第1章 数列 章末综合测试　（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第一章　数列 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知在等差数列{an}中,a5=20,a10=35,则a20=(　　) A.50　　　　B.55　　　　C.60　　　　D.65 2.在等比数列{an}中,若a2a5=a6,且a3=9,则公比q=(　　) A.　　　　B.3　　　　C.±　　　　D.±3 3.已知数列{an}是等差数列,a1=2,其前n项和为Sn,公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=(　　) A.398　　　　B.388　　　　C.189　　　　D.199 4.在数列{an}中,an+1=若a1=,则a103=(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.4 6.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列,且a1 013=1,若f(x)=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 025)等于(　　) A.4 050　　　　B.2 025　　　　C.4 052　　　　D.2 026 7.今年元旦,市民小王向朋友小李借款100万元用于购房,双方约定年利率为5%,按复利计算(即本年利息计入次年本金生息),借款分三次等额归还,从明年的元旦开始,连续三年都是在元旦还款,则小王每次的还款额约是(　　) (参考数据:1.052=1.102 5,1.053≈1.157 6,1.054≈1.215 5) A.36万元　　　　B.37万元　　　　 C.38万元　　　　D.39万元 8.观察下面的数阵: 1 3　 5 7　9　 11　13 15　17　19　21　23　25　27　29 …… 则该数阵中第九行,从左往右数的第20个数是(　　) A.545　　　　B.547　　　　C.549　　　　D.551 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 023<0,S2 024>0,则下列结论正确的是(　　) A.{an}是递减数列　　　　B.a1 012<0,a1 013>0 C.|a1 013|>|a1 012|　　　　D.Sn≥S1 012 10.已知数列{an},{bn}满足an+1=2an+bn,bn+1=an+2bn+ln(n∈N+),a1+b1>0,则下列命题为真命题的是(　　) A.数列{an-bn}是递增数列 B.数列{an+bn}是递增数列 C.数列{an}是递增数列 D.数列{bn}从某项以后是递增的 11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-,下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的每一项都满足0<an≤1(n∈N+) B.数列{an}是递减数列 C.数列{an}的前n项和Sn<2 D.数列{an}的每一项都满足an≤成立 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知等比数列{an}满足a2+a3=5,a3+a4=10,则公比q=　　　　,前n项和Sn=　　　　　　.(第一空2分,第二空3分)  13.若数列{an}是公差为2的等差数列,S5<3a4,写出满足题意的数列{an}的一个通项公式:an=　　　　.  14.对于数列{an},若a1=2,an+1-an=2n,数列{an}的前n项和为Sn,则lo(Sn+2)的最大值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是公比q=2的等比数列,且a1=b2=4,S3=21. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)现由数列{an}与{bn}按照下列方式构造新的数列{cn}: ①将数列{an}中的项去掉与数列{bn}中的项相同的项,按原来的顺序构成新数列{cn}; ②数列{an}与{bn}中的所有项分别构成集合A与B,将集合A∪B中的所有元素从小到大依次排列,构成新数列{cn}. 在以上两种方式中任选一种,求数列{cn}的前30项和. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+4,数列{bn}的各项均为正数且前n项和Sn满足Sn=(bn+1)2. (1)求证:数列{an+2}是等比数列; (2)求数列{an},{bn}的通项公式; (3)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn. 17.(本小题满分15分)在数列{an}中,an>0,其前n项和为Sn,且对任意n∈N+,都有(an+1)2=4Sn.等比数列{bn}中,b1+b3=30,b4+b6=810. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{(-1)nan+bn}的前n项和Tn. 18.(本小题满分17分)市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式: ①等额本金:在还款期内把贷款总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同. ②等额本息:银行从每月月供款中,先收剩余本金利息,后收本金;利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供款中的比例升高,但月供总额保持不变. 银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2021年7月8日贷款到账,则2021年8月8日首次还款),已知该笔贷款年限为25年,月利率为0.4%. (1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5 500元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息; (2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款能否获批(不考虑其他因素);(参考数据:1.004300≈3.31) (3)对比两种还款方式,你建议小张选择哪种还款方式,并说明你的理由. 19.(本小题满分17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若≤≤2(n∈N+),则称{an}是“紧密数列”. (1)已知数列{an}是“紧密数列”,其前5项依次为1,,,x,,求x的取值范围; (2)若Sn=(n2+3n),判断{an}是不是“紧密数列”,并说明理由; (3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围. 答案全解全析 1.D 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.C 9.BCD 10.BCD 11.ABD 1.D　设等差数列{an}的公差为d,则a10-a5=5d=15,得d=3, 所以a20=a10+10d=35+30=65. 2.D　由题意得a6=a2a5=a1a6,所以a1=1, 而a3=9,则q2==9,故q=±3. 3.C　由题意得=a3a8,即(2+4d)2=(2+2d)(2+7d),整理得d2-d=0, ∵d≠0,∴d=1,∴S18=18a1+d=189. 4.D　因为an+1=且a1=,所以a2=2a1=,a3=2a2=,a4=2a3-3=,a5=2a4=,……,则an+4=an,所以a103=a4×25+3=a3=. 5.C　∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,∴=====7+.若为整数,n∈N+,则n=1,2,3,5,11,共5个. 6.B　由等比数列的性质得a1·a2 025=a2·a2 024=a3·a2 023=…==1. 又f(x)=,所以f==,所以f+f(x)=+=2, 所以f(a1)+f(a2 025)=2, f(a2)+f(a2 024)=2, f(a3)+f(a2 023)=2,……, 令T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 025),则T=f(a2 025)+…+f(a2)+f(a1), 所以2T=[f(a1)+f(a2 025)]+[f(a2)+f(a2 024)]+…+[f(a2 025)+f(a1)]=2×2 025, 所以T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 025)=2 025. 7.B　设小王每次的还款额为x万元, 则由题意得100×(1+5%)3=x+x(1+5%)+x(1+5%)2, 即100×1.053=x+1.05x+1.052x,解得x≈37. 8.C　题中数阵中的数从上到下,从左到右依次为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数, 第一行有1=20个数; 第二行有2=21个数,且第1个数是3=22-1; 第三行有4=22个数,且第1个数是7=23-1; 第四行有8=23个数,且第1个数是15=24-1; …… 则第九行有28个数,且第1个数是29-1=511, 则第九行第20个数是511+2×(20-1)=549. 9.BCD　∵S2 023<0,S2 024>0, ∴S2 023===2 023a1 012<0, S2 024===1 012(a1 012+a1 013)>0, ∴a1 012<0,a1 012+a1 013>0,∴a1 013>0,且|a1 012|<|a1 013|,故B,C正确; ∴公差d=a1 013-a1 012>0,则等差数列{an}是递增数列,故A错误; 因为a1 012<0,a1 013>0,所以当n=1 012时,Sn取得最小值, 所以Sn≥S1 012,故D正确. 10.BCD　由题可知,an+1=2an+bn①,bn+1=an+2bn+ln②, ①-②得,an+1-bn+1=an-bn-ln, 当n=1时,a2-b2=a1-b1-ln 2,∴a2-b2<a1-b1,故A错误. ①+②得,an+1+bn+1=3(an+bn)+ln(n+1)-3ln n, 即an+1+bn+1-ln(n+1)=3(an+bn-ln n), 又a1+b1-ln 1=a1+b1≠0,∴{an+bn-ln n}是以a1+b1为首项,3为公比的等比数列,∴an+bn-ln n=(a1+b1)·3n-1,∴an+bn=(a1+b1)·3n-1+ln n③, 又a1+b1>0,∴数列{an+bn}是递增数列,故B正确. 将③代入①得,an+1=an+(an+bn)=an+(a1+b1)·3n-1+ln n, ∴an+1-an=(a1+b1)·3n-1+ln n>0,∴数列{an}是递增数列,故C正确. 将③代入②得,bn+1=bn+(an+bn)+ln=bn+(a1+b1)·3n-1+ln n+ln,∴bn+1-bn=(a1+b1)·3n-1+ln(n+1)-2ln n. 由指数函数与对数函数的增长速度知,存在实数λ,使得当n≥λ(n∈N+)时,(a1+b1)·3n-1-ln n>0, 又ln(n+1)-ln n>0,∴bn+1-bn>0,即{bn}从某项以后是递增的,故D正确. 11.ABD　对于A,an+1=an-=an,a1=1, 当n=1时,a2=,所以0<a2<1, 假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,0<ak+1<1, 则当n=k+1时,ak+2=ak+1-=-(ak+1-1)2+∈. 综上,0<an≤1(n∈N+),故A正确. 对于B,由an+1=an-<an,可得数列{an}是递减数列,故B正确. 对于C,a1=1,a2=1-=,a3=-=,a4=-×=, 则S4=1+++=>2,故C错误. 对于D,因为==+,且0<an≤1(n∈N+),所以-=>,累加得-+-+…+-=-1>, 所以>,即an+1<, 所以an<(n≥2,n∈N+),又a1=1,所以an≤成立,故D正确. 12.答案　2; 解析　由题意得,q===2,∴a2+a3=a1q+a1q2=6a1=5, ∴a1=,∴Sn===. 13.答案　2n-4(答案不唯一) 解析　由题意可得an=a1+2(n-1)=2n-2+a1,则由S5<3a4,得5a1+20<3a1+18,即a1<-1, 令k=-2+a1,则an=2n+k(k<-3),所以可取an=2n-4.(答案不唯一) 14.答案　-2 解析　由an+1-an=2n,得an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,an-2-an-3=2n-3, ……,a2-a1=2, 将所得各式相加,得an-a1=2n-1+2n-2+2n-3+…+2==2n-2, ∵a1=2,∴an=2n,∴Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2, ∴Sn+2=2n+1≥4,∴lo(Sn+2)的最大值为lo4=-2. 15.解析　(1)因为数列{bn}是公比q=2的等比数列,且b2=4, 所以数列{bn}的通项公式为bn=b2×qn-2=4×2n-2=2n.(3分) 因为S3=a1+a2+a3=3a2=21,所以a2=7, 又a1=4,所以等差数列{an}的公差d=a2-a1=3, 故数列{an}的通项公式为an=4+(n-1)×3=3n+1.(6分) (2)由(1)得b1=2,b2=4,b3=8,b4=16,b5=32,b6=64,b7=128,a30=91,a31=94,a32=97,a33=100<b7=128, 则b2,b4,b6在数列{an}的前30项内,b1,b3,b5不在数列{an}的前30项内.(9分) 若选①,则数列{cn}的前30项和为S33-(b2+b4+b6)=33×4+×3-(4+16+64)=1 632.(13分) 若选②,则数列{cn}的前30项和为S27+(b1+b3+b5)=27×4+×3+(2+8+32)=1 203.(13分) 16.解析　(1)证明:由an+1=3an+4得an+1+2=3an+6=3(an+2),(1分) 又a1+2=3≠0,所以=3,(3分) 所以数列{an+2}是以3为首项,3为公比的等比数列.(4分) (2)由(1)得an+2=3n,所以an=3n-2.(5分) Sn=(bn+1)2,即4Sn=+2bn+1①, 当n=1时,4S1=4b1=+2b1+1,所以b1=1,(6分) 当n≥2时,4Sn-1=+2bn-1+1②, ①-②得4bn=+2bn--2bn-1,即--2bn-2bn-1=0,即(bn+bn-1)·(bn-bn-1-2)=0,(7分) 因为{bn}的各项均为正数,所以bn-bn-1=2(n≥2),(8分) 所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.(9分) 所以bn=1+2(n-1)=2n-1.(10分) (3)cn==,所以Tn=+++…+③, Tn=++…++④,(12分) ③-④,得Tn=+++…+-=+-(2n-1)×=+--(2n-1)×=-(2n+2)×,(14分) 所以Tn=1-(n+1)×=1-.(15分) 17.解析　(1)由(an+1)2=4Sn,得Sn=(1+an)2,① 当n≥2时,Sn-1=(1+an-1)2,②(1分) ①-②得,Sn-Sn-1=(1+an)2-(1+an-1)2, 即4an=-+2(an-an-1),整理得-=2(an+an-1), ∵an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2).(3分) 当n=1时,S1=(1+a1)2,即a1=(1+a1)2,∴a1=1,(4分) ∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列, ∴an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N+).(5分) 设等比数列{bn}的公比为q,则q3===27,∴q=3. ∴b1+b3=b1+b1q2=30,即10b1=30,解得b1=3, ∴bn=b1qn-1=3n(n∈N+).(7分) (2)记数列{(-1)nan}的前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn, 则Bn==(3n+1-3).(8分) 当n为偶数时,{an}的奇数项与偶数项各有项, 则An=-a1+a2-a3+…-an-1+an=-(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an) =-+=n.(11分) 当n为奇数时,{an}的奇数项有项,偶数项有项, 则An=-a1+a2-a3+…+an-1-an=-(a1+a3+…+an)+(a2+a4+…+an-1) =-+=-n.(14分) 所以Tn=An+Bn=(15分) 18.解析　(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月还款额(单位:元)构成等差数列,记为{an},用Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=5 500,a300=2 510,(2分) 则S300==1 201 500,(4分) 故小张的该笔贷款的总利息为1 201 500-750 000=451 500(元).(5分) (2)设小张每月还款额为x元,第k个还款月还款后的本利欠款数为Ak元,则A1=750 000×(1+0.004)-x; A2=A1×(1+0.004)-x=750 000×1.0042-1.004x-x; …… A300=750 000×1.004300-(1.004299+1.004298+…+1)x.(8分) 由题意知25年后还清,所以A300=0,所以x==≈≈4 298.70,(10分) 因为4 298.70<10 000×=5 000, 所以小张申请该笔贷款能够获批.(12分) (3)(答案不唯一)示例1:小张采取等额本息贷款方式的总利息约为4 298.70×300-750 000=539 610(元),(15分) 因为539 610>451 500,所以从节省利息的角度来考虑,建议小张选择等额本金的还款方式.(17分) 示例2:若采取等额本息方案,则每月只需要还4 298.70元, 若采取等额本金方案,则在前面若干年内每月的还款金额都比4 298.70元高,对小张可能会造成较大的还款压力,(15分) 因此从前几年付款压力大小的角度来考虑,建议小张选择等额本息的还款方式.(17分) 19.解析　(1)若数列{an}为“紧密数列”, 则x≠0,且(2分) 解得≤x≤,故x的取值范围为.(4分) (2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下:(5分) 当n=1时,a1=S1=×(1+3)=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=n+, 又+=1=a1,所以a1=1满足上式,因此an=n+(n∈N+),(7分) 所以对任意n∈N+,===1+, 所以<=1+<2,因此数列{an}为“紧密数列”.(9分) (3)因为数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn, 所以当q=1时,an=a1,Sn=na1, 所以≤=1≤2,≤==1+≤2,满足题意,(11分) 当q≠1时,an=a1qn-1,Sn=, 因为{an}为“紧密数列”, 所以≤=q≤2,即≤q<1或1<q≤2,(13分) 当≤q<1时,=>=1, =≤==1+qn<2, 所以≤=≤2,满足{Sn}为“紧密数列”;(15分) 当1<q≤2时,==1+q>2,不满足{Sn}为“紧密数列”.(16分) 综上,实数q的取值范围是.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $