8.3正态分布同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

8.3　正态分布 一、基础达标 1.已知X~N(3,σ2),P(X<2)=,则P(X<4)=(　　) A. B. C. D. 2.某次数学考试成绩近似服从正态分布X~N(70,σ2),若P(X>60)=0.872,则可以估计考试成绩大于或等于80分的概率为(　　) A.0.372 B.0.256 C.0.128 D.0.744 3.随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(X>-1)=P(X<5),则下列说法一定正确的是(　　) A.μ=3 B.μ=2 C.σ=3 D.σ=2 4.已知两个随机变量X,Y满足Y=X+1,且X~N(1,22),则D(Y)的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 5.(多选题)已知随机变量X~N(2,32),且P(X≤0)+P(2≤X≤a)=,则下列说法正确的是(　　) A.a=3 B.a=4 C.E(3X-1)=5 D.D(2X)=12 6.已知随机变量X服从标准正态分布N(0,1),若P(X>2)=0.4,则P(-2≤X≤0)=　.  7.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态分布曲线在(0,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,且P(80)=. (1)求正态分布的正态密度函数的解析式; (2)估计尺寸在72~88 mm(不包括72 mm 及88 mm)间的零件占总数的百分比. 二、能力提升 8.已知随机变量ξ~N(2,σ2),且P(0≤ξ≤2)+P(ξ>m)=0.5,则m=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 9.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 10.已知随机变量ξ~N(0,1),令Φ(x)=P(ξ≤x),x>0,则下列等式正确的序号是(　　) ①Φ(x)+Φ(-x)=1; ②P{|ξ|≤x}=1-2Φ(x); ③P{|ξ|<x}=2Φ(x)-1; ④P{|ξ|>x}=2[1-Φ(x)]. A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③ 11.(多选题)已知X~N(μ1,),Y~N(μ2,)的正态密度曲线如图所示,下列结论中正确的是(　　) A.μ1<μ2 B.σ1<σ2 C.∀t∈R,P(X≥t)≥P(Y≥t) D.∃t∈R,P(X≥t)≥P(Y≥t) 12.某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况,因此可以把统考成绩作为总体,设平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,若全市重点学校录取率为40%,则重点录取分数线可能划在多少分?(已知Φ(0.25)=0.6) 三、拓展探究 13.已知X~N(μ,σ2),若f(x)=P(x≤X≤x+4)为偶函数,则μ=　　　　　.  参考答案 1.D　因为X~N(3,σ2),所以P(X<2)=P(X>4)=, 所以P(X<4)=1-P(X>4)=.故选D. 2.C　由正态分布的对称性可知P(X<80)=P(X>60)=0.872,故估计考试成绩大于或等于80分的概率为P(X≥80)=1-P(X<80)=1-0.872=0.128.故选C. 3.B　因为P(X>-1)=P(X<5),由正态分布的对称性可得μ==2,故B正确,A错误,而正态分布的方差无法确定,故C,D均错误.故选B. 4.D　由题意,X~N(1,22),则D(X)=4,又Y=X+1,D(Y)=D(X)=1,故选D. 5.BC　由题设,随机变量对应的均值μ=2,标准差σ=3, 所以P(X≤2)=P(X≤0)+P(0≤X≤2)=,而P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4),故P(X≤0)+P(2≤X≤a)=,即a=4,A错误,B正确;由E(3X-1)=3E(X)-1=3×2-1=5,C正确;由D(2X)=4D(X)=4×32=36,D错误.故选BC. 6.0.1　随机变量X服从标准正态分布N(0,1),若P(X>2)=0.4,所以P(X<-2)=0.4,则P(-2≤X≤0)==0.1.故答案为0.1. 7.解 (1)∵正态密度曲线在(0,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,∴正态分布曲线关于直线x=80对称,且在x=80处达到峰值,∴μ=80.又,∴σ=8, 故正态密度函数的解析式为P(x)=. (2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88,∴P(72<X<88)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683, 故尺寸在72 mm~88 mm(不包括72 mm及88 mm)间的零件大约占总数的68.3%. 8.B　∵ξ~N(2,σ2),且P(0≤ξ≤2)+P(ξ<0)=0.5, ∴P(ξ<0)=P(ξ>m),∴=2,解得m=4.故选B. 9.C　因为曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线, 所以根据正态分布的性质,P(0<X<1)=P(-1<X<1)=P(μ-σ<X<μ+σ)=0.341 3,所以落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.341 3=3 413,故选C. 10.A　因为随机变量ξ~N(0,1),所以正态曲线关于ξ=0对称,因为Φ(x)=P(ξ≤x),x>0,所以根据正态曲线的对称性可知Φ(x)+Φ(-x)=1,P{|ξ|<x}=2Φ(x)-1,P{|ξ|>x}=2[1-Φ(x)],所以①③④正确,②错误,故选A. 11.ABD　由正态密度曲线的性质可知,X~N(μ1,),Y~N(μ2,)的正态密度曲线分别关于x=μ1,x=μ2对称,σ越小密度曲线越“高瘦”,由题图可知μ1<μ2,σ1<σ2,故A,B正确;当t≥μ1时,P(X≥t)<P(Y≥t),故C错误;由于正态密度曲线与x轴之间的面积为1,由题图可知∃t∈R,P(X≥t)≥P(Y≥t),故D正确.故选ABD. 12.解 ∵平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,∴X~N(480,1002). 设重点录取分数线可能划在f分, 则P(X≥f)=1-P(X<f)=1-Φ(). 又Φ(0.25)=0.6,∴=0.25,∴f=505. ∴重点录取分数线可能划在505分. 13.2　若f(x)=P(x≤X≤x+4)为偶函数, 则有f(-x)=f(x),即P(-x≤X≤-x+4)=P(x≤X≤x+4),所以μ==2.故答案为2. 5 学科网（北京）股份有限公司 $