精品解析：河南周口市第一初级中学2025-2026学年九年级下学期数学寒假作业检测题

九年级数学寒假作业检测题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 2. 禹州神垕素有“钧都”之称，禹州的钧瓷是我国五大名瓷之一，以其“入窑一色，出窑万彩”的神奇变幻而著称，素有“窑变无双，钧瓷无对”之称．下面是刘志钧的作品《天球瓶》．下列关于它的说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义即可得． 【详解】解：由题意可得主视图和左视图相同，故选项C符合题意． 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根时，必须满足． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ∴m的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程判别式的知识，此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 4. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 其图像开口向左 B. 其最小值为20 C. 当时随增大而减小 D. 其图像的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式得出开口向上，最小值，对称轴以及增减性，即可求解． 【详解】解：关于的图象， ，则抛物线开口向上，对称轴为直线，最小值为，当时随增大而增大， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，解分式方程、一元二次方程、以及一元一次方程，理解“和美点”的定义是解题关键．根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，再求出个选项中的“和美点”即可． 【详解】解：根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中， A、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； B、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； C、，则，此时无解，即函数不存在“和美点”，符合题意； D、，解得：，，即点和点为函数的“和美点”，不符合题意； 故选：C． 6. 为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（ ） A. 月和月 B. 月至月 C. 月 D. 月、月和月 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题． 【详解】解：，且为整数， 当时，或， 当时，， 故选：D． 7. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 8. 如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再利用正方形的性质确定点坐标，由于，所以第2020次旋转结束时，正方形回到初始位置，再继续旋转3次即可确定结果． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵每次旋转， ∴4次为一个循环， ∵， ∴第2023次旋转结束时与第3次旋转后的落点相同， ∴点的坐标为． 故选：A． 9. 如图，是的外接圆，半径于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，连接，由圆内接四边形的性质得出，由垂径定理得出，，由线段垂直平分线的性质得出，最后由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 则， ， ， ，， ， ， 故选：B． 10. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解，如图： 由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 根据特殊角的三角函数值解决此题． 【详解】解：原式 = 故答案为： 12. 如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是利用来求解即可． 【详解】解：由题意得：， 若，则， ， 则阴影部分的面积为：， 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，求方程的另一根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，由已知根和常数项可求另一根． 【详解】解：设方程的另一根为，则，则， 故答案为：． 14. 如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用A，C关于原点对称求解是解决问题的关键．先由对称性质可得，得出，即，求得，再根据反比函数图象在第一、三象限求解即可． 【详解】解：根据反比例函数图象的对称性可得，点A，C关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比函数图象在第一、三象限， ∴， 故答案为：6． 15. 在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交边于点P，则点D到的最小距离为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了四边形中的最值问题，涉及三角形的面积，轨迹圆，四边形的性质，熟练掌握轨迹圆求最值是解题的关键．过点作于点，先利用等面积法得，可知当最大时，最小，再利用轨迹圆得出最大值的位置，计算即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图， 当与相切时，最大， 由得此时最大， 由相切得， ∴， ∴， 即， 解得：， 所以此时， 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）7（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、分式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数，再进行实数混合运算即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 如图，直线与双曲线相交于，两点．与轴相交于点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数表达式； （2）连接、，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两解析式，求出点B的坐标，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：点在上， ， ， ； 点均在上， ， ，， ； 【小问2详解】 解：联立直线与双曲线得，， ， 解得，， ，， 作，垂直于轴于，两点， ∵ . 18. 小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，， 【答案】楼房的高度约为 【解析】 【分析】延长交延长线于点，由题意可知，设，在中，，根据正切的定义建立方程，解方程即可求解． 【详解】解如图，延长交延长线于点， ， ， 由题意可知，设， ，， 在中，， ，即， 解得． 答楼房的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 19. “动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） （2）若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 【答案】（1） （2）野兔不能成功越过木桩，野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时，的值，再根据比较大小，得到野兔不能成功越过木桩，然后设起跳点向前移动米，新抛物线为：，要求当时，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴野兔不能成功越过木桩， 设起跳点向前移动米，新抛物线为：， 要求当时，即 化简得：， 解得：， ∴由题意得：野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩； 20. 如图，为的直径，直线是的切线，切点为点，过点作，垂足为点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为切线， ． ， ． ． ， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定解答即可． （2）连接．利用圆周角定理，余弦解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． 为直径， ． ，， ，． ， 即． ． ． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，余弦函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学寒假作业检测题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数由m的值确定 2. 禹州神垕素有“钧都”之称，禹州的钧瓷是我国五大名瓷之一，以其“入窑一色，出窑万彩”的神奇变幻而著称，素有“窑变无双，钧瓷无对”之称．下面是刘志钧的作品《天球瓶》．下列关于它的说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 4. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 其图像开口向左 B. 其最小值为20 C. 当时随增大而减小 D. 其图像的对称轴为直线 5. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（ ） A. 月和月 B. 月至月 C. 月 D. 月、月和月 7. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 8. 如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的外接圆，半径于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. ______． 12. 如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则阴影部分的面积为___________．（结果保留） 13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，求方程的另一根是______． 14. 如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为________． 15. 在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交边于点P，则点D到的最小距离为_____________． 三、解答题（共55分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 如图，直线与双曲线相交于，两点．与轴相交于点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数表达式； （2）连接、，求的面积． 18. 小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，， 19. “动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） （2）若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 20. 如图，为的直径，直线是的切线，切点为点，过点作，垂足为点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $