性质得出，，通过角度的和差关系得出，紧接着根据补角的性质求出结果． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴， ∴． 【题型9 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例9】若，，则_________． 【答案】 【详解】因为， 所以是的余角． 又因为， 所以是的余角． 根据“同角的余角相等”的性质，则． 【变式1】如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，根据三角尺摆放位置分析求出与的度数，再判断相等． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意， B、∵， ∴，故B不符合题意， C、∵，， ∴，故C不符合题意， D、∵，， ∴， ∴，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 又∵反射角等于入射角即， ∴， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 【变式3】如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，根据同角的余角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都是以为顶点的直角， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故选：A． 知识点4：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型10 垂线的定义理解】 【典例10】如图，已知，，所以与重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D．线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的性质，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据垂线的唯一性性质，逐一判断选项． 【详解】解：根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：B． 【变式1】如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键． 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可解决问题． 【详解】解：∵直线，直线，为垂足， ∴、、三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式2】如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，与余角、补角相关的计算． 由，可得，结合已知可得，由点B，O，D在同一条直线上，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为______． 【答案】/35度 【分析】本题考查了对顶角相等、垂线的定义，解题的关键是利用对顶角相等求出相关角的度数，结合垂线的性质计算目标角． 先根据对顶角相等求出的度数，再由垂直得出为直角，用减去即可得到的度数． 【详解】解：∵直线相交于点O， ∵， ∵， ∴(垂线的定义)， ∴， 故答案为：． 【题型11 画垂线】 【典例11】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 【变式2】如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到） 【答案】图见解析；点A到线段的距离约为；点D到线段的距离约为 【分析】本题考查的是垂线的画法、垂线段定义及点到直线距离的定义，首先分别画出，然后再量出长即可． 【详解】解：如下图，过点A作交于点E，则就是过点A画线段的垂线段，量出点A到线段的距离约为； 过点D作交于点F，则就是过点D画线段的垂线段，量出点D到线段的距离约为； 【变式3】如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：，， 理由如下： 因为线段的长度是点P到直线的距离， 所以； 因为线段的长度是点C到直线的距离， 所以． 【题型12 垂线段最短】 【典例12】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【变式1】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【变式2】如图，从书店到公路最近的是______号路线，理由是______． 【答案】 ① 垂线段最短 【分析】本题主要考查了距离垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；因此此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从书店到公路最近的是①号路线，理由是垂线段最短； 故答案为：①，垂线段最短． 【变式3】如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置． 【详解】解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短． 【题型12 点到直线的距离】 【典例12】如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若， ，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：A． 【变式2】如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离．直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长度，是点到直线上各点的连线段中，长度最小的线段，据此解答即可． 【详解】解：由图可知，长度为，是最小的， 则点到直线的距离不大于可以是， 故选：D． 【变式3】如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 2．如图所示，，垂足为O，直线经过点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和差、垂直，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先求出，再根据垂直的定义可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵直线经过点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，熟记概念与性质是解题的关键． 根据补角，对顶角、邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、图中的对顶角和的对顶角的和为，所以，不互补，故本选项不符合题意； B、图中，不互补，故本选项不符合题意； C、图中，的邻补角为，所以，，互为补角，故本选项符合题意； D、图中，与互余，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．一个锐角的余角的4倍比这个角的补角大，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，一元一次方程的应用，设这个角为，则余角为，补角为，根据题意列出关于x的方程并求解即可． 【详解】解：设这个角为，则余角为，补角为， 根据题意可知：， 整理得：， 解得： 故这个角的度数为， 故选A． 5．如图，这是一把剪刀的示意图．当剪刀口增加时，的度数变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∴当剪刀口增加时，的度数也增加． 故选：B． 6.如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 7．如图，，则图中互为余角的角共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题主要考查了互余的定义，掌握余角的定义“如果∠A+∠B=90°，那么∠A和∠B互余”成为解题的关键． 求出，，再根据互余的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴图中互为余角的角有和，和，和，和，共4对． 故选：C． 8．如图，直线，相交于点，射线平分．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义和平角的性质，掌握对顶角相等，角平分线分角为相等的两部分，平角为是解题的关键． 先利用对顶角相等求出的度数，再根据角平分线定义求出 ，最后通过平角的性质求出． 【详解】解：根据题意，得． ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 9．一个角的补角是，则这个角的余角是__________． 【答案】/18度 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是：掌握互余两角之和为，互补两角之和为．根据补角定义求出这个角，再根据余角定义求出余角 【详解】解：设这个角为x， 根据题意，得， 解得． 这个角的余角为． 故答案为：． 10．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是___________，测量点P到直线l的距离是___________（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 11．将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是__________．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 12．如图，点A、O、C在同一直线上，是的平分线，，比大． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角和余角的定义等知识，能够根据角与角的和差关系列方程求值是解答问题的关键． （1）根据角平分线的定义求得，再根据与的关系和平角的定义，列方程即可求得的度数； （2）根据余角的定义，可求出的度数． 【详解】（1）解：平分， ， 设，则， ， ， 解得， ； （2）解：，， ． 13．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $