8.2.4超几何分布同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

8.2.4　超几何分布 一、基础达标 1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A.将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部,记选出女生的人数为X C.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 2.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为(　　) A. B. C. D. 3.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是(　　) A. B. C. D. 4.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是(　　) A.E(2X-1)= B.D(X)= C.E(X)=1 D.D(2X-1)= 5.(多选题)在一个袋中装有大小相同的4个黑球,6个白球,现从中任取3个小球,设取出的3个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(　　) A.随机变量X服从超几何分布 B.随机变量X服从二项分布 C.P(X=2)= D.E(X)= 6.(多选题)已知10件产品中存在次品,从中抽取2件,记次品数为ξ,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,则下列说法正确的是(　　) A.这10件产品的次品率为20% B.次品数为8件 C.E(ξ)= D.D(ξ)= 7.已知超几何分布满足X~H(3,5,8),则P(X=2)=　　　　　.  8.一个箱子中有6个大小相同的产品,其中4个正品、2个次品,从中任取3个产品,记其中正品的个数为随机变量X,则X的均值E(X)=　　　　　.  9.某校高一、高二的学生组队参加辩论赛,高一推荐了3名男生、2名女生,高二推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训,最终从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列. 二、能力提升 10.从含有7件次品的20件产品中,任意地抽取4件,X表示抽取的次品个数,则表示(　　) A.P(X=3) B.P(X=4) C.P(X>3) D.P(X≥3) 11.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,那么以为概率的事件是(　　) A.都不是一等品 B.恰有1件一等品 C.至少有1件一等品 D.至多有1件一等品 12.在10个排球中有6个正品、4个次品,从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　) A. B. C. D. 13.(多选题)某工厂进行产品质量抽测,两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品,已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品,员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品,员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X,员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y,k=0,1,2,3.则下列判断正确的是(　　) A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量Y服从超几何分布 C.P(X=k)<P(Y=k) D.E(X)=E(Y) 14.从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+2)=　　　　　.  15.袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个,其中白球有2个,从袋中任意不放回地取出2球,至少取到1个红球的概率为,则红球有　　　　　个,在此情况下,若从袋中任意不放回地取出3球,记取到黑球的个数为ξ,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=　　　　　.  16.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性较大? 三、拓展探究 17.设随机变量X~H(10,M,1 000)(2≤M≤992且M∈N*),H(2;10,M,1 000)最大时,E(X)=(　　) A.1.98 B.1.99 C.2.00 D.2.01 参考答案 1.B　由超几何分布的定义可判断,只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选B. 2.D　袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球共有种取法,恰好有6个红球,则有4个白球,故取法有种, 由古典概型的概率公式得概率为.故选D. 3.C　记X为抽出的2张中的中奖数,由题意得X服从超几何分布,则P(X=2)=. 4.D　根据题意可知,X可能取1,2,3,且服从超几何分布,故P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=1×+2×+3×=2,D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×,E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,D(2X-1)=4D(X)=,故选D. 5.ACD　由题设描述知随机变量X服从H(3,6,10)超几何分布,故A正确,B错误;P(X=2)=,故C正确;E(X)=n·=3×,故D正确.故选ACD. 6.ACD　假设10件产品中存在次品为n件,从中抽取2件,⇒n=2,则次品数为2件,B错误;这10件产品的次品率为×100%=20%,A正确;10件产品中存在2件次品,从中抽取2件,记次品数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=1-,则E(ξ)=0×+1×+2×,C正确;D(ξ)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×,D正确. 故选ACD. 7.　因为超几何分布满足X~H(3,5,8),所以P(X=2)=.故答案为. 8.2　因为随机变量X满足X~H(3,4,6), 所以E(X)=3×=2,故答案为2. 9.解 (1)高一、高二共推荐6名男生和6名女生,高一没有学生入选代表队的概率为,所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为1-. (2)根据题意可知,X的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列为 X 1 2 3 P 10.D　因为表示从20件产品中任意选取4件的选法,表示选取的4件产品中有3件次品,1件正品的选法,表示选取的4件产品全是次品的选法.所以P(X≥3)=,故选D. 11.D　对于A,概率为;对于B,概率为;对于C,概率为;对于D,概率为.故选D. 12.A　由题意知,正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品、1个正品3个次品.由超几何分布的概率公式可知,当0个正品4个次品时,P=;当1个正品3个次品时,P=.所以正品数比次品数少的概率为. 13.ABD　对于A,B选项,由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确;对于D选项,该批产品有M件,则E(X)=3·,E(Y)=3×,因此D正确;对于C选项,假设C正确可得E(X)<E(Y),则D错误,矛盾,故C错误.故选ABD. 14.4　依题意得,ξ可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,于是E(ξ)=×0+×1+×2=,故E(5ξ+2)=5E(ξ)+2=4.故答案为4. 15.4　1　(1)设红球m个,黑球7-m个,至少取到1个红球的概率,就是取出一个是红色,另一个是其他色,共计种情况,还有一个可能就是两个都是红色有种情况,所以,化简得m=4. (2)由(1)得,袋中有红球4个,白球2个,黑球3个,列式如下: P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=, 所以数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1, 故答案为4,1. 16.解 (1)设X为甲正确完成面试题的数量,Y为乙正确完成面试题的数量, 依题意可得X~H(3,4,6), ∴P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴E(X)=1×+2×+3×=2. Y~B(3,),∴P(Y=0)=)3=,P(Y=1)=)1()2=,P(Y=2)=)2()1=,P(Y=3)=)3()0=, ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P ∴E(Y)=0×+1×+2×+3×=2. (2)D(X)=×(1-2)2+(2-2)2×+(3-2)2×,D(Y)=np(1-p)=3×, ∵D(X)<D(Y),∴甲发挥的稳定性更强,则甲通过面试的概率较大. 17.C　随机变量X~H(10,M,1 000),则H(2;10,M,1 000)=P(X=2)=,因为H(2;10,M,1 000)最大, 则有 即 整理得 解得199.2≤M≤200.2,而M∈N*,则M=200, 所以E(X)==2.00.故选C. 8 学科网（北京）股份有限公司 $