第04讲 简单复合函数的求导法则（高效培优讲义，6知识&6题型精讲+强化训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义聚焦简单复合函数求导法则核心知识点，前承基本初等函数导数与四则运算法则，后接导数综合应用，通过定义辨析、链式法则解析、类型模板构建学习支架，帮助学生掌握内外层函数分解与求导步骤。 该资料以“分解-求导-合并”三步法强化逻辑推理，结合易错辨析与高频模板提升运算准确性，通过抽象函数与奇偶性复合培养数学思维与表达能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，巩固知识体系。

第4讲 简单复合函数的求导法则 教学目标 1.知识与技能 （1）精准理解复合函数的定义，能准确识别简单复合函数的内、外层函数（中间变量） （2）熟练掌握简单复合函数的求导法则（链式法则），能规范书写法则表达式 （3）能运用链式法则结合基本初等函数导数公式，求解形如的简单复合函数的导数 （4）能处理简单复合函数与四则运算结合的求导问题 2.过程与方法 （1）通过“分解复合函数—应用链式法则—合并结果”的步骤训练，掌握复合函数求导的核心逻辑，提升逻辑推理与运算求解能力 （2）结合典型易错题型辨析，培养严谨的解题思维，提升法则应用的准确性与灵活性 3.情感态度与价值观 （1）感受链式法则的系统性与严谨性，体会“化繁为简”的数学思想（将复合函数转化为基本初等函数求导） （2）培养主动归纳总结的学习习惯，增强对导数知识体系的整体认知 教学重难点 1.教学重点 （1）简单复合函数的内、外层函数分解（中间变量的确定） （2）复合函数求导链式法则的精准记忆与直接应用 （3）常见简单复合函数（如、、等）的导数求解 2.教学难点 （1）准确分解多重复合函数（如）的内、中、外层函数，避免分解不彻底或错误 （2）链式法则应用中的“漏乘”问题（遗漏中间变量的导数） （3）复合函数与导数四则运算法则的综合应用（如） （4）抽象复合函数的求导（仅告知内、外层函数可导，求复合函数的导数） 知识点01 复合函数的定义 1.定义：设函数（外层函数），（内层函数，中间变量），且的值域与的定义域的交集非空，则函数称为由和复合而成的复合函数 2.核心特征：“函数套函数”，存在中间变量，先关于变化，再关于变化 3.常见简单复合函数类型： （1）幂函数型复合：（外层，内层） （2）三角函数型复合：、（外层为三角函数，内层） （3）指数函数型复合：、（外层为指数函数，内层） （4）对数函数型复合：、（外层为对数函数，内层） 易错辨析 （1）易错点1：将非复合函数误判为复合函数，如、（仅为四则运算，无“函数套函数”结构） （2）易错点2：复合函数分解不彻底，如将误分解为外层、内层，遗漏常数项1，正确内层为 重点记忆 复合函数的核心标志：存在“中间变量”，不直接关于变化，而是通过间接关于变化；简单复合函数的内层函数多为一次函数（） 常考结论 简单复合函数的内层函数若为常函数（），则复合函数退化为常数函数，导数为0 知识点02 简单复合函数的求导法则（链式法则） 1.基本法则（双重复合）：设，，且、均可导，则复合函数的导数为，或写成（右下角标表示求导变量） 2.法则语言描述：复合函数的导数，等于外层函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 3.推广形式（多重复合）：设，，，且三者均可导，则，即“从外到内，依次求导，逐项相乘” 4.常用符号表示：若记，则导数也可表示为（表示外层函数对中间变量的导数） 易错辨析 （1）易错点1：“漏乘”中间变量的导数，这是复合函数求导最常见错误，如求的导数时，误算为，遗漏中间变量的导数2，正确结果为 （2）易错点2：求导变量混淆，如将误算为对求导，导致法则应用逻辑错误 （3）易错点3：多重复合求导时遗漏某一层的导数，如，误算为，遗漏内层的导数，正确结果为 （4）易错点4：将复合函数求导与四则运算求导混淆，如（四则运算）误按复合函数求导，导致错误 重点记忆 1.核心口诀：“分解一层，求导一层，乘在一起”；链式法则的本质是“导数的乘积”，每一层复合对应一次导数相乘 2.求导步骤口诀：“先分解，再求导，最后相乘合并”（分解：确定内、外层函数；求导：分别求外层对中间变量、中间变量对自变量的导数；相乘：将两次导数相乘，化简结果） 常考结论 （1）若（），则（直接套用链式法则，内层的导数为） （2）若在某点处可导，则（代入求值时，需先求中间变量的值，再求外层导数） 【即学即练】 1．（25-26高二上·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 2．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点03 常见简单复合函数的求导模板（高频考点） 基于链式法则，结合基本初等函数导数公式，整理以下高频简单复合函数的求导模板，直接套用可提升解题效率 1.模板1：（，） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 2.模板2：（） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 3.模板3：（） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 4.模板4：（） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 5.模板5：（，） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 6.模板6：（，，为常数） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 易错辨析 （1）易错点1：套用模板时遗漏系数，如误算为，正确结果为 （2）易错点2：三角函数复合求导时符号错误，如误算为，正确结果为 （3）易错点3：对数复合函数遗漏定义域限制，如未注意（即），直接求导 （4）易错点4：指数复合函数模板混淆，如误按模板求导，导致错误 重点记忆 1.所有含（）内层的简单复合函数，求导结果均含系数，核心是“外层导数×” 2.记忆模板的核心：先记外层基本初等函数的导数，再乘内层的导数，无需重复分解，直接套用 常考结论 （1）对于型复合函数，其导数与的关系为，系数是内层一次函数的斜率，可作为通用结论直接应用 （2）若，则（二阶导数，高考低频考点，可作为拓展结论） 知识点04 复合函数与导数四则运算法则的综合应用 1.核心逻辑：先判断函数的运算结构（先四则运算，后复合；或先复合，后四则运算），再遵循“先四则、后复合”或“先复合、后四则”的顺序求导 2.常见综合类型及求导步骤： （1）类型1：（先复合，后加减） 步骤：分别求和的导数（链式法则），再应用加减法则合并，即 （2）类型2：（先复合，后乘法；或先乘法，后复合） 步骤：应用乘法法则， （3）类型3：（）（先复合，后除法） 步骤：应用除法法则， （4）类型4：（先加减，后复合） 步骤：先求内层的导数（四则运算），再应用链式法则，即 易错辨析 （1）易错点1：运算顺序混乱，如（先乘法，后复合）误按“先复合，后乘法”求导，导致错误 （2）易错点2：综合运算中遗漏某一步求导，如误算为，遗漏乘法法则的第二项，正确结果为 （3）易错点3：多重复合与四则运算结合时，符号传递失误，如误算为，正确结果为 重点记忆 1.综合运算求导口诀：“先判结构，再定顺序；分步求导，逐项验证” 2.关键提醒：每一步求导仅针对一种运算（四则或复合），完成一步再进行下一步，避免同时处理多种运算导致混乱 常考结论 （1）若（为常数），则（乘法法则+链式法则，高频考法） （2）若（为常数），则（除法法则+链式法则，可化简结果） 【即学即练】 1．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点05 抽象复合函数的求导（拓展考点） 1.定义：仅告知内、外层函数可导，未给出具体解析式的复合函数，如、等 2.求导法则：仍遵循链式法则，将外层函数的导数用、等符号表示，保留中间变量的导数 3.常见类型及求导结果： （1）： （2）： （3）： （4）： （5）： 易错辨析 （1）易错点1：抽象函数导数符号书写错误，如将误写为，前者表示外层函数对中间变量的导数，后者表示外层函数对的导数，逻辑完全不同 （2）易错点2：遗漏中间变量的导数，如误算为，正确结果为 （3）易错点3：多重复合抽象函数求导漏层，如误算为，遗漏，正确结果为 重点记忆 1.抽象复合函数求导的核心：“符号规范，链式不变”，无论函数是否具体，链式法则的逻辑始终是“外层对中间变量求导×中间变量对自变量求导” 2.符号记忆：的读法是“对的导数”，下标可辅助区分，如（） 常考结论 （1）若，且为奇函数，为偶函数，则，其中为偶函数（奇函数的导数为偶函数），为奇函数（偶函数的导数为奇函数，复合奇函数后仍为奇函数），故为奇函数×偶函数=奇函数 （2）若，则，且为奇函数（可用于奇偶性相关的导数问题） 【即学即练】 1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 2.（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知定义在上的连续函数的导函数，设，则 知识点06 简单复合函数求导法则汇总表（速记必备） 法则类型 法则表达式（微软Word公式格式） 适用条件 双重复合法则 ，则（或） 、均可导 多重复合法则 ，则 、、均可导 通用法则 （） 可导，可导 复合+加减法则 ，则 各函数均符合可导条件 复合+乘法法则 ，则 题型01 简单复合函数的求导法则 【典例1】（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26高二·全国·假期作业）求下列各函数的导数． (1)． (2)． (3)． 【变式2】（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25高二下·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 一、核心考点 准确分解简单复合函数的内、外层函数（确定中间变量），熟练应用链式法则求解导数，适配、、等基础复合函数求导场景 二、方法技巧总结 1.核心三步法： （1）分解函数：明确外层函数和内层函数（中间变量是关键），优先分解为“基本初等函数+一次函数”的形式，如分解为外层、内层 （2）分别求导：对於外层函数求导得（或），对於内层函数求导得（或） （3）乘积合并：根据链式法则，复合函数的导数为两步导数的乘积，即，最后将代回，化简结果 2.高频模板直接套用：针对常见简单复合函数，可记忆固定求导模板，提升效率： （1）（）： （2）（）： （3）（）： （4）（，）： 3.多重复合分解技巧：对于型多重复合函数，按“从外到内”的顺序逐层分解，如分解为、、，求导时依次相乘 三、易错辨析 （1）易错点1：“漏乘”中间变量的导数，这是最核心易错点，如误算为，遗漏内层的导数2，正确结果为 （2）易错点2：函数分解不彻底，如误分解为、，遗漏常数项1，导致内层导数计算错误 （3）易错点3：三角函数复合求导符号错误，如误算为，正确结果为 四、公式规范梳理 1.双重复合链式法则：，则（或） 2.多重复合链式法则：，则 题型02 简单复合函数的求导法则与四则运算法则综合 【典例1】【多选题】（25-26高三上·河北石家庄·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选题】（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【变式2】【多选题】（24-25高二下·山东东营·期末）下列函数求导数错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】【多选题】（24-25高二下·江西景德镇·期末）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 一、核心考点 综合应用链式法则与导数的加、减、乘、除法则，求解含复合函数的和、差、积、商形式的导数，是高考导数基础应用的高频题型 二、方法技巧总结 1.核心原则：先判断函数的运算结构，遵循“先四则、后复合”或“先复合、后四则”的顺序求导，避免运算逻辑混乱 2.常见结构及求导步骤： （1）结构1：（先复合，后加减） 步骤：分别对和应用链式法则求导，再根据加减法则合并结果，即 （2）结构2：（先复合，后乘法） 步骤：应用乘法法则，将视为一个整体，得 （3）结构3：（）（先复合，后除法） 步骤：应用除法法则，得 （4）结构4：（先加减，后复合） 步骤：先对内层应用加减法则求导，再应用链式法则，即 3.简化技巧：分步求导时标注对应法则，如“复合求导”“乘法求导”，避免混淆；可先化简函数（如约分、合并同类项）再求导，减少运算量 三、易错辨析 （1）易错点1：运算顺序颠倒，如（先乘法，后复合）误按“先复合，后乘法”求导，导致错误 （2）易错点2：综合运算中漏项，如误算为，遗漏乘法法则的第二项 （3）易错点3：符号传递失误，如误算为，正确结果为 四、公式规范梳理 1.复合+乘法法则： 2.复合+除法法则：（） 题型03 由简单复合函数的求导法则求切线方程 【典例1】（25-26高三上·江苏·月考）曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（25-26高三上·广东广州·月考）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 一、核心考点 结合导数的几何意义（切线斜率）与链式法则，求解简单复合函数在某点处或过某点的切线方程，核心是“链式法则求斜率+点斜式写方程” 二、方法技巧总结 1.求“在某点处”切线方程的三步骤： （1）求导得斜率：对复合函数应用链式法则求导，得；验证指定点在函数图像上，将代入导函数，得切线斜率；若不存在，切线方程为 （2）确定切点：“在某点处”的切线，该点即为切点，坐标为 （3）写方程：将切点和斜率代入点斜式，整理为斜截式或一般式 2.求“过某点”切线方程的四步骤： （1）设切点：设切线与函数的切点为，切点必在函数图像上 （2）求斜率：应用链式法则求导得，则切线斜率 （3）列方程：切线过定点，由点斜式得，代入的表达式，得到关于的方程 （4）求解写方程：解出的所有可能值，代入斜率和切点坐标，再代入点斜式得所有切线方程；方程无解则无切线 3.关键提醒：求导后需先化简导函数，再代入横坐标求斜率，避免直接代入导致的运算复杂 三、易错辨析 （1）易错点1：未验证“在某点处”的点是否在函数图像上，直接代入求导，导致无意义 （2）易错点2：链式法则应用错误，漏乘中间变量的导数，导致斜率计算错误，如在处的导数误算为，正确结果为 （3）易错点3：混淆“在某点处”与“过某点”，直接将定点当作切点求导，导致漏解 （4）易错点4：点斜式书写错误，遗漏中的，或符号错误 四、公式规范梳理 1.斜率公式：（为切点） 2.切线方程核心式：点斜式；垂直轴时 题型04 由简单复合函数的求导法则求公切线 【典例1】（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（24-25高二下·四川宜宾·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2021·云南·模拟预测）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A．0 B． C． D．3 一、核心考点 求解与两个不同简单复合函数图像都相切的共切线方程，核心是“双切点+双斜率相等+切线方程一致性”，需同时应用两个函数的链式法则 二、方法技巧总结 1.解题五步骤： （1）设双切点：设共切线与第一个复合函数切于，与第二个复合函数切于 （2）求双斜率：分别对两个函数应用链式法则求导，得切线斜率 （3）写双切线方程：分别用点斜式写出切线方程： 切线1（过A）： 切线2（过B）： （4）列等量关系：同一切线的斜率和截距分别相等，结合斜率相等条件，得方程组： （截距相等推导：斜截式中） （5）求解写方程：解方程组得、，代入任意一条切线方程，即可得共切线方程；方程组无解则无共切线 2.简化技巧：优先选择常见复合函数（如、），直接套用其导函数模板，减少抽象运算 三、易错辨析 （1）易错点1：遗漏截距相等的条件，仅用斜率相等列方程，无法唯一确定切点坐标 （2）易错点2：对其中一个复合函数求导时应用链式法则失误，漏乘中间变量的导数，导致斜率表达式错误 （3）易错点3：求解方程组时计算复杂，出现漏项、符号错误，或未验证解出的切点是否在两个函数图像上 （4）易错点4：忽略函数定义域，切点横坐标需在两个复合函数的定义域内 四、公式规范梳理 1.斜率相等条件： 2.截距相等条件： 3.共切线方程通式： 题型05 抽象复合函数求导 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）定义域为的函数满足，的导函数为连续函数，函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）已知函数 的定义域为 ，若函数 是奇函数， ． 记 的导函数为 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 一、核心考点 针对仅告知内、外层函数可导，未给出具体解析式的抽象复合函数（如、），应用链式法则求导，重点考查导数符号的规范书写与链式逻辑的掌握 二、方法技巧总结 1.核心原则：无论函数是否具体，链式法则的逻辑不变，即“外层函数对中间变量求导×中间变量对自变量求导”，关键是规范书写导数符号 2.求导步骤： （1）分解函数：明确外层抽象函数和内层具体/抽象函数，如分解为、、 （2）逐层求导：对於外层函数求导得（表示对的导数），对於中间层函数求导得，对於内层函数求导得 （3）乘积合并：将各层导数相乘，保留中间变量的导数符号，即 3.常见抽象复合函数求导模板： （1）： （2）： （3）： （4）： 三、易错辨析 （1）易错点1：导数符号书写错误，混淆“”与“”，前者表示外层函数对中间变量的导数，后者表示外层函数对的导数，逻辑完全不同 （2）易错点2：遗漏中间变量的导数，如误算为，正确结果为 （3）易错点3：多重复合抽象函数求导漏层，如误算为，遗漏中间层，正确结果为 （4）易错点4：将抽象函数的导数误写为具体数值，如误算为，忽略抽象导数符号，正确结果为 四、公式规范梳理 1.双重复合抽象函数：，则 2.多重复合抽象函数：，则 题型06 奇偶函数的复合函数的求导 【典例1】（24-25高二下·湖南·月考）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论错误的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【变式1】（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（   ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【变式3】（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知函数是定义域为R的可导函数，（为函数的导函数），若为奇函数，且，，则 （   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 一、核心考点 结合奇偶函数的定义及导数性质，求解奇偶函数复合而成的函数的导数，或利用奇偶性简化导数计算、求解参数，核心是“奇偶性性质+链式法则”的综合应用 二、方法技巧总结 1.先明确奇偶函数的核心导数性质（必记）： （1）若是奇函数且可导，则是偶函数，即 （2）若是偶函数且可导，则是奇函数，即；且若在处可导，则 2.常见解题场景及技巧： （1）场景1：已知复合函数的奇偶性，求外层/内层函数中的参数 技巧：先利用奇偶函数的定义列方程，求解参数；再验证参数满足函数可导条件 （2）场景2：求奇偶复合函数在对称点处的导数 技巧：利用导数的奇偶性简化计算，如已知奇函数在处的导数为，则在处的导数也为（因奇函数的导数是偶函数） （3）场景3：判断奇偶复合函数的导数的奇偶性 技巧：根据“外层函数奇偶性+内层函数奇偶性+导数奇偶性”的传递规律判断，如： ①奇函数复合偶函数：外层奇函数的导数是偶函数，内层偶函数的导数是奇函数，最终导数=偶函数×奇函数=奇函数 ②偶函数复合奇函数：外层偶函数的导数是奇函数，内层奇函数的导数是偶函数，最终导数=奇函数×偶函数=奇函数 3.求导步骤：先利用奇偶性化简函数或确定参数，再应用链式法则求导，最后结合导数奇偶性验证结果 三、易错辨析 （1）易错点1：混淆奇偶函数的导数性质，如误将奇函数的导数当作奇函数，导致对称点处导数计算错误 （2）易错点2：忽略函数定义域关于原点对称的条件，盲目应用奇偶性定义求参数，导致结果无意义 （3）易错点3：求导后未利用导数奇偶性验证，导致链式法则应用失误未被发现，如偶函数复合函数在处的导数应为0，若计算结果不为0，则需检查求导过程 （4）易错点4：将复合函数的奇偶性与导数的奇偶性直接等同，如认为偶函数的复合函数的导数也是偶函数，忽略导数的奇偶性是由原函数奇偶性决定的 四、公式规范梳理 1.奇函数的导数性质：若，则 2.偶函数的导数性质：若，则，且（在处可导） 3.奇偶复合函数求导核心式：，则，结合、的奇偶性及导数奇偶性简化计算 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（    ） A． B．0 C． D． 3．（25-26高三上·北京·月考）函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025高三·全国·专题练习）设定义在上的可导函数与的导函数分别为和，若 与均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知直线与曲线相切，t，，则 ． 8．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 9．（25-26高三上·河北沧州·月考）曲线在处的切线方程为 ． 10．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，则 ． 11．（25-26高三上·安徽·期中）若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 . 12．（23-24高二下·福建厦门·月考）函数 的图象在点 处的切线的斜率为 . 13．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 14．（2025·福建三明·模拟预测）若偶函数在处的切线方程为，则 ． 15．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知是函数的图象上一点，函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 16．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 . 四、解答题 17．（24-25高二下·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 18．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的图象关于直线对称的充要条件是导函数的图象关于点中心对称． 19．（2025高二·全国·专题练习）对函数求导可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是.试用此法探求的导数. 20．（24-25高二下·江西·月考）已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 简单复合函数的求导法则 教学目标 1.知识与技能 （1）精准理解复合函数的定义，能准确识别简单复合函数的内、外层函数（中间变量） （2）熟练掌握简单复合函数的求导法则（链式法则），能规范书写法则表达式 （3）能运用链式法则结合基本初等函数导数公式，求解形如的简单复合函数的导数 （4）能处理简单复合函数与四则运算结合的求导问题 2.过程与方法 （1）通过“分解复合函数—应用链式法则—合并结果”的步骤训练，掌握复合函数求导的核心逻辑，提升逻辑推理与运算求解能力 （2）结合典型易错题型辨析，培养严谨的解题思维，提升法则应用的准确性与灵活性 3.情感态度与价值观 （1）感受链式法则的系统性与严谨性，体会“化繁为简”的数学思想（将复合函数转化为基本初等函数求导） （2）培养主动归纳总结的学习习惯，增强对导数知识体系的整体认知 教学重难点 1.教学重点 （1）简单复合函数的内、外层函数分解（中间变量的确定） （2）复合函数求导链式法则的精准记忆与直接应用 （3）常见简单复合函数（如、、等）的导数求解 2.教学难点 （1）准确分解多重复合函数（如）的内、中、外层函数，避免分解不彻底或错误 （2）链式法则应用中的“漏乘”问题（遗漏中间变量的导数） （3）复合函数与导数四则运算法则的综合应用（如） （4）抽象复合函数的求导（仅告知内、外层函数可导，求复合函数的导数） 知识点01 复合函数的定义 1.定义：设函数（外层函数），（内层函数，中间变量），且的值域与的定义域的交集非空，则函数称为由和复合而成的复合函数 2.核心特征：“函数套函数”，存在中间变量，先关于变化，再关于变化 3.常见简单复合函数类型： （1）幂函数型复合：（外层，内层） （2）三角函数型复合：、（外层为三角函数，内层） （3）指数函数型复合：、（外层为指数函数，内层） （4）对数函数型复合：、（外层为对数函数，内层） 易错辨析 （1）易错点1：将非复合函数误判为复合函数，如、（仅为四则运算，无“函数套函数”结构） （2）易错点2：复合函数分解不彻底，如将误分解为外层、内层，遗漏常数项1，正确内层为 重点记忆 复合函数的核心标志：存在“中间变量”，不直接关于变化，而是通过间接关于变化；简单复合函数的内层函数多为一次函数（） 常考结论 简单复合函数的内层函数若为常函数（），则复合函数退化为常数函数，导数为0 知识点02 简单复合函数的求导法则（链式法则） 1.基本法则（双重复合）：设，，且、均可导，则复合函数的导数为，或写成（右下角标表示求导变量） 2.法则语言描述：复合函数的导数，等于外层函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 3.推广形式（多重复合）：设，，，且三者均可导，则，即“从外到内，依次求导，逐项相乘” 4.常用符号表示：若记，则导数也可表示为（表示外层函数对中间变量的导数） 易错辨析 （1）易错点1：“漏乘”中间变量的导数，这是复合函数求导最常见错误，如求的导数时，误算为，遗漏中间变量的导数2，正确结果为 （2）易错点2：求导变量混淆，如将误算为对求导，导致法则应用逻辑错误 （3）易错点3：多重复合求导时遗漏某一层的导数，如，误算为，遗漏内层的导数，正确结果为 （4）易错点4：将复合函数求导与四则运算求导混淆，如（四则运算）误按复合函数求导，导致错误 重点记忆 1.核心口诀：“分解一层，求导一层，乘在一起”；链式法则的本质是“导数的乘积”，每一层复合对应一次导数相乘 2.求导步骤口诀：“先分解，再求导，最后相乘合并”（分解：确定内、外层函数；求导：分别求外层对中间变量、中间变量对自变量的导数；相乘：将两次导数相乘，化简结果） 常考结论 （1）若（），则（直接套用链式法则，内层的导数为） （2）若在某点处可导，则（代入求值时，需先求中间变量的值，再求外层导数） 【即学即练】 1．（25-26高二上·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【详解】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 2．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合导数的运算法则及复合函数求导发法则，计算即可求解. 【详解】（1）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）解：由，根据导数的四则运算法则， 可得. （4）解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 知识点03 常见简单复合函数的求导模板（高频考点） 基于链式法则，结合基本初等函数导数公式，整理以下高频简单复合函数的求导模板，直接套用可提升解题效率 1.模板1：（，） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 2.模板2：（） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 3.模板3：（） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 4.模板4：（） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 5.模板5：（，） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 6.模板6：（，，为常数） （1）分解：外层，内层 （2）求导：， （3）结果： 易错辨析 （1）易错点1：套用模板时遗漏系数，如误算为，正确结果为 （2）易错点2：三角函数复合求导时符号错误，如误算为，正确结果为 （3）易错点3：对数复合函数遗漏定义域限制，如未注意（即），直接求导 （4）易错点4：指数复合函数模板混淆，如误按模板求导，导致错误 重点记忆 1.所有含（）内层的简单复合函数，求导结果均含系数，核心是“外层导数×” 2.记忆模板的核心：先记外层基本初等函数的导数，再乘内层的导数，无需重复分解，直接套用 常考结论 （1）对于型复合函数，其导数与的关系为，系数是内层一次函数的斜率，可作为通用结论直接应用 （2）若，则（二阶导数，高考低频考点，可作为拓展结论） 知识点04 复合函数与导数四则运算法则的综合应用 1.核心逻辑：先判断函数的运算结构（先四则运算，后复合；或先复合，后四则运算），再遵循“先四则、后复合”或“先复合、后四则”的顺序求导 2.常见综合类型及求导步骤： （1）类型1：（先复合，后加减） 步骤：分别求和的导数（链式法则），再应用加减法则合并，即 （2）类型2：（先复合，后乘法；或先乘法，后复合） 步骤：应用乘法法则， （3）类型3：（）（先复合，后除法） 步骤：应用除法法则， （4）类型4：（先加减，后复合） 步骤：先求内层的导数（四则运算），再应用链式法则，即 易错辨析 （1）易错点1：运算顺序混乱，如（先乘法，后复合）误按“先复合，后乘法”求导，导致错误 （2）易错点2：综合运算中遗漏某一步求导，如误算为，遗漏乘法法则的第二项，正确结果为 （3）易错点3：多重复合与四则运算结合时，符号传递失误，如误算为，正确结果为 重点记忆 1.综合运算求导口诀：“先判结构，再定顺序；分步求导，逐项验证” 2.关键提醒：每一步求导仅针对一种运算（四则或复合），完成一步再进行下一步，避免同时处理多种运算导致混乱 常考结论 （1）若（为常数），则（乘法法则+链式法则，高频考法） （2）若（为常数），则（除法法则+链式法则，可化简结果） 【即学即练】 1．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据基本初等函数的导数，导数的运算法则即复合函数求导法则计算即可. 【详解】（1） . （2）因为， 所以 （3） . （4）， . （5）， . 2．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用导数的运算规则和复合函数求导方法可得答案. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以. 知识点05 抽象复合函数的求导（拓展考点） 1.定义：仅告知内、外层函数可导，未给出具体解析式的复合函数，如、等 2.求导法则：仍遵循链式法则，将外层函数的导数用、等符号表示，保留中间变量的导数 3.常见类型及求导结果： （1）： （2）： （3）： （4）： （5）： 易错辨析 （1）易错点1：抽象函数导数符号书写错误，如将误写为，前者表示外层函数对中间变量的导数，后者表示外层函数对的导数，逻辑完全不同 （2）易错点2：遗漏中间变量的导数，如误算为，正确结果为 （3）易错点3：多重复合抽象函数求导漏层，如误算为，遗漏，正确结果为 重点记忆 1.抽象复合函数求导的核心：“符号规范，链式不变”，无论函数是否具体，链式法则的逻辑始终是“外层对中间变量求导×中间变量对自变量求导” 2.符号记忆：的读法是“对的导数”，下标可辅助区分，如（） 常考结论 （1）若，且为奇函数，为偶函数，则，其中为偶函数（奇函数的导数为偶函数），为奇函数（偶函数的导数为奇函数，复合奇函数后仍为奇函数），故为奇函数×偶函数=奇函数 （2）若，则，且为奇函数（可用于奇偶性相关的导数问题） 【即学即练】 1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【详解】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 2.（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知定义在上的连续函数的导函数，设，则 【答案】 【分析】根据复合函数求导法则，结合代入法进行求解即可. 【详解】， 所以， 故答案为：. 知识点06 简单复合函数求导法则汇总表（速记必备） 法则类型 法则表达式（微软Word公式格式） 适用条件 双重复合法则 ，则（或） 、均可导 多重复合法则 ，则 、、均可导 通用法则 （） 可导，可导 复合+加减法则 ，则 各函数均符合可导条件 复合+乘法法则 ，则 题型01 简单复合函数的求导法则 【典例1】（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的运算、复合函数的导数等知识求解即可． 【详解】（1）对求导可得： （2）对求导可得： （3）对求导可得： （4）对求导可得： 【变式1】（25-26高二·全国·假期作业）求下列各函数的导数． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据基本初等函数的导数公式以及求导法则求解出结果. 【详解】（1）， ． （2）， ． （3）， ， ． 【变式2】（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据导数运算法则，即可求解. 【详解】（1），； （2）， （3），. 【变式3】（24-25高二下·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据导数的计算公式和运算法则、以及复合函数求导规则逐一计算即可. 【详解】（1） （2） （3） 一、核心考点 准确分解简单复合函数的内、外层函数（确定中间变量），熟练应用链式法则求解导数，适配、、等基础复合函数求导场景 二、方法技巧总结 1.核心三步法： （1）分解函数：明确外层函数和内层函数（中间变量是关键），优先分解为“基本初等函数+一次函数”的形式，如分解为外层、内层 （2）分别求导：对於外层函数求导得（或），对於内层函数求导得（或） （3）乘积合并：根据链式法则，复合函数的导数为两步导数的乘积，即，最后将代回，化简结果 2.高频模板直接套用：针对常见简单复合函数，可记忆固定求导模板，提升效率： （1）（）： （2）（）： （3）（）： （4）（，）： 3.多重复合分解技巧：对于型多重复合函数，按“从外到内”的顺序逐层分解，如分解为、、，求导时依次相乘 三、易错辨析 （1）易错点1：“漏乘”中间变量的导数，这是最核心易错点，如误算为，遗漏内层的导数2，正确结果为 （2）易错点2：函数分解不彻底，如误分解为、，遗漏常数项1，导致内层导数计算错误 （3）易错点3：三角函数复合求导符号错误，如误算为，正确结果为 四、公式规范梳理 1.双重复合链式法则：，则（或） 2.多重复合链式法则：，则 题型02 简单复合函数的求导法则与四则运算法则综合 【典例1】【多选题】（25-26高三上·河北石家庄·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 【变式1】【多选题】（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】AC 【分析】根据复合函数的求导法则可判断选项A；根据导数定义可判断选项B；根据导数的求导法则可判断选项CD. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，则． 由，得，即，解得或（舍去），故选项C正确； 对于D，由，得，故，故选项D错误． 故选：AC． 【变式2】【多选题】（24-25高二下·山东东营·期末）下列函数求导数错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由导数的四则运算及简单复合函数的求导，逐个判断即可 【详解】A：，故A错误，符合题意； B：，故B错误，符合题意； C：，故C错误，符合题意； D：，故C正确，不符合题意； 故选：ABC. 【变式3】【多选题】（24-25高二下·江西景德镇·期末）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则，复合函数的求导判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：ACD. 一、核心考点 综合应用链式法则与导数的加、减、乘、除法则，求解含复合函数的和、差、积、商形式的导数，是高考导数基础应用的高频题型 二、方法技巧总结 1.核心原则：先判断函数的运算结构，遵循“先四则、后复合”或“先复合、后四则”的顺序求导，避免运算逻辑混乱 2.常见结构及求导步骤： （1）结构1：（先复合，后加减） 步骤：分别对和应用链式法则求导，再根据加减法则合并结果，即 （2）结构2：（先复合，后乘法） 步骤：应用乘法法则，将视为一个整体，得 （3）结构3：（）（先复合，后除法） 步骤：应用除法法则，得 （4）结构4：（先加减，后复合） 步骤：先对内层应用加减法则求导，再应用链式法则，即 3.简化技巧：分步求导时标注对应法则，如“复合求导”“乘法求导”，避免混淆；可先化简函数（如约分、合并同类项）再求导，减少运算量 三、易错辨析 （1）易错点1：运算顺序颠倒，如（先乘法，后复合）误按“先复合，后乘法”求导，导致错误 （2）易错点2：综合运算中漏项，如误算为，遗漏乘法法则的第二项 （3）易错点3：符号传递失误，如误算为，正确结果为 四、公式规范梳理 1.复合+乘法法则： 2.复合+除法法则：（） 题型03 由简单复合函数的求导法则求切线方程 【典例1】（25-26高三上·江苏·月考）曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 【变式1】（25-26高三上·广东广州·月考）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，然后再根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】若，则， 则当时，， 为奇函数，， 即当时， ， ，则， 即曲线在点处的切线斜率. 因此可得：切线方程为， 即：. 故选：A 【变式2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 一、核心考点 结合导数的几何意义（切线斜率）与链式法则，求解简单复合函数在某点处或过某点的切线方程，核心是“链式法则求斜率+点斜式写方程” 二、方法技巧总结 1.求“在某点处”切线方程的三步骤： （1）求导得斜率：对复合函数应用链式法则求导，得；验证指定点在函数图像上，将代入导函数，得切线斜率；若不存在，切线方程为 （2）确定切点：“在某点处”的切线，该点即为切点，坐标为 （3）写方程：将切点和斜率代入点斜式，整理为斜截式或一般式 2.求“过某点”切线方程的四步骤： （1）设切点：设切线与函数的切点为，切点必在函数图像上 （2）求斜率：应用链式法则求导得，则切线斜率 （3）列方程：切线过定点，由点斜式得，代入的表达式，得到关于的方程 （4）求解写方程：解出的所有可能值，代入斜率和切点坐标，再代入点斜式得所有切线方程；方程无解则无切线 3.关键提醒：求导后需先化简导函数，再代入横坐标求斜率，避免直接代入导致的运算复杂 三、易错辨析 （1）易错点1：未验证“在某点处”的点是否在函数图像上，直接代入求导，导致无意义 （2）易错点2：链式法则应用错误，漏乘中间变量的导数，导致斜率计算错误，如在处的导数误算为，正确结果为 （3）易错点3：混淆“在某点处”与“过某点”，直接将定点当作切点求导，导致漏解 （4）易错点4：点斜式书写错误，遗漏中的，或符号错误 四、公式规范梳理 1.斜率公式：（为切点） 2.切线方程核心式：点斜式；垂直轴时 题型04 由简单复合函数的求导法则求公切线 【典例1】（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求两曲线的公切线方程，确定的值. 【详解】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知： . 所以两曲线的公切线为：. 故. 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·四川宜宾·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设出切点，由导数的意义和点斜式写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故. 故选：C. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，利用导数求出曲线在处的切线方程，以及曲线在处的切线方程，根据两切线重合可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出、的值，即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对函数求导得，对函数求导得， 则曲线在处的切线方程为 ，即， 曲线在处的切线方程为， 即， 所以，解得， 故，，所以． 故选：C． 【变式3】（2021·云南·模拟预测）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，根据求出，再根据求出、，即可得解. 【详解】因为, ，所以, ，所以． 又为与的公共点，所以，解得， 所以． 故选：D 一、核心考点 求解与两个不同简单复合函数图像都相切的共切线方程，核心是“双切点+双斜率相等+切线方程一致性”，需同时应用两个函数的链式法则 二、方法技巧总结 1.解题五步骤： （1）设双切点：设共切线与第一个复合函数切于，与第二个复合函数切于 （2）求双斜率：分别对两个函数应用链式法则求导，得切线斜率 （3）写双切线方程：分别用点斜式写出切线方程： 切线1（过A）： 切线2（过B）： （4）列等量关系：同一切线的斜率和截距分别相等，结合斜率相等条件，得方程组： （截距相等推导：斜截式中） （5）求解写方程：解方程组得、，代入任意一条切线方程，即可得共切线方程；方程组无解则无共切线 2.简化技巧：优先选择常见复合函数（如、），直接套用其导函数模板，减少抽象运算 三、易错辨析 （1）易错点1：遗漏截距相等的条件，仅用斜率相等列方程，无法唯一确定切点坐标 （2）易错点2：对其中一个复合函数求导时应用链式法则失误，漏乘中间变量的导数，导致斜率表达式错误 （3）易错点3：求解方程组时计算复杂，出现漏项、符号错误，或未验证解出的切点是否在两个函数图像上 （4）易错点4：忽略函数定义域，切点横坐标需在两个复合函数的定义域内 四、公式规范梳理 1.斜率相等条件： 2.截距相等条件： 3.共切线方程通式： 题型05 抽象复合函数求导 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）定义域为的函数满足，的导函数为连续函数，函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用函数的图象关于对称、关于点中心对称可得的周期，根据周期可得答案． 【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称， 且．由，，得， 所以函数的图象关于直线对称．根据图象变换规律， 由的图象关于点中心对称，得的图象关于点中心对称， 又函数为连续函数，所以． 由于的图象既关于直线对称，又关于点对称，则是周期函数，周期为 所以，故． 故选：A 【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用赋值法计算，再结合复合函数求导得出 ，最后赋值计算即可. 【详解】因为，且，令，得. 对两边同时求导，得，即. 令，得. 令，得，故. 故选：C. 【变式2】（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）已知函数 的定义域为 ，若函数 是奇函数， ． 记 的导函数为 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，结合方程组法，以及复合函数的求导法则逐一求值即可. 【详解】由，得； 因为是奇函数，所以， 由，得，则； 由，得，所以，. 由，得，由，得， 由，得，所以. 因此，. 故选：B. 【变式3】（24-25高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 【答案】B 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：B 一、核心考点 针对仅告知内、外层函数可导，未给出具体解析式的抽象复合函数（如、），应用链式法则求导，重点考查导数符号的规范书写与链式逻辑的掌握 二、方法技巧总结 1.核心原则：无论函数是否具体，链式法则的逻辑不变，即“外层函数对中间变量求导×中间变量对自变量求导”，关键是规范书写导数符号 2.求导步骤： （1）分解函数：明确外层抽象函数和内层具体/抽象函数，如分解为、、 （2）逐层求导：对於外层函数求导得（表示对的导数），对於中间层函数求导得，对於内层函数求导得 （3）乘积合并：将各层导数相乘，保留中间变量的导数符号，即 3.常见抽象复合函数求导模板： （1）： （2）： （3）： （4）： 三、易错辨析 （1）易错点1：导数符号书写错误，混淆“”与“”，前者表示外层函数对中间变量的导数，后者表示外层函数对的导数，逻辑完全不同 （2）易错点2：遗漏中间变量的导数，如误算为，正确结果为 （3）易错点3：多重复合抽象函数求导漏层，如误算为，遗漏中间层，正确结果为 （4）易错点4：将抽象函数的导数误写为具体数值，如误算为，忽略抽象导数符号，正确结果为 四、公式规范梳理 1.双重复合抽象函数：，则 2.多重复合抽象函数：，则 题型06 奇偶函数的复合函数的求导 【典例1】（24-25高二下·湖南·月考）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论错误的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】D 【分析】由题意有，即得，令得，即可求解，对求导有即可判断B，由为偶函数，即可得的周期为2即可判断CD. 【详解】因为与均为奇函数，所以， ，即， 令有：， 由， 所以 ，故A正确； 对求导有， 即的图象关于直线对称，故B正确； 由， 对求导有，即为偶函数， 即得， 所以的周期为2，所以，故C正确； 因为的周期为2，所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【变式1】（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（   ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】D 【分析】首先，通过已知条件，可以分析出函数的对称轴，进而得到其导函数的对称中心.再根据为偶函数，确定的具体对称中心，周期，然后利用周期性和对称中心的性质来计算即可. 【详解】∵， ∴两边求导得， ∴，可知关于点对称， 又∵为偶函数，可知关于直线对称， 则，即， 由，可得， 因此，可得， 即，可知4为的周期， 因此，当，时，， 当，时，， ∵，∴， ∴，， 所以 . 故选：D 【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题关键是找出抽象函数的周期和对称性. 【变式3】（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知函数是定义域为R的可导函数，（为函数的导函数），若为奇函数，且，，则 （   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】结合条件分析函数的周期性，计算一个周期内的函数值即可得到结果. 【详解】∵，，∴，  ①. 令得，，故. ∵为奇函数，∴，故， ∴，故，即  ②， 由①②得，， ∴，， ∴，即为周期为4的函数， 在①中，令得，，∴， ∴. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据为奇函数得到，结合题目条件分析函数的周期即可得到结果. 一、核心考点 结合奇偶函数的定义及导数性质，求解奇偶函数复合而成的函数的导数，或利用奇偶性简化导数计算、求解参数，核心是“奇偶性性质+链式法则”的综合应用 二、方法技巧总结 1.先明确奇偶函数的核心导数性质（必记）： （1）若是奇函数且可导，则是偶函数，即 （2）若是偶函数且可导，则是奇函数，即；且若在处可导，则 2.常见解题场景及技巧： （1）场景1：已知复合函数的奇偶性，求外层/内层函数中的参数 技巧：先利用奇偶函数的定义列方程，求解参数；再验证参数满足函数可导条件 （2）场景2：求奇偶复合函数在对称点处的导数 技巧：利用导数的奇偶性简化计算，如已知奇函数在处的导数为，则在处的导数也为（因奇函数的导数是偶函数） （3）场景3：判断奇偶复合函数的导数的奇偶性 技巧：根据“外层函数奇偶性+内层函数奇偶性+导数奇偶性”的传递规律判断，如： ①奇函数复合偶函数：外层奇函数的导数是偶函数，内层偶函数的导数是奇函数，最终导数=偶函数×奇函数=奇函数 ②偶函数复合奇函数：外层偶函数的导数是奇函数，内层奇函数的导数是偶函数，最终导数=奇函数×偶函数=奇函数 3.求导步骤：先利用奇偶性化简函数或确定参数，再应用链式法则求导，最后结合导数奇偶性验证结果 三、易错辨析 （1）易错点1：混淆奇偶函数的导数性质，如误将奇函数的导数当作奇函数，导致对称点处导数计算错误 （2）易错点2：忽略函数定义域关于原点对称的条件，盲目应用奇偶性定义求参数，导致结果无意义 （3）易错点3：求导后未利用导数奇偶性验证，导致链式法则应用失误未被发现，如偶函数复合函数在处的导数应为0，若计算结果不为0，则需检查求导过程 （4）易错点4：将复合函数的奇偶性与导数的奇偶性直接等同，如认为偶函数的复合函数的导数也是偶函数，忽略导数的奇偶性是由原函数奇偶性决定的 四、公式规范梳理 1.奇函数的导数性质：若，则 2.偶函数的导数性质：若，则，且（在处可导） 3.奇偶复合函数求导核心式：，则，结合、的奇偶性及导数奇偶性简化计算 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：A 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：C 3．（25-26高三上·北京·月考）函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 【答案】A 【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解. 【详解】由，， ，， 依此类推，， 所以. 故选：A 4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可. 【详解】函数的导函数. 故选：C 5．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 二、多选题 6．（2025高三·全国·专题练习）设定义在上的可导函数与的导函数分别为和，若 与均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求导，结合偶函数的性质可得，，继而得即可利用赋值法求解ABC,根据，由首尾相加法即可求解D. 【详解】， 与均为偶函数， ①，，，A错误． ②，， 将①代入得 ，即③， 由②③得， ，B正确． ，C错误． ，且， ，D正确． 故选:BD． 三、填空题 7．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知直线与曲线相切，t，，则 ． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，又， 则，解得，则． 故答案为：1 8．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义和点斜式写出直线方程即可． 【详解】由题意对函数求导得，则，，所以曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：． 9．（25-26高三上·河北沧州·月考）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的运算法则及几何意义结合直线的点斜式计算即可. 【详解】由题，当时，， 所以切线方程为，即． 故答案为： 10．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】将函数求导后取，即可求得，则有，再代入，计算即得. 【详解】由求导得， 令，可得，解得， 则，故. 故答案为：. 11．（25-26高三上·安徽·期中）若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 . 【答案】1 【分析】根据题意结合导数的几何意义计算即可. 【详解】因为，，则，， 若函数与函数的图象在处有相同的切线， 且，则，即. 故答案为：1. 12．（23-24高二下·福建厦门·月考）函数 的图象在点 处的切线的斜率为 . 【答案】6 【分析】直接求导并代入计算即可. 【详解】因为 , 所以 ，所以 , 则所求切线的斜率为 6. 故答案为：6. 13．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】对于函数，由可得，故函数的定义域为， ，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 故答案为：. 14．（2025·福建三明·模拟预测）若偶函数在处的切线方程为，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的定义，得到，代入原函数并求导数，进而求得处的导数值，结合切线方程得到该函数在处的切线斜率，列出方程，即可解出的值，最后需要验证定义域. 【详解】由是偶函数可得， 则，即， 因此，，， 对求导得， 所以，且直线的斜率， 根据题意，，即，， 结合，解得， 当时，，，，解得， 即在定义域内，成立. 故答案为：2. 15．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知是函数的图象上一点，函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求出导函数，再由切线斜率求出切点坐标，代入点斜式直线方程即可求解. 【详解】由得， 因为，且，所以，解得， 又，所以在处的切线方程为，即． 故答案为：． 16．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 . 【答案】 【分析】通过偶函数、奇函数的条件推导函数等式，求导后得到导数的对称与周期性质，利用周期性化简目标值并求和. 【详解】由为偶函数，得， 整理得，两边求导得①. 由为奇函数，得，令， 则， 两边求导得， 即，故. 将代入①，得， 由此得，即周期为4. ，， 由，得. 故答案为：2 四、解答题 17．（24-25高二下·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则求解即得. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 所以. （3）由题意可知：. （4）由题意可知：. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的图象关于直线对称的充要条件是导函数的图象关于点中心对称． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数对称性的定义、复合函数的导数以及充分条件、必要条件的定义证明即可. 【详解】必要性：函数的图象关于直线对称，则， 于是，故，即． 因此导函数的图象关于点中心对称． 充分性：导函数的图象关于点中心对称，则． 即，因此（为常数）． 令，得．所以． 故函数的图象关于直线对称． 因此，函数的图象关于直线对称的充要条件是导函数的图象关于点中心对称. 19．（2025高二·全国·专题练习）对函数求导可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是.试用此法探求的导数. 【答案】 【分析】根据所给运算法则，直接进行求导即可. 【详解】两边取对数可得， 两边求导可得， 所以. （或者将，代入题中所得公式，直接得出答案.） 20．（24-25高二下·江西·月考）已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在两条直线或满足题意. 【分析】（1）根据导函数得出切线斜率，再应用点斜式即可得出切线方程； （2）先设切点，，再分别写出切线方程，对应相等列式，结合指对数运算即可求解. 【详解】（1）当时，，，， 则在点处的切线方程为； （2）若，设直线与曲线相切于点，则，， 直线与曲线在点处的切线方程为， 设直线与曲线相切于点，则， 直线与曲线在点处的切线方程， 由题意可知： 由①得，将与代入②得 所以或， 所以存在两条直线或与曲线和都相切． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $