8.2.4 超几何分布（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第8章　概率 8.2　离散型随机变量及其分布列 8.2.4　超几何分布 基础过关练 题组一　超几何分布及其概率计算 1.(2024山东潍坊临朐一中开学考试)一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是(　　) A.X表示取出球的最大号码 B.Y表示取出球的最小号码 C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,Z表示取出的4个球的总得分 D.T表示取出的黑球个数 2.(2024江苏扬州红桥高级中学月考)已知甲参加青年志愿者的选拔,选拔以现场答题的方式进行.若在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,设甲答对的试题数为X,则X=2的概率为(　　) A. 3.(教材习题改编)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件. (1)设取出的3件产品中一等品的件数为X,求X的概率分布; (2)求取出的3件产品中一等品的件数大于二等品的件数的概率. 题组二　超几何分布的数学期望与方差 4.(2024福建莆田第二中学期中)已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是(　　) A.E(2X-1)= C.E(X)=1　　　D.D(2X-1)= 5.(2025江苏南京金陵中学期中)已知甲袋中装有3个红球、2个白球;乙袋中装有1个红球、3个白球.从甲、乙袋中各随机摸出2个球,设X为摸出的红球总数,则E(X)=(　　) A.1.2　　　B.1.4　　　 C.1.7　　　D.1.8 6.(2024江苏南通海门中学调研)某班为了庆祝中秋节,设计了一个小游戏:在一个不透明箱中装有4个黑球,3个红球和1个黄球,这些球除颜色外完全相同.每名学生从中一次随机摸出3个球,观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球,则分得X个月饼;若摸出的球中有黄球,则需要表演一个节目. (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率; (2)求每名学生分得月饼的个数的概率分布和数学期望. 能力提升练 题组　超几何分布的应用 1.(多选题)(2024江苏南通海安高级中学学情调研)一袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为其中白球的个数,随机变量Y为其中黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论中正确的是(　　) A.P(|Z-6|≤1)=　　　B.E(X)>E(Y) C.D(X)=D(Y)　　　D.E(Z)= 2.(2024黑龙江大庆实验中学期中)某商场推出一种抽奖活动:盒子中装有有奖券和无奖券共10张券,顾客从中任意抽取2张,若至少抽中1张有奖券,则该顾客中奖,否则不中奖.顾客甲每天都参加1次抽奖活动,一个月(30天)下来,发现自己共中奖11次,根据这个结果,估计盒子中的有奖券有(　　) A.1张　　　B.2张　　　C.3张　　　D.4张 3.(2024江苏无锡运河实验中学月考)有30件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽取10件产品,最可能抽到的次品数是　　　　.  4.(2025河北衡水安平中学月考)袋中有大小相同的小球10个,其中黑球3个,红球n个,白球(7-n)个,n∈N*.从中任取2个球,至少有1个红球的概率为. (1)任取3个球,求取出的球中恰有2个球同色的概率; (2)任取2个球,取到1个红球得2分,取到1个白球得0分,取到1个黑球得-1分,求总得分X的概率分布及数学期望E(X). 5.(2025广东深圳建文外国语学校月考)已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒,每盒中最多有一支次品,每盒电子笔有次品的概率为. (1)现有一盒电子笔,抽出两支进行检测. ①求抽出的两支均是正品的概率; ②已知抽出的两支是正品,求剩余电子笔中有次品的概率; (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品,由于某种原因将两盒电子笔完全混在一起,现随机选3支电子笔进行检测,记ξ为选出的3支电子笔中的次品数,求ξ的数学期望和方差. 6.(2024山东滨州期中)某商场举行有奖促销活动,凡10月13日当天消费超过400元(含400元)的顾客均可抽奖一次,抽奖箱里有6个除颜色外完全相同的小球(其中红球有3个,白球有3个),抽奖方案有两种,顾客可自行选择其中的一种方案. 方案一:从抽奖箱中一次性摸出2个球,若摸出2个红球,则打6折;若摸出1个红球,则打8折;若没有摸出红球,则不打折. 方案二:从抽奖箱中有放回地每次摸出1个球,连摸2次,每摸到1次红球,立减100元. (1)若小方、小红各消费了400元,且均选择方案一,试求他们中有一人享受6折优惠的概率; (2)若小勇消费恰好满600元,试比较说明小勇选择哪种方案更划算. 7.(2024山东德州中英文高级中学月考)随着网络的快速发展,电子商务成为新的经济增长点,市场竞争也日趋激烈,除了产品品质外,客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力,衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率,是指咨询该客服的顾客中成交人数占比,可以看成一位顾客咨询该客服后成交的概率.已知某网店共有10位客服,按询单转化率分为A,B两个等级,如表所示: 等级 A B 询单转化率 [70%,90%) [50%,70%) 人数 6 4 视A,B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值,完成下列两个问题的解答: (1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训,设抽取的A等级客服的人数为X,求随机变量X的概率分布,并求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率; (2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人,为保证服务质量,每位客服日接待顾客不超过1 300人,在网店的前期经营中,进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待,为了提升店铺成交量,网店实施改革,经系统调整,进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a,被任一位B等级客服接待的概率为b,若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300,则a应该控制在什么范围内? 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D 2.D 4.D 5.C 1.D 2.D　X=2表示答对2道题,即随机抽出3道题,有2道题答对,1道题答错,所以P(X=2)=. 3.解析　(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=, P(X=2)=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P (2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3. 事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3, P(A1)=, P(A3)=P(X=3)=, 所以取出的3件产品中一等品件数大于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=. 4.D　解法一:根据题意可得,X的可能取值为1,2,3,且X服从超几何分布, 则P(X=1)=, P(X=3)=, 所以E(X)=1×=2, 则D(X)=(1-2)2×, 所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3, D(2X-1)=4D(X)=. 解法二:根据题意知,X服从超几何分布H(3,4,6), 所以E(X)=, 所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,D(2X-1)=4D(X)=. 5.C　设Y为从甲袋中摸出的红球个数,Z为从乙袋中摸出的红球个数,则Y服从超几何分布,故E(Y)=2×,同理可得E(Z)=2×, 故E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=1.7. 6.解析　(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A, 由题可知有两种可能:“2个红球,1个黄球”和“1个黑球,1个红球,1个黄球”, 所以P(A)=. (2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=, P(X=2)=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×. 能力提升练 1.ACD　由题意知X,Y均服从超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y, 易知P(X=k)=(k=0,1,2,3,4), 从而P(|Z-6|≤1)=1-P(Z=4)-P(Z=8)=1-P(X=0)-P(X=4)=,故A正确; E(X)=4×,D(X)=D(4-Y)=D(Y),故B错误,C正确; E(Z)=2×E(X)+E(Y)=,故D正确. 2.B　设中奖的概率为p,一个月(30天)内中奖的天数为X,则X~B(30,p). 若盒子中的有奖券有1张,则p=, 所以E(X)=30×=6; 若盒子中的有奖券有2张,则p=, 所以E(X)=30×; 若盒子中的有奖券有3张,则p=, 所以E(X)=30×=16; 若盒子中的有奖券有4张,则p=, 所以E(X)=30×=20. 故盒子中的有奖券有2张,更有可能一个月(30天)中奖11次. 3.答案　3 解析　设最可能抽到的次品数为k(k∈N,且k≤10), 则≤k≤, 所以k=3,故最可能抽到的次品数是3. 4.解析　由题意可知,从中任取2个球,至少有1个红球的概率为1-,解得n=5或n=14(舍去), 故袋中红球有5个,白球有2个. (1)设事件A表示“取出的3个球中恰有2个球同色”, 则P(A)=. (2)由题意可知,X的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,4, 则P(X=-2)=, P(X=0)=, P(X=2)=, 所以X的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 4 P 所以E(X)=-2×. 5.解析　(1)记事件A:该盒有次品,事件B:抽出的两支均是正品,则P(A)=)=1. ①P(B)=P(A)P(B|A)+P(,故抽出的两支均是正品的概率为. ②P(A|B)=,故剩余电子笔中有次品的概率为. (2)由题意知,两盒电子笔中共有10支正品,2支次品,∴ξ的可能取值为0,1,2, P(ξ=0)=, ∴E(ξ)=0×, ∴D(ξ)=. 6.解析　(1)设“顾客享受6折优惠”为事件A,则P(A)=,∴小方、小红两人中有一人享受6折优惠的概率P=. (2)若小勇选择方案一,设付款金额为X元,则X的可能取值为360,480,600, 则P(X=360)=, P(X=600)=, ∴E(X)=360×=480. 若小勇选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z元,则Z=600-100Y. 由已知可得Y~B,故E(Y)=2×=1, ∴E(Z)=E(600-100Y)=600-100E(Y)=600-100=500. ∵E(X)<E(Z),∴小勇选择方案一更划算. 7.解析　(1)依题意知,A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X服从超几何分布, 则P(X=0)=, P(X=2)=, P(X=4)=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 当X=0时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,60%,其中位数为60%; 当X=1时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,80%,其中位数为60%; 当X=2时,4人的询单转化率分别为60%,60%,80%,80%,其中位数为70%; 当X=3时,4人的询单转化率分别为60%,80%,80%,80%,其中位数为80%; 当X=4时,4人的询单转化率分别为80%,80%,80%,80%,其中位数为80%. 所以当X≥2时,这4人的询单转化率的中位数不低于70%, 所以所求概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-. (2)设改革前、后A等级客服接待的顾客人数分别为Y,Z,由题知改革前每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P1=,所以Y~B, 则E(Y)=10 000×=6 000. 因为A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%, 所以改革前日均成交人数为6 000×80%+(10 000-6 000)×60%=7 200. 改革后,每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P2=6a,所以Z~B(10 000,6a),则E(Z)=10 000×6a=60 000a, 故改革后日均成交人数为60 000a×80%+(10 000-60 000a)×60%=12 000a+6 000. 令12 000a+6 000≥7 200+300,解得a≥.① 由题意可得,6a+4b=1,所以b=. 因为每位客服日接待顾客不超过1 300人,所以② 由①②,得≤a≤, 所以a应该控制在内. 16 学科网（北京）股份有限公司 $