精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题

2025-2026学年第二学期下学期开学考试 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：康普 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 2023年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼，费伦茨·克劳斯和安妮·吕利耶三位科学家，以表彰他们在阿秒脉冲领域的开创性贡献.已知1阿秒秒，光速约为米/秒，现有一条1米长的线段，第一次截去总长的，以后每次截去剩余长度的，要使其剩余长度小于光在1阿秒内走的距离，至少需要截（参考数据：，）（ ） A 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 2. 函数下列哪个区间上存在零点（ ） A. B. C. D. 3. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 5. 若，则的虚部为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 4i 6. 已知，，，则实数，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（ ） A. B. C. D. 8. 比较三个数的大小：，，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A. 的虚部为1 B. 在复平面内，所对应的点位于第一象限 C. D. 11. 函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 向左平移个单位后偶函数 C. 的对称轴为 D. 的单调减区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 13. 函数，的最大值是A，最小值是，则_____． 14. 若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间，并求最大值. 16. 人们通常以分贝（符号是为单位来表示声音强度的等级，其中是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果声音强度为的声音对应的等级为，则有． （1）当测得同学们早读声音等级为时，求早读的声音强度； （2）某天午间教室非常安静，比平常的午间降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 17. 已知角为第二象限角，且， （1）求和的值； （2）求的值； （3）化简并求值． 18. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为. （1）求在区间上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且边上的高，求的周长. 19. 已知函数. （1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式； （2）已知集合，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期下学期开学考试 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：康普 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 2023年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼，费伦茨·克劳斯和安妮·吕利耶三位科学家，以表彰他们在阿秒脉冲领域的开创性贡献.已知1阿秒秒，光速约为米/秒，现有一条1米长的线段，第一次截去总长的，以后每次截去剩余长度的，要使其剩余长度小于光在1阿秒内走的距离，至少需要截（参考数据：，）（ ） A. 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出光在1阿秒内走的距离，又截次后，剩余的长度为米，依题意可得，根据指数与对数的关系、对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】据题意可知，光在1阿秒内走的距离为米， 则1米长的线段截次后，剩余的长度为米， 依题意可得， 则，所以至少需要截次. 故选：A 2. 函数在下列哪个区间上存在零点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性结合零点存在性定理判断区间即可. 【详解】因为和都是R上的增函数， 所以在R上单调递增， 因为，， 所以，所以在有零点， 所以存在唯一零点. 故选：B 3. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 5. 若，则的虚部为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 4i 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的除法化简复数，即可得. 【详解】，即虚部为4. 故选：B 6. 已知，，，则实数，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用对数函数的单调性及中间值比较大小即可得解． 【详解】因为，故， ，， 综上所述，，即， 故选：D. 7. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】半径为2的扇形的圆心角为， 由扇形面积公式. 故选：B 8. 比较三个数的大小：，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将利用指数函数、对数函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数 在 为增函数，因为，所以，即， 因为函数 在上为减函数，，即， 因为，因为，则，又因为， 则，所以，即， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的单调性和基本不等式得出答案. 【详解】已知是单调递增的函数，且; 因为 单调递增，因为，由基本不等式可得， 所以，即，选项A正确. ，而， 所以，选项D正确，C错误. 因为，所以，即，选项B正确. 故选：ABD 10. 已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A. 的虚部为1 B. 在复平面内，所对应的点位于第一象限 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设复数，再根据模长公式计算求解判断A，应用复数的几何意义判断B，应用复数的乘法及除法计算判断C，D. 【详解】设，则，解得或舍，故，故A正确； 在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选:ABD. 11. 函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 向左平移个单位后是偶函数 C. 的对称轴为 D. 的单调减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据由图像最值、周期和所过的点依次求出得到函数解析式，再根据三角函数性质逐项分析计算即可求解判断. 【详解】由函数图像可知，函数最大值为，所以， 函数最小正周期为， 所以，又，所以， 由图可得，所以， 解得，因为，所以， 所以，A正确； 函数向左平移个单位后得到函数的图象，该函数为奇函数，B错误； 令，解得， 所以的对称轴为，C正确； 令，解得 所以的单调减区间为，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，再利用倍角公式求解. 【详解】由题意可得，，则， 则，则，得或， 因为，所以，则. 故答案为： 13. 函数，的最大值是A，最小值是，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，可求最大值A. 【详解】因为，所以函数的定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，又的最小值为， 所以最大值为，故. 故答案为：. 14. 若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】根据题意先求出的零点，根据对称性得到或，再作验证即可. 【详解】由题意， 当时，为三次函数无对称轴， 当时，令可得，或，或， 即函数与轴交点坐标为， 故根据对称性，或，得或， 验证如下： 当时，， 此时，故函数关于对称，满足题意； 当时，， 此时，故函数关于轴对称，满足题意. 故答案为：或1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间，并求最大值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0列式求函数的定义域. （2）根据“同增异减”判断复合函数的单调区间，并根据单调性求函数的最大值. 【小问1详解】 由. 故所求函数的定义域为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，取得最大值4. 又在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的单调性的判断方法可知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为，当时取等号. 因此该函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 16. 人们通常以分贝（符号是为单位来表示声音强度的等级，其中是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果声音强度为的声音对应的等级为，则有． （1）当测得同学们早读声音等级为时，求早读的声音强度； （2）某天午间教室非常安静，比平常的午间降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 【答案】（1） （2）100倍 【解析】 【分析】（1）利用给定的函数关系列出方程求解. （2）根据给定条件，列式并结合对数运算法则求解即可. 【小问1详解】 设早读的声音强度为，依题意，，则， 即，解得， 所以早读声音强度为. 【小问2详解】 设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为， 所以，即， 即，解得， 所以平时中午的声音强度是今天的100倍. 17. 已知角为第二象限角，且， （1）求和的值； （2）求的值； （3）化简并求值． 【答案】（1）， （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系求解即可. （2）根据同角的三角函数关系求解即可. （3）根据诱导公式及同角的三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 因为角为第二象限角，且， 所以，. 【小问2详解】 因， 所以 【小问3详解】 因为， 所以 . 所以. 18. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为. （1）求在区间上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且边上的高，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，求得，再由正弦函数的性质求出的值域； （2）由，求得，结合三角形面积公式和余弦定理求得，得解. 小问1详解】 由题知， ，， ，即在区间上的值域为. 【小问2详解】 ， ， ，即， ，，， 由余弦定理得，即 得，解得或（舍）， ， 的周长为. 19. 已知函数. （1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式； （2）已知集合，求集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）利用换底公式，可得，根据一元二次不等式及对数函数的性质求解不等式，可得集合. 【小问1详解】 函数，当时，， 时，，； 因为为上的奇函数，所以， 为上的奇函数，所以，所以 综上，函数的解析式为； 【小问2详解】 由，得，即 即，解得. 因为是增函数，所以， 所以集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $