第1章 专题强化练3 数列的递推公式及通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

专题强化练3　数列的递推公式及通项公式 1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=　　　　　B.an= C.an=　　　　　D.an= 2.(2024湖南湘潭第一中学月考)已知数列{an}满足a1=1,=,n∈N+,则下列结论不正确的是(　　) A.a4=2 B.数列{nan}是等比数列 C.数列{an}为递增数列 D.数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6 3.(2024河南部分学校联考)已知数列{an}满足a3-a2=9,an-4an-1+3an-2=0(n≥3),则an-a1=(　　) A.　　　　　　B.　　　　　C.2·3n-6　　　　　D. 4.(多选题)(2025河南平顶山叶县高级中学月考)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,且an+1-2an=2n+1(n∈N+),则(　　) A.{nan}是等比数列　　　　　B.是等比数列 C.an=n·2n　　　　　 D.Sn=(n-1)·2n+2 5.(2024云南师范大学附属中学月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+q(p,q∈R,n∈N+),设{an}的前n项和为Sn,则下列说法不正确的是(　　) A.若p=-1,q=3,则a10=2 B.若p=-1,q=3,则S10=15 C.若p=2,q=1,则a10=1 024 D.若p=2,q=1,则S10=2 036 6.已知数列{an}满足a1=t,an+1-2an=-n+1,若{an}是递减数列,则实数t的取值范围为(　　) A.(-1,1)　　　　　B.(-∞,0) C.(-1,1]　　　　　D.(1,+∞) 7.(2024四川成都田家炳中学月考)已知数列{an}的首项为2,等比数列{bn}满足bn=且b1 012=1,则a2 024=　　　　.  8.(2024山东德州期中)设数列{an}满足a1=-2,an+1=an+n·2n,则log2a1 026=　　　　.  9.(2025安徽A10联盟开学联考)已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+2),正项数列{bn}满足=bn+1bn-1(n≥2),且a2-b2=a3-b3=3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=bn+bn+1an+1-bn+2Sn,证明数列{cn}为等比数列; (3)求{an+1·bn+1}的前n项和Tn. 答案与分层梯度式解析 1.D 2.C 3.A 4.BC 5.C 6.B 1.D　由an+1=(n∈N+),得=+,即-=, 所以数列是首项为=1,公差为的等差数列,所以=1+(n-1)=,所以an=. 2.C　由=,得=2, 因为1·a1=1, 所以数列{nan}是首项为1,公比为2的等比数列,则nan=2n-1,即an=,B中结论正确; a4==2,A中结论正确; 因为a2==1=a1,所以数列{an}不是递增数列,C中结论错误; 显然an>0,==,当n≥2时,an+1>an,故数列{an}从第2项起为递增数列,又a6=<6,a7=>6,因此数列{an-6}的前6项均为负数,从第7项起均为正数,所以数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6,D中结论正确. 3.A　由已知得an-an-1=3(an-1-an-2)(n≥3), 所以a3-a2=3(a2-a1)=9,即a2-a1=3, 所以{an+1-an}是以3为首项,3为公比的等比数列, 因此an+1-an=3×3n-1=3n, 当n≥2时,a2-a1=3,a3-a2=32,……,an-an-1=3n-1, 累加得an-a1=3+32+…+3n-1==. 4.BC　由an+1-2an=2n+1,得-=1,则是首项为=1,公差为1的等差数列, 所以=1+(n-1)=n,则an=n·2n,故C正确; nan=n2·2n,==,不是非零常数, 所以{nan}不是等比数列,故A错误; =2n,因为==2,所以是以=2为首项,2为公比的等比数列,故B正确; 因为Sn=21+2×22+…+n×2n, 所以2Sn=22+2×23+…+n×2n+1, 两式相减得Sn=n·2n+1-(2+22+…+2n)=(n-1)·2n+1+2,故D错误. 5.C　对于A,B,若p=-1,q=3,则an+1+an=3,an+2+an+1=3,两式相减可得an+2=an,∴{an}是周期为2的周期数列, 由a1=1,an+1+an=3,得a2=2,则a10=a2=2,S10=5(a1+a2)=5×3=15,故A、B中说法正确; 对于C,D,若p=2,q=1,则an+1=2an+1, 可得an+1+1=2(an+1),∵a1+1=2, ∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴an+1=2n,则an=2n-1,∴a10=210-1=1 023, S10=a1+a2+…+a10=21-1+22-1+…+210-1=21+22+…+210-10=-10=2 036,故C中说法错误,D中说法正确. 6.B　由an+1-2an=-n+1得an+1-(n+1)=2(an-n), 易知当t=1时,a1=1,a2=2,不满足{an}是递减数列,故t≠1, 因此数列{an-n}是以a1-1=t-1为首项,2为公比的等比数列, 故an-n=(t-1)2n-1,所以an=n+(t-1)2n-1, 由于{an}是递减数列,所以an+1<an恒成立,得n+1+(t-1)2n<n+(t-1)2n-1, 化简得(1-t)2n-1>1,故1-t>,因此1-t>=1,解得t<0.故实数t的取值范围为(-∞,0). 方法技巧　已知an+1=pan+qn+r形式的递推公式,求数列{an}的通项公式时,可设an+1+(n+1)x+y=p(an+nx+y),移项整理,对比系数可得x,y的值,从而构造出等比数列并求得{an+nx+y}的通项公式,进而求出an. 7.答案　2 解析　设等比数列{bn}的公比为q, 则bn=b1·qn-1=, 所以=b1·qn-2,=b1·qn-3,……,=b1·q0, 累乘得··…·=·q0+1+2+…+n-2=·,整理得an=a1··, 所以a2 024=a1··=2·q1 011×2 023=2(b1·q1 011)2 023, 又b1 012=b1·q1 011=1,所以a2 024=2(b1·q1 011)2 023=2. 8.答案　1 036 解析　∵an+1=an+n·2n,∴an+1-an=n·2n, 当n≥2时,an-a1=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)·2n-1+(n-2)·2n-2+…+2×22+1×21,① ∴2(an-a1)=(n-1)·2n+(n-2)·2n-1+(n-3)·2n-2+…+2×23+1×22,② ①-②得-(an-a1)=-(n-1)·2n+2n-1+2n-2+…+23+22+2=-(n-1)·2n+=-(n-1)·2n-2+2n=-(n-2)·2n-2, ∴an-a1=(n-2)·2n+2, 当n=1时也符合上式,所以an=(n-2)·2n, 故log2a1 026=log2(1 024×21 026)=log2(210×21 026)=log221 036=1 036. 9.解析　(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+2)=n2+2n,当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,Sn-1=(n-1)(n+1)=n2-1, 所以an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-(n2-1)=2n+1, 当n=1时,a1=3满足an=2n+1, 所以an=2n+1(n∈N+). 因为正项数列{bn}满足=bn+1bn-1(n≥2),所以{bn}是等比数列, 设{bn}的公比为q,由a2-b2=a3-b3=3, 可得解得故bn=b1qn-1=2n-1. (2)证明:由(1)得cn=2n-1·(2n+1)2+2n·(2n+3)-2n+1·n·(n+2)=2n+1·n2+2n+1·n+2n-1+2n+1·n+3·2n-(2n+1·n2+2n+2·n)=7·2n-1, 所以==2,又c1=7,所以{cn}是以7为首项,2为公比的等比数列. (3)令dn=an+1·bn+1=(2n+3)·2n, 则Tn=d1+d2+…+dn=5×21+7×22+…+(2n+3)·2n,① 2Tn=5×22+…+(2n+1)·2n+(2n+3)·2n+1,② ①-②得,-Tn=5×2+2×22+…+2×2n-(2n+3)·2n+1=10+-(2n+3)·2n+1 =10+2n+2-8-(2n+3)·2n+1=2-(2n+1)·2n+1, 所以Tn=(2n+1)·2n+1-2. 解题模板　求数列通项公式的常用方法:①利用an=求数列的通项公式;②若递推公式为an-an-1=f(n)(n≥2),则利用累加法求通项公式;③若递推公式为=f(n)(n≥2),则利用累乘法求通项公式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $