6.1 空间向量及其运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件围绕空间向量与立体几何，系统涵盖空间向量的概念、线性运算、数量积及共线共面定理等核心知识点，通过平面向量知识导入，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合易错警示（如向量夹角平移、数量积运算律）和典例分析（正方体、二面角问题），运用数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达），助力学生发展空间观念和运算能力，教师可借此高效突破教学重难点，提升教学效果。

6.1　空间向量及其运算 必备知识 清单破 知识点 1 空间向量的概念 　　在空间,把既有大小又有方向的量叫作空间向量.空间向量用有向线段表示,凡是方向相 同且长度相等的有向线段都表示相同的向量. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识点 2 空间向量的线性运算 空间 向量 的线 性运 算 加法 三角形法则:a+b=  + = ; 平行四边形法则:a+b = + =    减法 a-b= - =  数乘 运算 当λ>0时, λa =λ =  (与a同向)   当λ<0时,λa=λ =  (与a反向) 当λ=0时,λa=0 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 运算律(λ,μ∈R) 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 1.共线(平行)向量 　　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量 或平行向量.向量a与b平行,记作a∥b. 　　规定:零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 　　对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. 知识点 3 共线向量定理 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 1.向量的数量积 知识点 4 空间向量的数量积 数量积 a·b=|a||b|cos<a,b> 运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R; a·b=b·a(交换律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 性质和 应用 若a,b为非零向量,则 a⊥b⇔a·b=0 a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2,即|a|=  cos<a,b>= ,<a,b>的范围为[0,π] 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 　　规定:零向量与任一向量的数量积为0. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 易错警示 1.在寻找两个向量的夹角时,两向量的起点需要重合.如果不重合,那么需要通过平移使得两 向量的起点重合. 2.两个向量的数量积的结果是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零. 3.两个向量的数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c⇏b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)). 2.投影向量 (1)对于空间任意两个非零向量a,b,设向量 =a, =b(如图1),过点A作AA1⊥OB,垂足为A1,则 向量 称为向量a在向量b上的投影向量.与平面向量类似,有a·b= ·b,即向量a,b的数量积 就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步  图1　     图2 (2)如图2,设向量m= ,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量 ,则向量  称为向量m在平面α上的投影向量.对于平面α内的任一向量n,有m·n= ·n,即空间向量m,n的 数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 1.共面向量 　　一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.任意两个空间向量都是共面向量. 2.共面向量定理 　　如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使 得p=xa+yb.也就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示. 知识点 5 共面向量定理 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识辨析 1.由 ∥ 能得到AB∥CD吗? 2.如果向量 与 的夹角为α,那么直线AB与CD所成的角是α吗? 3.若a·b<0,则<a,b>一定是钝角吗? 4.任意两个空间向量一定共面吗?三个呢? 5.若向量e1,e2不共线,则对空间中任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)吗? 6.向量a,b,c共面时,表示这三个向量的有向线段所在的直线共面吗? 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 一语破的 1.不一定.AB∥CD或A,B,C,D四点共线. 2.不一定.当α∈ 时,直线AB与CD所成的角为α;当α∈ 时,直线AB与CD所成的角为 π-α. 3.不一定.<a,b>还有可能是平角. 4.一定;不一定.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量.任意三个向量 不一定共面,如:三棱锥的三条侧棱对应的向量不共面. 5.不是.当a与e1,e2不共面时,不能这样表示. 6.不一定共面.当三个向量过同一点时,表示三个向量的有向线段所在的直线才共面. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 空间向量的数量积运算及其应用 1.求空间向量的数量积的方法 (1)当所求数量积中两向量的夹角和模已知时,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>求解. (2)当所求数量积中两向量的夹角和模未知,但其他向量的模和夹角已知时,将所求数量积中 两向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式,再利用向量的数量积的运算律展开,转化成 已知模和夹角的向量的数量积. (3)投影向量法:若a在b上的投影向量为m或a在b所在平面上的投影向量为n,则a·b=m·b或a·b= n·b. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 2.空间向量数量积的应用 (1)利用数量积求向量的夹角(或夹角的余弦值):可利用cos<a,b>= 求两个向量的夹角(或 夹角的余弦值).若a·b>0,则<a,b>∈ ;若a·b=0,则<a,b>= ;若a·b<0,则<a,b>∈ . (2)利用数量积求向量的模:求向量的模时,一般将此向量表示为已知的几个向量的和或差的 形式,求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a±b|= = 求 解即可. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例    (1)已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上一点,则 · 的取值范围是 　　　    .  　　      (2)如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB.已知AC= AB=BD=6,则线段CD的长为　　　    . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    (1)设| |=x(0≤x≤2),则| |=2-x. 解法一:连接A1C,易得| |2=12, ∴ · =| || |cos∠A1PC = (| |2+| |2-| |2) = [x2+4+(2-x)2+4-12] =x2-2x=(x-1)2-1, 令y=(x-1)2-1,∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0, 故 · ∈[-1,0]. 解法二(投影向量法):∵ 在平面ABCD上的投影向量为 ,∴ · = · , ∵ 在 上的投影向量为 , 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 ∴ · = · , ∴ · = · =| || |cos< , >=x(2-x)cos π=x2-2x=(x-1)2-1, 令y=(x-1)2-1,∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0, 故 · ∈[-1,0]. (2)∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴ · =0, · =0. ∵二面角α-AB-β的平面角为120°, ∴< , >=180°-120°=60°, ∴| |2=( + + )2=| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 · =3×62+2×62×cos 60°=1 44,∴| |=12,故线段CD的长为12. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 答案    (1)[-1,0]    (2)12 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 1.空间向量共线、共面的结论 (1)空间三点A,B,P共线⇔存在实数λ,使 =λ 成立⇔ =x +y ,且x+y=1(O为空间中任 意一点). (2)空间四点A,B,P,M共面⇔存在实数x,y,使 =x +y 成立⇔ = +x +y ⇔ = m +n +s ,且m+n+s=1(O为空间中任意一点). 2.空间向量共线、共面的应用 (1)共线向量定理可以证明三点共线,确定直线上的动点;还可以证明空间中两直线平行,因为 空间中两个非零向量共线时,表示这两个向量的有向线段所在的直线可能平行,也可能重合, 所以在证明时要说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向 定点 2 空间向量共线、共面的结论和应用 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 量平行直接推出线线平行. (2)共面向量定理可以证明四点共面,确定平面内的动点;还可以证明线面平行,当然也要说明 直线不在平面内. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△ PCD,△PDA的重心.求证: (1)EF∥AC; (2)E,F,G,H四点共面.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 证明    如图,连接PE,PF,PG,PH并延长,分别交AB,BC,CD,DA于点M,N,Q,R,则M,N,Q,R分别为 AB,BC,CD,DA的中点.   连接MN,NQ,QR,RM, 易得四边形MNQR为平行四边形. 易知 =  , =  , =  , =  . (1) = - =  -  =  = ×  =  ,所以 ∥ ,又AC与EF不重合,所以EF ∥AC. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 (2)连接MQ,EG,EH. 依题意得 = - =  -  =  = ( + )= ( - )+ ( - ) =  +  = + , 易知 , 不共线,所以 , , 共面, 又EG,EF,EH有公共点E, 所以E,F,G,H四点共面. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例2 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,求证:MN ∥平面BDE.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 证明    证法一:连接AN. 因为E,D分别是PC,PA的中点,所以 =  . 因为M,N分别是AD,BC的中点, 所以 =-  , = ( + ), 所以 = + =-  + ( + )= ( - )+  =  + . 又 与 不共线, 所以根据共面向量定理可知 , , 共面. 因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE. 证法二:连接PN,交BE于点G,连接DG,如图. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   因为N,E分别是BC,PC的中点,所以G为△PBC的重心,所以 =  . 因为D是PA的中点,M是AD的中点,所以 =  ,所以 = - =  -  = ( -  )=  ,所以 ∥ . 又MN⊄平面BDE,DG⊂平面BDE, 所以MN∥平面BDE. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 $