6.1.1 空间向量的线性运算（题型专练，4基础&2提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.1.1 空间向量的线性运算 题型一 空间向量的概念辨析 1．【多选题】（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 2．【多选题】（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 3．（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 4．（23-24高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 5．【多选题】（23-24高二上·广东广州·月考）以下关于向量的说法正确的有（      ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 【答案】AC 【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断. 【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误； 若＝－，＝－，则＝－=，故C正确； 若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误. 故选：AC. 题型二 空间向量的加减运算 1．（25-26高二上·广东江门·月考）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 2．（25-26高一上·陕西商洛·月考）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算，即可得结果. 【详解】由向量的加减运算法则可得： . 故选：C 3．（25-26高二上·全国·期末）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1）由题意得. （2）由题意得. （3）由题意得 4．（25-26高二上·河南新乡·月考）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 5．（25-26高二上·浙江·期中）在平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质结合向量的加法法则，可得所求向量． 【详解】在平行六面体中连接，    因为， 所以四边形是平行四边形，则， 则， 所以. 故选：D 题型三 空间向量证明三点共线 1．（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 4．（2023高一·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 5．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 题型三 空间向量的数乘运算 1．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 2．（25-26高二上·河南开封·月考）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：B 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 4．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 5．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 题型一 空间向量的线性运算求参数 1．（23-24高二上·河南洛阳·月考）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果． 【详解】由于F为BE的中点， 所以，结合， 整理得，①， 由，得， 即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    4．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形， ，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面平行的性质可得，结合空间的等角定理可得∽，即得对应边成比例，结合题意，即可求得答案. 【详解】因为四棱柱为直四棱柱，， 故平面平面，而平面平面， 平面平面，故， 又，则，故∽， 故，又，，则， 则，故，则， 故选：C 5．（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【详解】， 故，，，. 故选：A 题型二 空间向量的共线定理推论及其应用 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 2．（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 3．（25-26高二上·福建·期中）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则 . 【答案】 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可. 【详解】连接如图，设中点为， ，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点. 因为，，，设， 则，设， 则，故， 故，解得，代入可得，即. 由重心性质可得，设， 又， 则，故，解得. 故，故. 故答案为：. 4．（25-26高二上·湖北·月考）如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据向量的线性运算与共线定理运算即可. 【详解】连接，    因为点为的中点， 所以 即，. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 所以． （2），同理得， 所以，所以四边形是平行四边形． （3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点， 因为、分别为、的中点， 所以，． 由，可得． 2．（24-25高一下·河南郑州·期中）在三棱锥中，，，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 . 【答案】 【分析】设G到平面的距离为，设D到平面的距离为，求得，继而求出，根据棱锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设G到平面的距离为，设D到平面的距离为， 由于，故； 又，则， 故， 故. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 5．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在四棱台中，，，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，面，得到，从而将问题转化成求四棱台的高，再根据题设条件，即可解决问题. 【详解】如图，因为，令，则面， 则，所以的最小值即为四棱台的高， 过作面于，过作于，过作于， 连接， 因为面，面，所以， 又，，面，所以， 又，，得到，， 同理可得，，，所以，得到， 在中，，所以， 得到， 故答案为：. 6．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长交于点P，根据平面基本定理，即可作出过E，F，G三点的平面与的交点H，作，推出，再作，即可推出，即可求得答案. 【详解】由题意，即G为靠近C的四等分点，F为CD的中点， 如图，延长交于点P，则平面，平面， 又平面，连接EP，则平面，而平面， 显然不平行，则二者相交，交点即为过E，F，G三点的平面与的交点H， 作，交于M，F为CD的中点， 则≌，则，结合，则， 由于，故， 作，交于N，则， 而E为AB的中点，即，故， 又，故，即， 故选：C 7．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【答案】(1)、、三点共线，证明见解析； (2)、、三点共线，证明见解析. 【分析】（1）用分别表示即可求解； （2）用分别表示即可求解. 【详解】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.1 空间向量的线性运算 题型一 空间向量的概念辨析 1．【多选题】（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 2．【多选题】（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 3．（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 4．（23-24高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 5．【多选题】（23-24高二上·广东广州·月考）以下关于向量的说法正确的有（      ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 题型二 空间向量的加减运算 1．（25-26高二上·广东江门·月考）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 2．（25-26高一上·陕西商洛·月考）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·期末）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 4．（25-26高二上·河南新乡·月考）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江·期中）在平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 题型三 空间向量证明三点共线 1．（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 4．（2023高一·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 5．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三 空间向量的数乘运算 1．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南开封·月考）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    题型一 空间向量的线性运算求参数 1．（23-24高二上·河南洛阳·月考）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 3．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形， ，若平面，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二 空间向量的共线定理推论及其应用 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 2．（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建·期中）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则 . 4．（25-26高二上·湖北·月考）如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 2．（24-25高一下·河南郑州·期中）在三棱锥中，，，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 . 3．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在四棱台中，，，设，则的最小值为 . 6．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $