8.3 正态分布（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第8章　概率 8.3　正态分布 基础过关练 题组一　正态密度曲线及其特点 1.(2024江苏连云港灌云高级中学期中)对A,B两地国企员工上班迟到的情况进行了统计,可知A,B两地国企员工上班迟到的时间均符合正态分布,其中A地员工上班迟到的时间为X(单位:min),X~N(2,4),对应的曲线为C1,B地员工上班迟到的时间为Y(单位:min),Y~N,对应的曲线为C2,则下列图象正确的是　(　　) 　　　　　　　　　 2.(多选题)(2024江苏南京、盐城期末)某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程,在两村的村民中进行满意度测评,满分100分,规定:得分不低于80分的为“高度满意”,得分不超过60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布,其中X近似服从正态分布N(70,),Y近似服从正态分布N(75,),0<σ1<σ2,则(　　) A.X对应的正态密度曲线比Y对应的正态密度曲线更扁平 B.甲村的平均分低于乙村的平均分 C.甲村的高度满意率与不满意率相等 D.乙村的高度满意率比不满意率大 3.若一个随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=(x∈R)的图象如图所示,则该随机变量X的数学期望E(X)=　　　　,方差D(X)=　　　　.  题组二　正态分布的概率计算 4.(2024重庆西南大学附中、育才中学、万州高级中学拔尖强基联盟联考)若随机变量X~N(90,σ2),且P(X≤70)=0.12,则P(90≤X≤110)=(　　) A.0.12　　　B.0.24　　　C.0.28　　　D.0.38 5.(2025江苏徐州第三中学质检)若随机变量X~N(6,1),且P(5<X≤7)=a,P(4<X≤8)=b,则P(4<X≤7)=(　　) A. 6.(2024江苏泰州靖江高级中学调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),且,则P(3<ξ<5)=(　　) A. 7.(2024江苏淮安、连云港调研)已知随机变量X~N(2,σ2),若P(X<1.5)=m,P(2≤X≤2.5)=1-3m,则P(X≤2.5)=(　　) A.0.25　　　B.0.5　　　C.0.75　　　D.0.85 8.(2024广东湛江段考)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(2<X<6)=0.6,P(X≥6)=0.2,则μ=　　　　.  题组三　正态分布的实际应用 9.(2025江苏南京九中检测)血压差是指血压的收缩压减去舒张压的值.已知某校学生的血压差X服从正态分布N(30,σ2),P(26<X≤30)=0.40,则随机变量X的第90百分位数的估计值为(　　) A.42　　　B.38　　　C.36　　　D.34 10.(2024江苏南通质检)某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测,总分100分,学生的抽测结果X近似服从正态分布N(70,100),其中60分为及格线,90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人,则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数约为(　　) 附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,δ2),则P(μ-δ<ξ<μ+δ)=0.682 6,P(μ-2δ<ξ<μ+2δ)=0.954 4,P(μ-3δ<ξ<μ+3δ)=0.997 4. A.456　　　B.558　　　 C.584　　　D.651 11.(2025江苏南通质检)为推广新能源汽车,某地区决定对续航里程达到一定标准的新能源汽车进行补贴.已知某品牌新能源汽车的续航里程ξ(单位:km)服从正态分布N(400,502).补贴政策如下:续航里程不低于350 km的车辆补贴2万元,超过450 km的车辆额外再补贴1万元,则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为(　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 6. A.1.52万元　　　B.1.68万元　　　 C.1.84万元　　　D.2.16万元 12.(2024江苏南通海安高级中学阶段检测)某小区居民前往高铁站有两种方案可选,方案一:穿过市区,路程较短但交通拥挤,经测算所需时间X1(单位:分钟)服从正态分布N1(50,100);方案二:骑共享单车到地铁站,乘地铁前往,路程长,但意外阻塞较少,经测算所需时间X2(单位:分钟)服从正态分布N2(60,16).该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用,要使两人按时到达高铁站的可能性更大,则甲、乙两人选择的方案分别为　(　　) 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997. A.方案一,方案一　　　B.方案一,方案二 C.方案二,方案一　　　D.方案二,方案二 13.(2024江苏扬州期末)某保险公司有一款保险产品,该产品今年保费为200元/人,赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户有10 000人,每人被赔付的概率均为0.25%,记10 000位客户中获得赔偿的人数为X. (1)求E(X),并计算该公司今年这一款保险产品利润(单位:万元)的数学期望; (2)二项分布是离散型的,而正态分布是连续型的,它们是不同的概率分布,但是,随着二项分布的试验次数的增加,二项分布折线图与正态密度曲线几乎一致,所以当试验次数较大时,可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题,我们知道,若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p),当n较大且p较小时,我们为了简化计算,常用E(X)的值估算D(X)的值. 请根据上述信息,估计: ①该公司今年这一款保险产品的利润(单位:万元)在(50,100)内的概率; ②该公司今年这一款保险产品亏损的概率. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997. 能力提升练 题组一　正态分布及其概率计算 1.(2025黑龙江省实验中学月考)设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≥a)=0.5,P(X<b)=3P(X≥b),则P(X≤2a-b)=(　　) A.0.25　　　B.0.3　　　 C.0.5　　　D.0.75 2.(2025广东六校联考)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X<0)+P(X<3)=,则P(2<X<3)=(　　) A.0.1　　　B.0.2　　　C.0.3　　　D.0.4 3.(多选题)(2025江苏南京协同体七校联考)如果X服从二项分布B(n,p),那么当np>10且n(1-p)>10时,可以近似的认为X服从正态分布N(μ,σ2).据统计高中生的近视率为0.6,某校有600名高中生,设X为该校学生近视的人数,且X服从正态分布N(μ,σ2),则下列说法正确的是(　　) 参考数据:P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954. A.变量X服从正态分布N(360,144) B.P(X≥372)≈0.159 C.P(X<384)=P(X>348) D.P(X<384)≈0.977 4.(多选题)(2025江苏南通调研)2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入(单位:万元)发生了怎样的变化,通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布N(1.4,),取消之后每年每亩地的收入Y服从正态分布N(2.3,),已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值,则　(　　) A.P(X≥1.4)<P(Y≥1.4)　　　 B.P(Y≥1.4)<P(X≥2.3) C.P(Y≤s2)<P(Y≤s1)　　　 D.P(Y≤n)<P(X≤n) 5.(2025江苏南京第一中学月考)设随机变量X服从正态分布N(10,σ2),P(X>17)=m,P(3≤X≤10)=n,则m2+n2的最小值为　　　　.  6.(2025江苏南京中华中学期中)已知ξ~N(3,σ2),若f(x)=P(ξ>x+x0),曲线y=f(x)的对称中心为点,则x0=　　　　.  题组二　正态分布的实际应用 7.(2025江苏苏州星海实验高级中学期中)某校高三学生的模考数学成绩X近似服从正态分布N(85,102),按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分,则他的等级是(　　) 附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.优秀　　　B.良好　　　 C.合格　　　D.基本合格 8.正态分布又称为高斯分布,随机变量Y服从参数为μ和σ2的正态分布,记作Y~N(μ,σ2).μ=0,σ=1的正态分布称为标准正态分布,如果令X=,则可以证明X~N(0,1),即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果X~N(0,1),那么对任意的a,通常记Φ(a)=P(X<a),也就是说,Φ(a)表示N(0,1)对应的正态密度曲线与x轴在区间(-∞,a)内所围成的图形的面积.某校高三年级800名学生的期中考试数学成绩近似服从正态分布,高三年级数学成绩平均分为100分,方差为36,Φ(2)=0.977 2,那么成绩落在(88,112]内的人数约为(　　) A.756　　　B.748　　　C.782　　　D.764 9.(2025四川成都七中测试)江先生每天上班时间为9点,通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行去上班,若他开私家车,则开车所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(38,72),且从停车场步行到单位需要6分钟;若他乘坐地铁,则他从家到地铁站需要步行5分钟,乘坐地铁所需时间Y(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),且从地铁站步行到单位需要5分钟,从统计的角度出发,下列说法中合理的是(　　) 参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997 4. A.若8:00出门,则开私家车不会迟到 B.若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C.若8:06出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D.若8:12出门,则乘坐地铁上班极大可能会迟到 10.(2024江苏扬州宝应期末)某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为,第二关通过的概率为,求甲可以进入第三关的概率; (2)已知该闯关活动的累计得分近似服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2 500名参加者中得分前400名发放奖励. ①假设该闯关活动平均分为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,则甲能否获得奖励?请说明理由; ②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 注:通常把概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生. 附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B 2.BCD 4.D 5.B 6.A 7.C 9.D 10.B 11.C 12.C 1.B　由题意得μX=2,μY=3,故曲线C1的对称轴在曲线C2的对称轴的左侧,排除C,D;由,得曲线C2比曲线C1瘦高,即曲线C1比曲线C2矮胖,排除A. 2.BCD　对于A,曲线越扁平,方差越大,因为0<σ1<σ2,所以Y对应的正态密度曲线比X对应的正态密度曲线更扁平,故A错误; 对于B,甲村的平均分为70分,乙村的平均分为75分,故B正确; 对于C,因为甲村的平均分为70,所以P(X≥80)=P(X≤60),故C正确; 对于D,因为乙村的平均分为75,所以P(X≥80)>P(X≤60),故D正确. 3.答案　5;1 解析　由题图可得当x=5时,f(x)=有最大值,为,所以μ=5,σ=1,所以X~N(5,1), 所以E(X)=μ=5,D(X)=σ2=1. 4.D　因为随机变量X~N(90,σ2),所以根据正态密度曲线的对称性可得P(90≤X≤110)==0.38. 5.B　由题意得P(4<X≤5)=,所以P(4<X≤7)=. 6.A　因为随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2), 所以μ=4,即正态密度曲线的对称轴是直线x=4, 则P(ξ<3)=1-P(ξ<5), 又,所以P(ξ<3)=, 所以P(3<ξ<5)=P(ξ<5)-P(ξ<3)=. 7.C　因为随机变量X~N(2,σ2),所以P(X<1.5)=P(X>2.5)=m,则P(X≥2)=P(X>2.5)+P(2≤X≤2.5)=m+1-3m=0.5,解得m=0.25,所以P(X≤2.5)=1-P(X>2.5)=0.75. 8.答案　4 解析　由题意得P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(2<X<6)=1-0.2-0.6=0.2=P(X≥6),∴μ==4. 9.D　因为P(26<X≤30)=0.40,所以P(30<X≤34)=0.40, 所以P(X≤34)=0.40+0.50=0.90,所以随机变量X的第90百分位数的估计值为34. 10.B　由题意得μ=70,δ=10,则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生的占比为=0.818 5,故抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数约为682×0.818 5≈558. 11.C　由题意得P(350≤ξ≤450)≈0.682 6, 所以P(ξ>450)=0.5-P(400<ξ≤450)≈0.5-=0.158 7,所以该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为0.682 6×2+0.158 7×3≈1.84万元. 12.C　由X1~N1(50,100)得μ1=50,σ1=10,由X2~N2(60,16)得μ2=60,σ2=4. 对于甲,若选择方案一,则按时到达高铁站的概率为P(X1≤70)=P(X1≤μ1+2σ1)≈1-=0.977, 若选择方案二,则按时到达高铁站的概率为P(X2≤70), 因为P(X2≤68)=P(X2≤μ2+2σ2)≈1-=0.977,所以P(X2≤70)>0.977. 综上所述,甲应选择方案二. 对于乙,若选择方案一,则按时到达高铁站的概率为P(X1≤64), 因为P(X1≤60)=P(X1≤μ1+σ1)≈1-=0.841 5,所以P(X1≤64)>0.841 5, 若选择方案二,则按时到达高铁站的概率为P(X2≤64)=P(X2≤μ2+σ2)≈1-=0.841 5. 综上所述,乙应选择方案一. 13.解析　(1)由题意得X~B(10 000,0.25%), 则E(X)=10 000×0.002 5=25, 记该公司今年这一款保险产品的利润为Y,则Y=200-5X,所以E(Y)=E(200-5X)=200-5E(X)=75. (2)①由(1)知E(X)=25, 则由题意可得μ=σ2=D(X)=25, 故X近似服从正态分布N(25,25), 若该公司今年这一款保险产品的利润Y=200-5X∈(50,100),则X∈(20,30),所以P(50<Y<100)=P(20<X<30)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,故该公司今年这一款保险产品的利润在(50,100)内的概率约为0.683. ②若该公司今年这一款保险产品的利润Y=200-5X<0,则X>40,所以P(Y<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)≈=0.001 5.故该公司今年这一款保险产品亏损的概率约为0.001 5. 能力提升练 1.A 2.A 3.ABD 4.AC 7.B 8.D 9.D 1.A　因为X~N(μ,σ2),P(X≥a)=0.5,所以a=μ, 因为P(X<b)+P(X≥b)=1,P(X<b)=3P(X≥b), 所以P(X≥b)=0.25, 所以根据正态密度曲线的对称性,得P(X≤2a-b)=P(X≥b)=0.25. 2.A　易得随机变量X的正态密度曲线关于直线x=1对称,所以P(X<0)=P(X>2). 解法一:P(X<0)+P(X<3)=P(X>2)+1-P(X≥3)=1+P(2<X<3)=,所以P(2<X<3)=0.1. 解法二:因为P(X<0)+P(X<3)=,所以P(X>2)+P(X≤2)+P(2<X<3)=,又P(X>2)+P(X≤2)=1, 所以P(2<X<3)=0.1. 3.ABD　对于A,由题意得μ=600×0.6=360,σ2=600×0.6×0.4=144,所以σ=12,所以变量X服从正态分布N(360,144),故A正确. 对于B,P(X≥372)=P(X≥μ+σ)==0.159,故B正确. 对于C,P(X<384)=P(X<μ+2σ)>P(X>348)=P(X>μ-σ)=P(X<μ+σ),故C错误. 对于D,P(X<384)=P(X<μ+2σ)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈×0.954=0.977,故D正确. 4.AC　由正态密度曲线的对称性得P(X≥1.4)=<P(Y≥1.4),P(Y≥1.4)>>P(X≥2.3)=,故A正确,B错误;由于Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值,峰值越高对应方差越小,即s1>s2,故P(Y≤s2)<P(Y≤s1),故C正确;如图,因为Y的方差更小,所以其正态密度曲线更瘦高,当n取较大的正数时P(Y≤n)>P(X≤n),故D错误. 5.答案　 解析　由题意知正态密度曲线关于直线x=10对称, 所以P(X>17)=P(X<3)=m,又P(3≤X≤10)=n, 所以m+n=. 因为m2+n2≥2mn, 所以2(m2+n2)≥m2+n2+2mn, 所以m2+n2≥,当且仅当m=n=时,等号成立,所以m2+n2的最小值为. 6.答案　3 解析　因为曲线y=f(x)的对称中心为点, 所以f(x)+f(-x)=1, 又f(x)=P(ξ>x+x0)=1-P(ξ≤x+x0), 所以f(-x)=1-P(ξ≤-x+x0), 所以1-P(ξ≤x+x0)+1-P(ξ≤-x+x0)=1,即P(ξ≤x+x0)+P(ξ≤-x+x0)=1. 又因为ξ~N(3,σ2),所以x+x0+(-x+x0)=3×2,解得x0=3. 7.B　由题得μ=85,σ=10,所以μ+σ=95,μ-σ=75, μ+2σ=105,μ-2σ=65, 因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,所以P(X>95)≈=0.158 65≈16%, 根据比例得成绩大于95分为优秀, P(85<X≤95)≈=0.341 35≈34%, 根据比例得成绩在85到95之间的为良好, P(75≤x<85)≈=0.341 35≈34%, 根据比例得成绩在75到85之间的为合格, P(X<75)≈=0.158 65≈16%, 根据比例得成绩小于75分为基本合格, 因为小张的数学成绩为92分,所以他的等级是良好. 8.D　设该校高三年级学生的期中考试数学成绩为Y分,则Y~N(100,62), 令X=,则X~N(0,1), 所以成绩落在(88,112]内的概率为P=P(-2<X≤2), 易得Φ(2)=P(X<2)=0.977 2, 所以P(-2<X≤2)=1-2[1-P(X<2)]=0.954 4, 故成绩落在(88,112]内的人数约为800×0.954 4≈764. 9.D　对于A,P(Z≥59)==0.001 3,故江先生仍有可能迟到,只不过发生的概率较小,因此A错误. 对于B,当8:02出门时, 若江先生开私家车,则不迟到的概率为P(Z≤52)=+P(24≤Z≤52)≈0.977 2, 若江先生乘坐地铁,则不迟到的概率为P(Y≤48)=+P(40≤Y≤48)≈0.977 2, 此时江先生开私家车和乘坐地铁上班不迟到的概率相同,因此B错误. 对于C,当8:06出门时, 若江先生开私家车,则不迟到的概率为P(Z≤48)>P(Z≤45)=+P(31≤Z≤45)≈0.841 3, 若江先生乘坐地铁,则不迟到的概率为P(Y≤44)=0.5, 显然江先生开私家车不迟到的概率更大,因此C错误. 对于D,当8:12出门时, 若江先生乘坐地铁上班,则不迟到的概率为P(Y≤38)=≈0.001 3,此时不迟到的可能性极小,故江先生乘坐地铁上班极大可能会迟到,因此D正确. 10.解析　(1)设事件Ai表示“第i次通过第一关”,事件Bi表示“第i次通过第二关”,其中i=1,2,甲可以进入第三关的概率为P, 由题意知P=P(A1B1)+P(B2) =P(A1)P(B1)+P()·P(B2)+P()P(B2) =. (2)设该闯关活动的累计得分为X分,则X~N(μ,σ2). ①甲能获得奖励.理由如下: 由题意可知μ=171, 因为=0.022 8,且P(X>μ+2σ)=≈0.022 8, 所以μ+2σ=351,则σ==90, 因为=0.16,且P(X>μ+σ)=≈0.158 7<0.16, 所以前400名参赛者的最低得分低于μ+σ=261分,而甲的得分为270分,所以甲能获得奖励. ②假设乙所说信息为真,则μ=201, P(X>μ+2σ)=≈0.022 8,且=0.022 8, 所以μ+2σ=351,所以σ==75, 从而μ+3σ=201+3×75=426<430, 而P(X>μ+3σ)==0.001 35<0.05, 所以X>μ+3σ为小概率事件,即丙的分数为430分是小概率事件,可认为其一般不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙所说信息为假. 19 学科网（北京）股份有限公司 $