6.2.2 空间向量的坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标表示及运算，涵盖空间直角坐标系建立、向量与点的坐标表示、坐标运算（线性运算、平行垂直、数量积等）及点的坐标应用（距离、中点、重心），通过联系平面向量坐标知识，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于知识拓展（表格归纳坐标轴及平面上点的坐标）、课后辨析（易错点如向量坐标与点坐标关系）及典例分析（正方体、直三棱柱实例），以数学思维（推理运算）和数学语言（公式表达）培养抽象能力与推理意识，学生能掌握空间向量工具，教师可利用系统资源提升教学效率。

6.2.2　空间向量的坐标表示 6.2　空间向量的坐标表示 知识点 1 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 　　在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O- xyz,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平 面和zOx平面. 　　如图所示,在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指 指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角 坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 必备知识 清单破 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 2.空间向量的坐标表示 　　在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一 的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k({i,j,k}为空间的一个单位正交基底). 　　有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3). 3.空间点的坐标 　　在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量 为点P的位置向量.于是, 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 =xi+yj+zk.因此,向量 的坐标为 =(x,y,z).此时,我们 把与向量 对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作P(x,y,z). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识拓展 　　空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面上的点的坐标如表所示: 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内 坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 　　设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 知识点 2 空间向量的坐标运算 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 名称 坐标表示 线性运算 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R 平行 a∥b(a≠0)⇔x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(λ∈R) 数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2 模 |a|=  夹角 cos<a,b>=  垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 　　设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2). 1.两点间的距离公式 　    AB= . 2.中点坐标公式 线段AB的中点坐标为 . 知识点 3 空间点的坐标运算 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识拓展 　　若△ABC的三个顶点分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的重心的坐标为  . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识辨析 1.在空间直角坐标系中,向量 的坐标与终点B的坐标是否相同? 2.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则 = = 是否成立? 3.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若x1x2+y1y2+z1z2>0,则<a,b>一定是锐角吗? 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 一语破的 1.不一定.向量 的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标.只有当A是坐标原点时,向量  的坐标才与终点B的坐标相同. 2.不一定成立.当a∥b且x2y2z2=0时, = = 无意义. 3.不一定.若x1x2+y1y2+z1z2>0,则<a,b>为零角或锐角. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   1.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型:一是判定平行或垂直;二是已知平行 或垂直求参数. 2.利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题的一般步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标; (2)求出相关向量的坐标; (3)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),利用“a∥b(a≠0)⇔b=λa(λ∈R)⇔b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3”“a⊥b⇔ a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0”建立关系; (4)得出结论. 关键能力 定点破 定点 1 利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例1 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a= ,b= . (1)若|c|=3,c∥ ,求c的坐标; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    (1)∵ =(-2,-1,2)且c∥ , ∴设c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R), 则|c|= =3|λ|=3, 解得λ=±1,∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)∵a= =(1,1,0),b= =(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). ∵ka+b与ka-2b互相垂直, ∴(ka+b)·(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0, 解得k=2或k=- . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例2　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.   (1)求证: ∥ , ⊥ ; (2)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在实数λ,使 =λ ,且 ⊥ ?若 存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    设正方体的棱长为1,以{ , , }为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标 系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).   由中点坐标公式,得E ,G ,H . (1)证明: =(1,0,1), = , = ,所以 =2 , · =1× +0×  +1× =0,所以 ∥ , ⊥ . (2)不存在.理由如下: 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 假设存在满足条件的实数λ. 设点P(x1,y1,1), 则 =(x1-1,y1,0), =(-x1,1-y1,0). 由3 = ,得  解得 所以点P的坐标为 . 设点Q(x2,y2,0),则 = , =(x2,y2-1,0).易得 = , =(-1,1,0). 由 ⊥ ,得x2- +y2- - =0.① 由 =λ ,得 ② 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 联立①②,无解,故不存在满足条件的实数λ. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   定点 2 利用空间向量的坐标运算求夹角和长度 利用空间向量的坐标运算求夹角或线段长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标; (2)求出相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求两向量的夹角,利用两点之间的距离公式求线段的长度. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1= ,E,F分别是棱B1C1,A1C1的 中点,求: (1)| |; (2) 与 的夹角.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC,所以以{ , , }为正交基 底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,   ∵AB=AC=2,AA1= ,E,F分别是棱B1C1,A1C1的中点, ∴B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1, ),F(0,1, ). (1)∵ =(0,1, )-(2,0,0)=(-2,1, ), 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 ∴| |= =2 . (2)∵ =(1,1, )-(2,0,0)=(-1,1, ), =(0,1, )-(0,2,0)=(0,-1, ), ∴cos< , >= = = , 又∵< , >∈[0,π], ∴< , >= . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 $